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Solution - Équations à valeur absolue

Forme exacte :

y = - \frac{9}{16}, - \frac{15}{32}

y=-\frac{9}{16} , -\frac{15}{32}

Forme décimale :

y = - 0, 562, - 0, 469

y=-0,562 , -0,469

Voir les étapes

Explication étape par étape

1. Réécrire l'équation sans les barres de valeur absolue

Utilisez les règles:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ et $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
Pour écrire toutes les quatre options de l'équation
$| y + \frac{1}{2} | = | \frac{1}{3} y + \frac{1}{8} |$
Sans les barres de valeur absolue:

$\| x \| = \| y \|$	$\| y + \frac{1}{2} \| = \| \frac{1}{3} y + \frac{1}{8} \|$
$x = + y$	$(y + \frac{1}{2}) = (\frac{1}{3} y + \frac{1}{8})$
$x = - y$	$(y + \frac{1}{2}) = - (\frac{1}{3} y + \frac{1}{8})$
$+ x = y$	$(y + \frac{1}{2}) = (\frac{1}{3} y + \frac{1}{8})$
$- x = y$	$- (y + \frac{1}{2}) = (\frac{1}{3} y + \frac{1}{8})$

Une fois simplifiées, les équations $x = + y$ et $+ x = y$ sont identiques, et les équations $x = - y$ et $- x = y$ sont également identiques, nous avons donc seulement 2 équations :

$\| x \| = \| y \|$	$\| y + \frac{1}{2} \| = \| \frac{1}{3} y + \frac{1}{8} \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$(y + \frac{1}{2}) = (\frac{1}{3} y + \frac{1}{8})$
$x = - y$ , $- x = y$	$(y + \frac{1}{2}) = - (\frac{1}{3} y + \frac{1}{8})$

2. Résoudre les deux équations pour y

27 étapes supplémentaires

$(y + \frac{1}{2}) = (\frac{1}{3} y + \frac{1}{8})$

Soustraire des deux côtés:

$(y + \frac{1}{2}) - \frac{1}{3} \cdot y = (\frac{1}{3} y + \frac{1}{8}) - \frac{1}{3} y$

Collecter des termes semblables:

$(y + \frac{- 1}{3} \cdot y) + \frac{1}{2} = (\frac{1}{3} \cdot y + \frac{1}{8}) - \frac{1}{3} y$

Coefficients du groupe:

$(1 + \frac{- 1}{3}) y + \frac{1}{2} = (\frac{1}{3} \cdot y + \frac{1}{8}) - \frac{1}{3} y$

Convertir un nombre entier en fraction:

$(\frac{3}{3} + \frac{- 1}{3}) y + \frac{1}{2} = (\frac{1}{3} \cdot y + \frac{1}{8}) - \frac{1}{3} y$

Combiner les fractions:

$\frac{(3 - 1)}{3} \cdot y + \frac{1}{2} = (\frac{1}{3} \cdot y + \frac{1}{8}) - \frac{1}{3} y$

Combiner les numérateurs:

$\frac{2}{3} \cdot y + \frac{1}{2} = (\frac{1}{3} \cdot y + \frac{1}{8}) - \frac{1}{3} y$

Collecter des termes semblables:

$\frac{2}{3} \cdot y + \frac{1}{2} = (\frac{1}{3} \cdot y + \frac{- 1}{3} y) + \frac{1}{8}$

Combiner les fractions:

$\frac{2}{3} \cdot y + \frac{1}{2} = \frac{(1 - 1)}{3} y + \frac{1}{8}$

Combiner les numérateurs:

$\frac{2}{3} \cdot y + \frac{1}{2} = \frac{0}{3} y + \frac{1}{8}$

Réduire le numérateur zéro:

$\frac{2}{3} y + \frac{1}{2} = 0 y + \frac{1}{8}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{2}{3} y + \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$

Soustraire des deux côtés:

$(\frac{2}{3} y + \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} = (\frac{1}{8}) - \frac{1}{2}$

Combiner les fractions:

$\frac{2}{3} y + \frac{(1 - 1)}{2} = (\frac{1}{8}) - \frac{1}{2}$

Combiner les numérateurs:

$\frac{2}{3} y + \frac{0}{2} = (\frac{1}{8}) - \frac{1}{2}$

Réduire le numérateur zéro:

$\frac{2}{3} y + 0 = (\frac{1}{8}) - \frac{1}{2}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{2}{3} y = (\frac{1}{8}) - \frac{1}{2}$

Trouver le plus petit dénominateur commun:

$\frac{2}{3} y = \frac{1}{8} + \frac{(- 1 \cdot 4)}{(2 \cdot 4)}$

Multiplier les dénominateurs:

$\frac{2}{3} y = \frac{1}{8} + \frac{(- 1 \cdot 4)}{8}$

Multiplier les numérateurs:

$\frac{2}{3} y = \frac{1}{8} + \frac{- 4}{8}$

Combiner les fractions:

$\frac{2}{3} y = \frac{(1 - 4)}{8}$

Combiner les numérateurs:

$\frac{2}{3} y = \frac{- 3}{8}$

Multiplier les deux côtés par la fraction inverse :

$(\frac{2}{3} y) \cdot \frac{3}{2} = (\frac{- 3}{8}) \cdot \frac{3}{2}$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}) y = (\frac{- 3}{8}) \cdot \frac{3}{2}$

Multiplier les coefficients:

$\frac{(2 \cdot 3)}{(3 \cdot 2)} y = (\frac{- 3}{8}) \cdot \frac{3}{2}$

Simplifier la fraction:

$y = (\frac{- 3}{8}) \cdot \frac{3}{2}$

Multiplier les fractions:

$y = \frac{(- 3 \cdot 3)}{(8 \cdot 2)}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$y = \frac{- 9}{(8 \cdot 2)}$

$y = \frac{- 9}{16}$

28 étapes supplémentaires

$(y + \frac{1}{2}) = - (\frac{1}{3} y + \frac{1}{8})$

Développer les parenthèses:

$(y + \frac{1}{2}) = \frac{- 1}{3} y + \frac{- 1}{8}$

Additionner des deux côtés:

$(y + \frac{1}{2}) + \frac{1}{3} \cdot y = (\frac{- 1}{3} y + \frac{- 1}{8}) + \frac{1}{3} y$

Collecter des termes semblables:

$(y + \frac{1}{3} \cdot y) + \frac{1}{2} = (\frac{- 1}{3} \cdot y + \frac{- 1}{8}) + \frac{1}{3} y$

Coefficients du groupe:

$(1 + \frac{1}{3}) y + \frac{1}{2} = (\frac{- 1}{3} \cdot y + \frac{- 1}{8}) + \frac{1}{3} y$

Convertir un nombre entier en fraction:

$(\frac{3}{3} + \frac{1}{3}) y + \frac{1}{2} = (\frac{- 1}{3} \cdot y + \frac{- 1}{8}) + \frac{1}{3} y$

Combiner les fractions:

$\frac{(3 + 1)}{3} \cdot y + \frac{1}{2} = (\frac{- 1}{3} \cdot y + \frac{- 1}{8}) + \frac{1}{3} y$

Combiner les numérateurs:

$\frac{4}{3} \cdot y + \frac{1}{2} = (\frac{- 1}{3} \cdot y + \frac{- 1}{8}) + \frac{1}{3} y$

Collecter des termes semblables:

$\frac{4}{3} \cdot y + \frac{1}{2} = (\frac{- 1}{3} \cdot y + \frac{1}{3} y) + \frac{- 1}{8}$

Combiner les fractions:

$\frac{4}{3} \cdot y + \frac{1}{2} = \frac{(- 1 + 1)}{3} y + \frac{- 1}{8}$

Combiner les numérateurs:

$\frac{4}{3} \cdot y + \frac{1}{2} = \frac{0}{3} y + \frac{- 1}{8}$

Réduire le numérateur zéro:

$\frac{4}{3} y + \frac{1}{2} = 0 y + \frac{- 1}{8}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{4}{3} y + \frac{1}{2} = \frac{- 1}{8}$

Soustraire des deux côtés:

$(\frac{4}{3} y + \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} = (\frac{- 1}{8}) - \frac{1}{2}$

Combiner les fractions:

$\frac{4}{3} y + \frac{(1 - 1)}{2} = (\frac{- 1}{8}) - \frac{1}{2}$

Combiner les numérateurs:

$\frac{4}{3} y + \frac{0}{2} = (\frac{- 1}{8}) - \frac{1}{2}$

Réduire le numérateur zéro:

$\frac{4}{3} y + 0 = (\frac{- 1}{8}) - \frac{1}{2}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{4}{3} y = (\frac{- 1}{8}) - \frac{1}{2}$

Trouver le plus petit dénominateur commun:

$\frac{4}{3} y = \frac{- 1}{8} + \frac{(- 1 \cdot 4)}{(2 \cdot 4)}$

Multiplier les dénominateurs:

$\frac{4}{3} y = \frac{- 1}{8} + \frac{(- 1 \cdot 4)}{8}$

Multiplier les numérateurs:

$\frac{4}{3} y = \frac{- 1}{8} + \frac{- 4}{8}$

Combiner les fractions:

$\frac{4}{3} y = \frac{(- 1 - 4)}{8}$

Combiner les numérateurs:

$\frac{4}{3} y = \frac{- 5}{8}$

Multiplier les deux côtés par la fraction inverse :

$(\frac{4}{3} y) \cdot \frac{3}{4} = (\frac{- 5}{8}) \cdot \frac{3}{4}$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4}) y = (\frac{- 5}{8}) \cdot \frac{3}{4}$

Multiplier les coefficients:

$\frac{(4 \cdot 3)}{(3 \cdot 4)} y = (\frac{- 5}{8}) \cdot \frac{3}{4}$

Simplifier la fraction:

$y = (\frac{- 5}{8}) \cdot \frac{3}{4}$

Multiplier les fractions:

$y = \frac{(- 5 \cdot 3)}{(8 \cdot 4)}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$y = \frac{- 15}{(8 \cdot 4)}$

$y = \frac{- 15}{32}$

3. Lister les solutions

$y = - \frac{9}{16}, - \frac{15}{32}$
(2 solution(s))

4. Graphe

Chaque ligne représente la fonction d'un côté de l'équation:
$y = | y + \frac{1}{2} |$
$y = | \frac{1}{3} y + \frac{1}{8} |$
L'équation est vraie là où les deux lignes se croisent.

Comment nous en sommes-nous sortis ?

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Pourquoi apprendre cela

Nous rencontrons presque quotidiennement des valeurs absolues. Par exemple : si vous marchez 3 miles pour aller à l'école, marchez-vous aussi 3 miles en sens inverse lorsque vous rentrez à la maison ? La réponse est non car les distances utilisent une valeur absolue. La valeur absolue de la distance entre la maison et l'école est de 3 miles, que ce soit pour l'aller ou le retour.
En bref, les valeurs absolues nous aident à gérer des concepts comme la distance, les fourchettes de valeurs possibles, et l'écart par rapport à une valeur fixée.

Solution - Équations à valeur absolue

Explication étape par étape

1. Réécrire l'équation sans les barres de valeur absolue

2. Résoudre les deux équations pour y

3. Lister les solutions

4. Graphe

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