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Solution - Équations à valeur absolue

Forme exacte :

x = \frac{10}{7}, - \frac{2}{3}

x=\frac{10}{7} , -\frac{2}{3}

Forme de nombre mélangé :

x = 1 \frac{3}{7}, - \frac{2}{3}

x=1\frac{3}{7} , -\frac{2}{3}

Forme décimale :

x = 1, 429, - 0, 667

x=1,429 , -0,667

Voir les étapes

Explication étape par étape

1. Réécrire l'équation sans les barres de valeur absolue

Utilisez les règles:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ et $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
Pour écrire toutes les quatre options de l'équation
$\frac{1}{2} | x + 8 | = | 4 x - 1 |$
Sans les barres de valeur absolue:

$\| x \| = \| y \|$	$\frac{1}{2} \| x + 8 \| = \| 4 x - 1 \|$
$x = + y$	$\frac{1}{2} (x + 8) = (4 x - 1)$
$x = - y$	$\frac{1}{2} (x + 8) = - (4 x - 1)$
$+ x = y$	$\frac{1}{2} (x + 8) = (4 x - 1)$
$- x = y$	$\frac{1}{2} (- (x + 8)) = (4 x - 1)$

Une fois simplifiées, les équations $x = + y$ et $+ x = y$ sont identiques, et les équations $x = - y$ et $- x = y$ sont également identiques, nous avons donc seulement 2 équations :

$\| x \| = \| y \|$	$\frac{1}{2} \| x + 8 \| = \| 4 x - 1 \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$\frac{1}{2} (x + 8) = (4 x - 1)$
$x = - y$ , $- x = y$	$\frac{1}{2} (x + 8) = - (4 x - 1)$

2. Résoudre les deux équations pour x

23 étapes supplémentaires

$\frac{1}{2} \cdot (x + 8) = (4 x - 1)$

Multiplier les fractions:

$\frac{(1 \cdot (x + 8))}{2} = (4 x - 1)$

Décomposer la fraction:

$\frac{x}{2} + \frac{8}{2} = (4 x - 1)$

Trouver le plus grand facteur commun du numérateur et du dénominateur:

$\frac{x}{2} + \frac{(4 \cdot 2)}{(1 \cdot 2)} = (4 x - 1)$

Éliminer et annuler le plus grand facteur commun:

$\frac{x}{2} + 4 = (4 x - 1)$

Soustraire des deux côtés:

$(\frac{x}{2} + 4) - 4 x = (4 x - 1) - 4 x$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{x}{2} - 4 x) + 4 = (4 x - 1) - 4 x$

Coefficients du groupe:

$(\frac{1}{2} - 4) x + 4 = (4 x - 1) - 4 x$

Convertir un nombre entier en fraction:

$(\frac{1}{2} + \frac{- 8}{2}) x + 4 = (4 x - 1) - 4 x$

Combiner les fractions:

$\frac{(1 - 8)}{2} x + 4 = (4 x - 1) - 4 x$

Combiner les numérateurs:

$\frac{- 7}{2} x + 4 = (4 x - 1) - 4 x$

Collecter des termes semblables:

$\frac{- 7}{2} x + 4 = (4 x - 4 x) - 1$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{- 7}{2} x + 4 = - 1$

Soustraire des deux côtés:

$(\frac{- 7}{2} x + 4) - 4 = - 1 - 4$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{- 7}{2} x = - 1 - 4$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{- 7}{2} x = - 5$

Multiplier les deux côtés par la fraction inverse :

$(\frac{- 7}{2} x) \cdot \frac{2}{- 7} = - 5 \cdot \frac{2}{- 7}$

Déplacer le signe négatif du dénominateur vers le numérateur:

$\frac{- 7}{2} x \cdot \frac{- 2}{7} = - 5 \cdot \frac{2}{- 7}$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{- 7}{2} \cdot \frac{- 2}{7}) x = - 5 \cdot \frac{2}{- 7}$

Multiplier les coefficients:

$\frac{(- 7 \cdot - 2)}{(2 \cdot 7)} x = - 5 \cdot \frac{2}{- 7}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$1 x = - 5 \cdot \frac{2}{- 7}$

$x = - 5 \cdot \frac{2}{- 7}$

Déplacer le signe négatif du dénominateur vers le numérateur:

$x = - 5 \cdot \frac{- 2}{7}$

Multiplier les fractions:

$x = \frac{(- 5 \cdot - 2)}{7}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$x = \frac{10}{7}$

21 étapes supplémentaires

$\frac{1}{2} \cdot (x + 8) = - (4 x - 1)$

Multiplier les fractions:

$\frac{(1 \cdot (x + 8))}{2} = - (4 x - 1)$

Décomposer la fraction:

$\frac{x}{2} + \frac{8}{2} = - (4 x - 1)$

Trouver le plus grand facteur commun du numérateur et du dénominateur:

$\frac{x}{2} + \frac{(4 \cdot 2)}{(1 \cdot 2)} = - (4 x - 1)$

Éliminer et annuler le plus grand facteur commun:

$\frac{x}{2} + 4 = - (4 x - 1)$

Développer les parenthèses:

$\frac{x}{2} + 4 = - 4 x + 1$

Additionner des deux côtés:

$(\frac{x}{2} + 4) + 4 x = (- 4 x + 1) + 4 x$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{x}{2} + 4 x) + 4 = (- 4 x + 1) + 4 x$

Coefficients du groupe:

$(\frac{1}{2} + 4) x + 4 = (- 4 x + 1) + 4 x$

Convertir un nombre entier en fraction:

$(\frac{1}{2} + \frac{8}{2}) x + 4 = (- 4 x + 1) + 4 x$

Combiner les fractions:

$\frac{(1 + 8)}{2} x + 4 = (- 4 x + 1) + 4 x$

Combiner les numérateurs:

$\frac{9}{2} x + 4 = (- 4 x + 1) + 4 x$

Collecter des termes semblables:

$\frac{9}{2} x + 4 = (- 4 x + 4 x) + 1$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{9}{2} x + 4 = 1$

Soustraire des deux côtés:

$(\frac{9}{2} x + 4) - 4 = 1 - 4$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{9}{2} x = 1 - 4$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{9}{2} x = - 3$

Multiplier les deux côtés par la fraction inverse :

$(\frac{9}{2} x) \cdot \frac{2}{9} = - 3 \cdot \frac{2}{9}$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{9}{2} \cdot \frac{2}{9}) x = - 3 \cdot \frac{2}{9}$

Multiplier les coefficients:

$\frac{(9 \cdot 2)}{(2 \cdot 9)} x = - 3 \cdot \frac{2}{9}$

Simplifier la fraction:

$x = - 3 \cdot \frac{2}{9}$

Multiplier les fractions:

$x = \frac{(- 3 \cdot 2)}{9}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$x = \frac{- 2}{3}$

3. Lister les solutions

$x = \frac{10}{7}, - \frac{2}{3}$
(2 solution(s))

4. Graphe

Chaque ligne représente la fonction d'un côté de l'équation:
$y = \frac{1}{2} | x + 8 |$
$y = | 4 x - 1 |$
L'équation est vraie là où les deux lignes se croisent.

Comment nous en sommes-nous sortis ?

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Pourquoi apprendre cela

Nous rencontrons presque quotidiennement des valeurs absolues. Par exemple : si vous marchez 3 miles pour aller à l'école, marchez-vous aussi 3 miles en sens inverse lorsque vous rentrez à la maison ? La réponse est non car les distances utilisent une valeur absolue. La valeur absolue de la distance entre la maison et l'école est de 3 miles, que ce soit pour l'aller ou le retour.
En bref, les valeurs absolues nous aident à gérer des concepts comme la distance, les fourchettes de valeurs possibles, et l'écart par rapport à une valeur fixée.

Solution - Équations à valeur absolue

Explication étape par étape

1. Réécrire l'équation sans les barres de valeur absolue

2. Résoudre les deux équations pour x

3. Lister les solutions

4. Graphe

Pourquoi apprendre cela

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