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Solution - Équations à valeur absolue

Forme exacte :

x = \frac{3}{4}

x=\frac{3}{4}

Forme décimale :

x = 0, 75

x=0,75

Voir les étapes

Explication étape par étape

1. Réécrire l'équation sans les barres de valeur absolue

Utilisez les règles:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ et $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
Pour écrire toutes les quatre options de l'équation
$| x - \frac{4}{3} | = | x - \frac{1}{6} |$
Sans les barres de valeur absolue:

$\| x \| = \| y \|$	$\| x - \frac{4}{3} \| = \| x - \frac{1}{6} \|$
$x = + y$	$(x - \frac{4}{3}) = (x - \frac{1}{6})$
$x = - y$	$(x - \frac{4}{3}) = - (x - \frac{1}{6})$
$+ x = y$	$(x - \frac{4}{3}) = (x - \frac{1}{6})$
$- x = y$	$- (x - \frac{4}{3}) = (x - \frac{1}{6})$

Une fois simplifiées, les équations $x = + y$ et $+ x = y$ sont identiques, et les équations $x = - y$ et $- x = y$ sont également identiques, nous avons donc seulement 2 équations :

$\| x \| = \| y \|$	$\| x - \frac{4}{3} \| = \| x - \frac{1}{6} \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$(x - \frac{4}{3}) = (x - \frac{1}{6})$
$x = - y$ , $- x = y$	$(x - \frac{4}{3}) = - (x - \frac{1}{6})$

2. Résoudre les deux équations pour x

5 étapes supplémentaires

$(x + \frac{- 4}{3}) = (x + \frac{- 1}{6})$

Soustraire des deux côtés:

$(x + \frac{- 4}{3}) - x = (x + \frac{- 1}{6}) - x$

Collecter des termes semblables:

$(x - x) + \frac{- 4}{3} = (x + \frac{- 1}{6}) - x$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{- 4}{3} = (x + \frac{- 1}{6}) - x$

Collecter des termes semblables:

$\frac{- 4}{3} = (x - x) + \frac{- 1}{6}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{- 4}{3} = \frac{- 1}{6}$

L’affirmation est fausse:

$\frac{- 4}{3} = \frac{- 1}{6}$

L'équation est fausse, donc elle n'a pas de solution.

21 étapes supplémentaires

$(x + \frac{- 4}{3}) = - (x + \frac{- 1}{6})$

Développer les parenthèses:

$(x + \frac{- 4}{3}) = - x + \frac{1}{6}$

Additionner des deux côtés:

$(x + \frac{- 4}{3}) + x = (- x + \frac{1}{6}) + x$

Collecter des termes semblables:

$(x + x) + \frac{- 4}{3} = (- x + \frac{1}{6}) + x$

Simplifier l’expression arithmétique:

$2 x + \frac{- 4}{3} = (- x + \frac{1}{6}) + x$

Collecter des termes semblables:

$2 x + \frac{- 4}{3} = (- x + x) + \frac{1}{6}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$2 x + \frac{- 4}{3} = \frac{1}{6}$

Additionner des deux côtés:

$(2 x + \frac{- 4}{3}) + \frac{4}{3} = (\frac{1}{6}) + \frac{4}{3}$

Combiner les fractions:

$2 x + \frac{(- 4 + 4)}{3} = (\frac{1}{6}) + \frac{4}{3}$

Combiner les numérateurs:

$2 x + \frac{0}{3} = (\frac{1}{6}) + \frac{4}{3}$

Réduire le numérateur zéro:

$2 x + 0 = (\frac{1}{6}) + \frac{4}{3}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$2 x = (\frac{1}{6}) + \frac{4}{3}$

Trouver le plus petit dénominateur commun:

$2 x = \frac{1}{6} + \frac{(4 \cdot 2)}{(3 \cdot 2)}$

Multiplier les dénominateurs:

$2 x = \frac{1}{6} + \frac{(4 \cdot 2)}{6}$

Multiplier les numérateurs:

$2 x = \frac{1}{6} + \frac{8}{6}$

Combiner les fractions:

$2 x = \frac{(1 + 8)}{6}$

Combiner les numérateurs:

$2 x = \frac{9}{6}$

Trouver le plus grand facteur commun du numérateur et du dénominateur:

$2 x = \frac{(3 \cdot 3)}{(2 \cdot 3)}$

Éliminer et annuler le plus grand facteur commun:

$2 x = \frac{3}{2}$

Diviser les deux côtés par :

$\frac{(2 x)}{2} = \frac{(\frac{3}{2})}{2}$

Simplifier la fraction:

$x = \frac{(\frac{3}{2})}{2}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$x = \frac{3}{(2 \cdot 2)}$

$x = \frac{3}{4}$

3. Graphe

Chaque ligne représente la fonction d'un côté de l'équation:
$y = | x - \frac{4}{3} |$
$y = | x - \frac{1}{6} |$
L'équation est vraie là où les deux lignes se croisent.

Comment nous en sommes-nous sortis ?

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Pourquoi apprendre cela

Nous rencontrons presque quotidiennement des valeurs absolues. Par exemple : si vous marchez 3 miles pour aller à l'école, marchez-vous aussi 3 miles en sens inverse lorsque vous rentrez à la maison ? La réponse est non car les distances utilisent une valeur absolue. La valeur absolue de la distance entre la maison et l'école est de 3 miles, que ce soit pour l'aller ou le retour.
En bref, les valeurs absolues nous aident à gérer des concepts comme la distance, les fourchettes de valeurs possibles, et l'écart par rapport à une valeur fixée.

Solution - Équations à valeur absolue

Explication étape par étape

1. Réécrire l'équation sans les barres de valeur absolue

2. Résoudre les deux équations pour x

3. Graphe

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