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Solution - Équations à valeur absolue

Forme exacte :

x = - 3, \frac{5}{3}

x=-3 , \frac{5}{3}

Forme de nombre mélangé :

x = - 3, 1 \frac{2}{3}

x=-3 , 1\frac{2}{3}

Forme décimale :

x = - 3, 1, 667

x=-3 , 1,667

Voir les étapes

Explication étape par étape

1. Réécrire l'équation sans les barres de valeur absolue

Utilisez les règles:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ et $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
Pour écrire toutes les quatre options de l'équation
$| x - \frac{1}{2} | = | \frac{1}{2} x - 2 |$
Sans les barres de valeur absolue:

$\| x \| = \| y \|$	$\| x - \frac{1}{2} \| = \| \frac{1}{2} x - 2 \|$
$x = + y$	$(x - \frac{1}{2}) = (\frac{1}{2} x - 2)$
$x = - y$	$(x - \frac{1}{2}) = - (\frac{1}{2} x - 2)$
$+ x = y$	$(x - \frac{1}{2}) = (\frac{1}{2} x - 2)$
$- x = y$	$- (x - \frac{1}{2}) = (\frac{1}{2} x - 2)$

Une fois simplifiées, les équations $x = + y$ et $+ x = y$ sont identiques, et les équations $x = - y$ et $- x = y$ sont également identiques, nous avons donc seulement 2 équations :

$\| x \| = \| y \|$	$\| x - \frac{1}{2} \| = \| \frac{1}{2} x - 2 \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$(x - \frac{1}{2}) = (\frac{1}{2} x - 2)$
$x = - y$ , $- x = y$	$(x - \frac{1}{2}) = - (\frac{1}{2} x - 2)$

2. Résoudre les deux équations pour x

24 étapes supplémentaires

$(x + \frac{- 1}{2}) = (\frac{1}{2} x - 2)$

Soustraire des deux côtés:

$(x + \frac{- 1}{2}) - \frac{1}{2} \cdot x = (\frac{1}{2} x - 2) - \frac{1}{2} x$

Collecter des termes semblables:

$(x + \frac{- 1}{2} \cdot x) + \frac{- 1}{2} = (\frac{1}{2} \cdot x - 2) - \frac{1}{2} x$

Coefficients du groupe:

$(1 + \frac{- 1}{2}) x + \frac{- 1}{2} = (\frac{1}{2} \cdot x - 2) - \frac{1}{2} x$

Convertir un nombre entier en fraction:

$(\frac{2}{2} + \frac{- 1}{2}) x + \frac{- 1}{2} = (\frac{1}{2} \cdot x - 2) - \frac{1}{2} x$

Combiner les fractions:

$\frac{(2 - 1)}{2} \cdot x + \frac{- 1}{2} = (\frac{1}{2} \cdot x - 2) - \frac{1}{2} x$

Combiner les numérateurs:

$\frac{1}{2} \cdot x + \frac{- 1}{2} = (\frac{1}{2} \cdot x - 2) - \frac{1}{2} x$

Collecter des termes semblables:

$\frac{1}{2} \cdot x + \frac{- 1}{2} = (\frac{1}{2} \cdot x + \frac{- 1}{2} x) - 2$

Combiner les fractions:

$\frac{1}{2} \cdot x + \frac{- 1}{2} = \frac{(1 - 1)}{2} x - 2$

Combiner les numérateurs:

$\frac{1}{2} \cdot x + \frac{- 1}{2} = \frac{0}{2} x - 2$

Réduire le numérateur zéro:

$\frac{1}{2} x + \frac{- 1}{2} = 0 x - 2$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{1}{2} x + \frac{- 1}{2} = - 2$

Additionner des deux côtés:

$(\frac{1}{2} x + \frac{- 1}{2}) + \frac{1}{2} = - 2 + \frac{1}{2}$

Combiner les fractions:

$\frac{1}{2} x + \frac{(- 1 + 1)}{2} = - 2 + \frac{1}{2}$

Combiner les numérateurs:

$\frac{1}{2} x + \frac{0}{2} = - 2 + \frac{1}{2}$

Réduire le numérateur zéro:

$\frac{1}{2} x + 0 = - 2 + \frac{1}{2}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{1}{2} x = - 2 + \frac{1}{2}$

Convertir un nombre entier en fraction:

$\frac{1}{2} x = \frac{- 4}{2} + \frac{1}{2}$

Combiner les fractions:

$\frac{1}{2} x = \frac{(- 4 + 1)}{2}$

Combiner les numérateurs:

$\frac{1}{2} x = \frac{- 3}{2}$

Multiplier les deux côtés par la fraction inverse :

$(\frac{1}{2} x) \cdot \frac{2}{1} = (\frac{- 3}{2}) \cdot \frac{2}{1}$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{1}{2} \cdot 2) x = (\frac{- 3}{2}) \cdot \frac{2}{1}$

Multiplier les coefficients:

$\frac{(1 \cdot 2)}{2} x = (\frac{- 3}{2}) \cdot \frac{2}{1}$

Simplifier la fraction:

$x = (\frac{- 3}{2}) \cdot \frac{2}{1}$

Multiplier les fractions:

$x = \frac{(- 3 \cdot 2)}{2}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$x = - 3$

25 étapes supplémentaires

$(x + \frac{- 1}{2}) = - (\frac{1}{2} x - 2)$

Développer les parenthèses:

$(x + \frac{- 1}{2}) = \frac{- 1}{2} x + 2$

Additionner des deux côtés:

$(x + \frac{- 1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot x = (\frac{- 1}{2} x + 2) + \frac{1}{2} x$

Collecter des termes semblables:

$(x + \frac{1}{2} \cdot x) + \frac{- 1}{2} = (\frac{- 1}{2} \cdot x + 2) + \frac{1}{2} x$

Coefficients du groupe:

$(1 + \frac{1}{2}) x + \frac{- 1}{2} = (\frac{- 1}{2} \cdot x + 2) + \frac{1}{2} x$

Convertir un nombre entier en fraction:

$(\frac{2}{2} + \frac{1}{2}) x + \frac{- 1}{2} = (\frac{- 1}{2} \cdot x + 2) + \frac{1}{2} x$

Combiner les fractions:

$\frac{(2 + 1)}{2} \cdot x + \frac{- 1}{2} = (\frac{- 1}{2} \cdot x + 2) + \frac{1}{2} x$

Combiner les numérateurs:

$\frac{3}{2} \cdot x + \frac{- 1}{2} = (\frac{- 1}{2} \cdot x + 2) + \frac{1}{2} x$

Collecter des termes semblables:

$\frac{3}{2} \cdot x + \frac{- 1}{2} = (\frac{- 1}{2} \cdot x + \frac{1}{2} x) + 2$

Combiner les fractions:

$\frac{3}{2} \cdot x + \frac{- 1}{2} = \frac{(- 1 + 1)}{2} x + 2$

Combiner les numérateurs:

$\frac{3}{2} \cdot x + \frac{- 1}{2} = \frac{0}{2} x + 2$

Réduire le numérateur zéro:

$\frac{3}{2} x + \frac{- 1}{2} = 0 x + 2$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{3}{2} x + \frac{- 1}{2} = 2$

Additionner des deux côtés:

$(\frac{3}{2} x + \frac{- 1}{2}) + \frac{1}{2} = 2 + \frac{1}{2}$

Combiner les fractions:

$\frac{3}{2} x + \frac{(- 1 + 1)}{2} = 2 + \frac{1}{2}$

Combiner les numérateurs:

$\frac{3}{2} x + \frac{0}{2} = 2 + \frac{1}{2}$

Réduire le numérateur zéro:

$\frac{3}{2} x + 0 = 2 + \frac{1}{2}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{3}{2} x = 2 + \frac{1}{2}$

Convertir un nombre entier en fraction:

$\frac{3}{2} x = \frac{4}{2} + \frac{1}{2}$

Combiner les fractions:

$\frac{3}{2} x = \frac{(4 + 1)}{2}$

Combiner les numérateurs:

$\frac{3}{2} x = \frac{5}{2}$

Multiplier les deux côtés par la fraction inverse :

$(\frac{3}{2} x) \cdot \frac{2}{3} = (\frac{5}{2}) \cdot \frac{2}{3}$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}) x = (\frac{5}{2}) \cdot \frac{2}{3}$

Multiplier les coefficients:

$\frac{(3 \cdot 2)}{(2 \cdot 3)} x = (\frac{5}{2}) \cdot \frac{2}{3}$

Simplifier la fraction:

$x = (\frac{5}{2}) \cdot \frac{2}{3}$

Multiplier les fractions:

$x = \frac{(5 \cdot 2)}{(2 \cdot 3)}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$x = \frac{5}{3}$

3. Lister les solutions

$x = - 3, \frac{5}{3}$
(2 solution(s))

4. Graphe

Chaque ligne représente la fonction d'un côté de l'équation:
$y = | x - \frac{1}{2} |$
$y = | \frac{1}{2} x - 2 |$
L'équation est vraie là où les deux lignes se croisent.

Comment nous en sommes-nous sortis ?

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Pourquoi apprendre cela

Nous rencontrons presque quotidiennement des valeurs absolues. Par exemple : si vous marchez 3 miles pour aller à l'école, marchez-vous aussi 3 miles en sens inverse lorsque vous rentrez à la maison ? La réponse est non car les distances utilisent une valeur absolue. La valeur absolue de la distance entre la maison et l'école est de 3 miles, que ce soit pour l'aller ou le retour.
En bref, les valeurs absolues nous aident à gérer des concepts comme la distance, les fourchettes de valeurs possibles, et l'écart par rapport à une valeur fixée.

Solution - Équations à valeur absolue

Explication étape par étape

1. Réécrire l'équation sans les barres de valeur absolue

2. Résoudre les deux équations pour x

3. Lister les solutions

4. Graphe

Pourquoi apprendre cela

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