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Solution - Équations à valeur absolue

Forme exacte :

x = 3, \frac{3}{2}

x=3 , \frac{3}{2}

Forme de nombre mélangé :

x = 3, 1 \frac{1}{2}

x=3 , 1\frac{1}{2}

Forme décimale :

x = 3, 1, 5

x=3 , 1,5

Voir les étapes

Explication étape par étape

1. Réécrire l'équation sans les barres de valeur absolue

Utilisez les règles:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ et $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
Pour écrire toutes les quatre options de l'équation
$| x - 2 | = | \frac{1}{3} x |$
Sans les barres de valeur absolue:

$\| x \| = \| y \|$	$\| x - 2 \| = \| \frac{1}{3} x \|$
$x = + y$	$(x - 2) = (\frac{1}{3} x)$
$x = - y$	$(x - 2) = - (\frac{1}{3} x)$
$+ x = y$	$(x - 2) = (\frac{1}{3} x)$
$- x = y$	$- (x - 2) = (\frac{1}{3} x)$

Une fois simplifiées, les équations $x = + y$ et $+ x = y$ sont identiques, et les équations $x = - y$ et $- x = y$ sont également identiques, nous avons donc seulement 2 équations :

$\| x \| = \| y \|$	$\| x - 2 \| = \| \frac{1}{3} x \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$(x - 2) = (\frac{1}{3} x)$
$x = - y$ , $- x = y$	$(x - 2) = - (\frac{1}{3} x)$

2. Résoudre les deux équations pour x

18 étapes supplémentaires

$(x - 2) = \frac{1}{3} x$

Soustraire des deux côtés:

$(x - 2) - \frac{1}{3} \cdot x = (\frac{1}{3} x) - \frac{1}{3} x$

Collecter des termes semblables:

$(x + \frac{- 1}{3} \cdot x) - 2 = (\frac{1}{3} \cdot x) - \frac{1}{3} x$

Coefficients du groupe:

$(1 + \frac{- 1}{3}) x - 2 = (\frac{1}{3} \cdot x) - \frac{1}{3} x$

Convertir un nombre entier en fraction:

$(\frac{3}{3} + \frac{- 1}{3}) x - 2 = (\frac{1}{3} \cdot x) - \frac{1}{3} x$

Combiner les fractions:

$\frac{(3 - 1)}{3} \cdot x - 2 = (\frac{1}{3} \cdot x) - \frac{1}{3} x$

Combiner les numérateurs:

$\frac{2}{3} \cdot x - 2 = (\frac{1}{3} \cdot x) - \frac{1}{3} x$

Combiner les fractions:

$\frac{2}{3} \cdot x - 2 = \frac{(1 - 1)}{3} x$

Combiner les numérateurs:

$\frac{2}{3} \cdot x - 2 = \frac{0}{3} x$

Réduire le numérateur zéro:

$\frac{2}{3} x - 2 = 0 x$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{2}{3} x - 2 = 0$

Additionner des deux côtés:

$(\frac{2}{3} x - 2) + 2 = 0 + 2$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{2}{3} x = 0 + 2$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{2}{3} x = 2$

Multiplier les deux côtés par la fraction inverse :

$(\frac{2}{3} x) \cdot \frac{3}{2} = 2 \cdot \frac{3}{2}$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}) x = 2 \cdot \frac{3}{2}$

Multiplier les coefficients:

$\frac{(2 \cdot 3)}{(3 \cdot 2)} x = 2 \cdot \frac{3}{2}$

Simplifier la fraction:

$x = 2 \cdot \frac{3}{2}$

Multiplier les fractions:

$x = \frac{(2 \cdot 3)}{2}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$x = 3$

17 étapes supplémentaires

$(x - 2) = \frac{- 1}{3} x$

Additionner des deux côtés:

$(x - 2) + 2 = (\frac{- 1}{3} x) + 2$

Simplifier l’expression arithmétique:

$x = (\frac{- 1}{3} x) + 2$

Additionner des deux côtés:

$x + \frac{1}{3} \cdot x = (\frac{- 1}{3} x + 2) + \frac{1}{3} x$

Coefficients du groupe:

$(1 + \frac{1}{3}) x = (\frac{- 1}{3} \cdot x + 2) + \frac{1}{3} x$

Convertir un nombre entier en fraction:

$(\frac{3}{3} + \frac{1}{3}) x = (\frac{- 1}{3} \cdot x + 2) + \frac{1}{3} x$

Combiner les fractions:

$\frac{(3 + 1)}{3} \cdot x = (\frac{- 1}{3} \cdot x + 2) + \frac{1}{3} x$

Combiner les numérateurs:

$\frac{4}{3} \cdot x = (\frac{- 1}{3} \cdot x + 2) + \frac{1}{3} x$

Collecter des termes semblables:

$\frac{4}{3} \cdot x = (\frac{- 1}{3} \cdot x + \frac{1}{3} x) + 2$

Combiner les fractions:

$\frac{4}{3} \cdot x = \frac{(- 1 + 1)}{3} x + 2$

Combiner les numérateurs:

$\frac{4}{3} \cdot x = \frac{0}{3} x + 2$

Réduire le numérateur zéro:

$\frac{4}{3} x = 0 x + 2$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{4}{3} x = 2$

Multiplier les deux côtés par la fraction inverse :

$(\frac{4}{3} x) \cdot \frac{3}{4} = 2 \cdot \frac{3}{4}$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4}) x = 2 \cdot \frac{3}{4}$

Multiplier les coefficients:

$\frac{(4 \cdot 3)}{(3 \cdot 4)} x = 2 \cdot \frac{3}{4}$

Simplifier la fraction:

$x = 2 \cdot \frac{3}{4}$

Multiplier les fractions:

$x = \frac{(2 \cdot 3)}{4}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$x = \frac{3}{2}$

3. Lister les solutions

$x = 3, \frac{3}{2}$
(2 solution(s))

4. Graphe

Chaque ligne représente la fonction d'un côté de l'équation:
$y = | x - 2 |$
$y = | \frac{1}{3} x |$
L'équation est vraie là où les deux lignes se croisent.

Comment nous en sommes-nous sortis ?

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Pourquoi apprendre cela

Nous rencontrons presque quotidiennement des valeurs absolues. Par exemple : si vous marchez 3 miles pour aller à l'école, marchez-vous aussi 3 miles en sens inverse lorsque vous rentrez à la maison ? La réponse est non car les distances utilisent une valeur absolue. La valeur absolue de la distance entre la maison et l'école est de 3 miles, que ce soit pour l'aller ou le retour.
En bref, les valeurs absolues nous aident à gérer des concepts comme la distance, les fourchettes de valeurs possibles, et l'écart par rapport à une valeur fixée.

Solution - Équations à valeur absolue

Explication étape par étape

1. Réécrire l'équation sans les barres de valeur absolue

2. Résoudre les deux équations pour x

3. Lister les solutions

4. Graphe

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