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Solution - Équations à valeur absolue

Forme exacte :

x = \frac{5}{3}, - \frac{1}{5}

x=\frac{5}{3} , -\frac{1}{5}

Forme de nombre mélangé :

x = 1 \frac{2}{3}, - \frac{1}{5}

x=1\frac{2}{3} , -\frac{1}{5}

Forme décimale :

x = 1, 667, - 0, 2

x=1,667 , -0,2

Voir les étapes

Explication étape par étape

1. Réécrire l'équation sans les barres de valeur absolue

Utilisez les règles:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ et $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
Pour écrire toutes les quatre options de l'équation
$\frac{1}{2} | x + 3 | = | 2 x - 1 |$
Sans les barres de valeur absolue:

$\| x \| = \| y \|$	$\frac{1}{2} \| x + 3 \| = \| 2 x - 1 \|$
$x = + y$	$\frac{1}{2} (x + 3) = (2 x - 1)$
$x = - y$	$\frac{1}{2} (x + 3) = - (2 x - 1)$
$+ x = y$	$\frac{1}{2} (x + 3) = (2 x - 1)$
$- x = y$	$\frac{1}{2} (- (x + 3)) = (2 x - 1)$

Une fois simplifiées, les équations $x = + y$ et $+ x = y$ sont identiques, et les équations $x = - y$ et $- x = y$ sont également identiques, nous avons donc seulement 2 équations :

$\| x \| = \| y \|$	$\frac{1}{2} \| x + 3 \| = \| 2 x - 1 \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$\frac{1}{2} (x + 3) = (2 x - 1)$
$x = - y$ , $- x = y$	$\frac{1}{2} (x + 3) = - (2 x - 1)$

2. Résoudre les deux équations pour x

26 étapes supplémentaires

$\frac{1}{2} \cdot (x + 3) = (2 x - 1)$

Multiplier les fractions:

$\frac{(1 \cdot (x + 3))}{2} = (2 x - 1)$

Décomposer la fraction:

$\frac{x}{2} + \frac{3}{2} = (2 x - 1)$

Soustraire des deux côtés:

$(\frac{x}{2} + \frac{3}{2}) - 2 x = (2 x - 1) - 2 x$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{x}{2} - 2 x) + \frac{3}{2} = (2 x - 1) - 2 x$

Coefficients du groupe:

$(\frac{1}{2} - 2) x + \frac{3}{2} = (2 x - 1) - 2 x$

Convertir un nombre entier en fraction:

$(\frac{1}{2} + \frac{- 4}{2}) x + \frac{3}{2} = (2 x - 1) - 2 x$

Combiner les fractions:

$\frac{(1 - 4)}{2} x + \frac{3}{2} = (2 x - 1) - 2 x$

Combiner les numérateurs:

$\frac{- 3}{2} x + \frac{3}{2} = (2 x - 1) - 2 x$

Collecter des termes semblables:

$\frac{- 3}{2} x + \frac{3}{2} = (2 x - 2 x) - 1$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{- 3}{2} x + \frac{3}{2} = - 1$

Soustraire des deux côtés:

$(\frac{- 3}{2} x + \frac{3}{2}) - \frac{3}{2} = - 1 - \frac{3}{2}$

Combiner les fractions:

$\frac{- 3}{2} x + \frac{(3 - 3)}{2} = - 1 - \frac{3}{2}$

Combiner les numérateurs:

$\frac{- 3}{2} x + \frac{0}{2} = - 1 - \frac{3}{2}$

Réduire le numérateur zéro:

$\frac{- 3}{2} x + 0 = - 1 - \frac{3}{2}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{- 3}{2} x = - 1 - \frac{3}{2}$

Convertir un nombre entier en fraction:

$\frac{- 3}{2} x = \frac{- 2}{2} + \frac{- 3}{2}$

Combiner les fractions:

$\frac{- 3}{2} x = \frac{(- 2 - 3)}{2}$

Combiner les numérateurs:

$\frac{- 3}{2} x = \frac{- 5}{2}$

Multiplier les deux côtés par la fraction inverse :

$(\frac{- 3}{2} x) \cdot \frac{2}{- 3} = (\frac{- 5}{2}) \cdot \frac{2}{- 3}$

Déplacer le signe négatif du dénominateur vers le numérateur:

$\frac{- 3}{2} x \cdot \frac{- 2}{3} = (\frac{- 5}{2}) \cdot \frac{2}{- 3}$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{- 3}{2} \cdot \frac{- 2}{3}) x = (\frac{- 5}{2}) \cdot \frac{2}{- 3}$

Multiplier les coefficients:

$\frac{(- 3 \cdot - 2)}{(2 \cdot 3)} x = (\frac{- 5}{2}) \cdot \frac{2}{- 3}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$1 x = (\frac{- 5}{2}) \cdot \frac{2}{- 3}$

$x = (\frac{- 5}{2}) \cdot \frac{2}{- 3}$

Déplacer le signe négatif du dénominateur vers le numérateur:

$x = \frac{- 5}{2} \cdot \frac{- 2}{3}$

Multiplier les fractions:

$x = \frac{(- 5 \cdot - 2)}{(2 \cdot 3)}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$x = \frac{5}{3}$

24 étapes supplémentaires

$\frac{1}{2} \cdot (x + 3) = - (2 x - 1)$

Multiplier les fractions:

$\frac{(1 \cdot (x + 3))}{2} = - (2 x - 1)$

Décomposer la fraction:

$\frac{x}{2} + \frac{3}{2} = - (2 x - 1)$

Développer les parenthèses:

$\frac{x}{2} + \frac{3}{2} = - 2 x + 1$

Additionner des deux côtés:

$(\frac{x}{2} + \frac{3}{2}) + 2 x = (- 2 x + 1) + 2 x$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{x}{2} + 2 x) + \frac{3}{2} = (- 2 x + 1) + 2 x$

Coefficients du groupe:

$(\frac{1}{2} + 2) x + \frac{3}{2} = (- 2 x + 1) + 2 x$

Convertir un nombre entier en fraction:

$(\frac{1}{2} + \frac{4}{2}) x + \frac{3}{2} = (- 2 x + 1) + 2 x$

Combiner les fractions:

$\frac{(1 + 4)}{2} x + \frac{3}{2} = (- 2 x + 1) + 2 x$

Combiner les numérateurs:

$\frac{5}{2} x + \frac{3}{2} = (- 2 x + 1) + 2 x$

Collecter des termes semblables:

$\frac{5}{2} x + \frac{3}{2} = (- 2 x + 2 x) + 1$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{5}{2} x + \frac{3}{2} = 1$

Soustraire des deux côtés:

$(\frac{5}{2} x + \frac{3}{2}) - \frac{3}{2} = 1 - \frac{3}{2}$

Combiner les fractions:

$\frac{5}{2} x + \frac{(3 - 3)}{2} = 1 - \frac{3}{2}$

Combiner les numérateurs:

$\frac{5}{2} x + \frac{0}{2} = 1 - \frac{3}{2}$

Réduire le numérateur zéro:

$\frac{5}{2} x + 0 = 1 - \frac{3}{2}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{5}{2} x = 1 - \frac{3}{2}$

Convertir un nombre entier en fraction:

$\frac{5}{2} x = \frac{2}{2} + \frac{- 3}{2}$

Combiner les fractions:

$\frac{5}{2} x = \frac{(2 - 3)}{2}$

Combiner les numérateurs:

$\frac{5}{2} x = \frac{- 1}{2}$

Multiplier les deux côtés par la fraction inverse :

$(\frac{5}{2} x) \cdot \frac{2}{5} = (\frac{- 1}{2}) \cdot \frac{2}{5}$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5}) x = (\frac{- 1}{2}) \cdot \frac{2}{5}$

Multiplier les coefficients:

$\frac{(5 \cdot 2)}{(2 \cdot 5)} x = (\frac{- 1}{2}) \cdot \frac{2}{5}$

Simplifier la fraction:

$x = (\frac{- 1}{2}) \cdot \frac{2}{5}$

Multiplier les fractions:

$x = \frac{(- 1 \cdot 2)}{(2 \cdot 5)}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$x = \frac{- 1}{5}$

3. Lister les solutions

$x = \frac{5}{3}, - \frac{1}{5}$
(2 solution(s))

4. Graphe

Chaque ligne représente la fonction d'un côté de l'équation:
$y = \frac{1}{2} | x + 3 |$
$y = | 2 x - 1 |$
L'équation est vraie là où les deux lignes se croisent.

Comment nous en sommes-nous sortis ?

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Pourquoi apprendre cela

Nous rencontrons presque quotidiennement des valeurs absolues. Par exemple : si vous marchez 3 miles pour aller à l'école, marchez-vous aussi 3 miles en sens inverse lorsque vous rentrez à la maison ? La réponse est non car les distances utilisent une valeur absolue. La valeur absolue de la distance entre la maison et l'école est de 3 miles, que ce soit pour l'aller ou le retour.
En bref, les valeurs absolues nous aident à gérer des concepts comme la distance, les fourchettes de valeurs possibles, et l'écart par rapport à une valeur fixée.

Solution - Équations à valeur absolue

Explication étape par étape

1. Réécrire l'équation sans les barres de valeur absolue

2. Résoudre les deux équations pour x

3. Lister les solutions

4. Graphe

Pourquoi apprendre cela

Termes et sujets

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