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Solution - Équations à valeur absolue

Forme exacte : z=2
z=2
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Autres façons de résoudre

Équations à valeur absolue

Explication étape par étape

1. Réécrire l'équation sans les barres de valeur absolue

Utilisez les règles:
|x|=|y| → x=±y et |x|=|y| → ±x=y
Pour écrire toutes les quatre options de l'équation
|z−1|=|z−3|
Sans les barres de valeur absolue:

|x|=|y||z−1|=|z−3|
x=+y(z−1)=(z−3)
x=−y(z−1)=−(z−3)
+x=y(z−1)=(z−3)
−x=y−(z−1)=(z−3)

Une fois simplifiées, les équations x=+y et +x=y sont identiques, et les équations x=−y et −x=y sont également identiques, nous avons donc seulement 2 équations :

|x|=|y||z−1|=|z−3|
x=+y , +x=y(z−1)=(z−3)
x=−y , −x=y(z−1)=−(z−3)

2. Résoudre les deux équations pour z

5 étapes supplémentaires

(z-1)=(z-3)

Soustraire des deux côtés:

(z-1)-z=(z-3)-z

Collecter des termes semblables:

(z-z)-1=(z-3)-z

Simplifier l’expression arithmétique:

-1=(z-3)-z

Collecter des termes semblables:

-1=(z-z)-3

Simplifier l’expression arithmétique:

−1=−3

L’affirmation est fausse:

−1=−3

L'équation est fausse, donc elle n'a pas de solution.

12 étapes supplémentaires

(z-1)=-(z-3)

Développer les parenthèses:

(z-1)=-z+3

Additionner des deux côtés:

(z-1)+z=(-z+3)+z

Collecter des termes semblables:

(z+z)-1=(-z+3)+z

Simplifier l’expression arithmétique:

2z-1=(-z+3)+z

Collecter des termes semblables:

2z-1=(-z+z)+3

Simplifier l’expression arithmétique:

2z−1=3

Additionner des deux côtés:

(2z-1)+1=3+1

Simplifier l’expression arithmétique:

2z=3+1

Simplifier l’expression arithmétique:

2z=4

Diviser les deux côtés par :

(2z)2=42

Simplifier la fraction:

z=42

Trouver le plus grand facteur commun du numérateur et du dénominateur:

z=(2·2)(1·2)

Éliminer et annuler le plus grand facteur commun:

z=2

3. Graphe

Chaque ligne représente la fonction d'un côté de l'équation:
y=|z−1|
y=|z−3|
L'équation est vraie là où les deux lignes se croisent.

Pourquoi apprendre cela

Nous rencontrons presque quotidiennement des valeurs absolues. Par exemple : si vous marchez 3 miles pour aller à l'école, marchez-vous aussi 3 miles en sens inverse lorsque vous rentrez à la maison ? La réponse est non car les distances utilisent une valeur absolue. La valeur absolue de la distance entre la maison et l'école est de 3 miles, que ce soit pour l'aller ou le retour.
En bref, les valeurs absolues nous aident à gérer des concepts comme la distance, les fourchettes de valeurs possibles, et l'écart par rapport à une valeur fixée.

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