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Solution - Équations à valeur absolue

Forme exacte :

x = \frac{13}{15}, \frac{7}{45}

x=\frac{13}{15} , \frac{7}{45}

Forme décimale :

x = 0, 867, 0, 156

x=0,867 , 0,156

Voir les étapes

Explication étape par étape

1. Réécrire l'équation sans les barres de valeur absolue

Utilisez les règles:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ et $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
Pour écrire toutes les quatre options de l'équation
$| x + \frac{1}{5} | = | 2 x - \frac{2}{3} |$
Sans les barres de valeur absolue:

$\| x \| = \| y \|$	$\| x + \frac{1}{5} \| = \| 2 x - \frac{2}{3} \|$
$x = + y$	$(x + \frac{1}{5}) = (2 x - \frac{2}{3})$
$x = - y$	$(x + \frac{1}{5}) = - (2 x - \frac{2}{3})$
$+ x = y$	$(x + \frac{1}{5}) = (2 x - \frac{2}{3})$
$- x = y$	$- (x + \frac{1}{5}) = (2 x - \frac{2}{3})$

Une fois simplifiées, les équations $x = + y$ et $+ x = y$ sont identiques, et les équations $x = - y$ et $- x = y$ sont également identiques, nous avons donc seulement 2 équations :

$\| x \| = \| y \|$	$\| x + \frac{1}{5} \| = \| 2 x - \frac{2}{3} \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$(x + \frac{1}{5}) = (2 x - \frac{2}{3})$
$x = - y$ , $- x = y$	$(x + \frac{1}{5}) = - (2 x - \frac{2}{3})$

2. Résoudre les deux équations pour x

17 étapes supplémentaires

$(x + \frac{1}{5}) = (2 x + \frac{- 2}{3})$

Soustraire des deux côtés:

$(x + \frac{1}{5}) - 2 x = (2 x + \frac{- 2}{3}) - 2 x$

Collecter des termes semblables:

$(x - 2 x) + \frac{1}{5} = (2 x + \frac{- 2}{3}) - 2 x$

Simplifier l’expression arithmétique:

$- x + \frac{1}{5} = (2 x + \frac{- 2}{3}) - 2 x$

Collecter des termes semblables:

$- x + \frac{1}{5} = (2 x - 2 x) + \frac{- 2}{3}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$- x + \frac{1}{5} = \frac{- 2}{3}$

Soustraire des deux côtés:

$(- x + \frac{1}{5}) - \frac{1}{5} = (\frac{- 2}{3}) - \frac{1}{5}$

Combiner les fractions:

$- x + \frac{(1 - 1)}{5} = (\frac{- 2}{3}) - \frac{1}{5}$

Combiner les numérateurs:

$- x + \frac{0}{5} = (\frac{- 2}{3}) - \frac{1}{5}$

Réduire le numérateur zéro:

$- x + 0 = (\frac{- 2}{3}) - \frac{1}{5}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$- x = (\frac{- 2}{3}) - \frac{1}{5}$

Trouver le plus petit dénominateur commun:

$- x = \frac{(- 2 \cdot 5)}{(3 \cdot 5)} + \frac{(- 1 \cdot 3)}{(5 \cdot 3)}$

Multiplier les dénominateurs:

$- x = \frac{(- 2 \cdot 5)}{15} + \frac{(- 1 \cdot 3)}{15}$

Multiplier les numérateurs:

$- x = \frac{- 10}{15} + \frac{- 3}{15}$

Combiner les fractions:

$- x = \frac{(- 10 - 3)}{15}$

Combiner les numérateurs:

$- x = \frac{- 13}{15}$

Multiplier les deux côtés par :

$- x \cdot - 1 = (\frac{- 13}{15}) \cdot - 1$

Supprimer le(s) un(s):

$x = (\frac{- 13}{15}) \cdot - 1$

Supprimer le(s) un(s):

$x = \frac{13}{15}$

19 étapes supplémentaires

$(x + \frac{1}{5}) = - (2 x + \frac{- 2}{3})$

Développer les parenthèses:

$(x + \frac{1}{5}) = - 2 x + \frac{2}{3}$

Additionner des deux côtés:

$(x + \frac{1}{5}) + 2 x = (- 2 x + \frac{2}{3}) + 2 x$

Collecter des termes semblables:

$(x + 2 x) + \frac{1}{5} = (- 2 x + \frac{2}{3}) + 2 x$

Simplifier l’expression arithmétique:

$3 x + \frac{1}{5} = (- 2 x + \frac{2}{3}) + 2 x$

Collecter des termes semblables:

$3 x + \frac{1}{5} = (- 2 x + 2 x) + \frac{2}{3}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$3 x + \frac{1}{5} = \frac{2}{3}$

Soustraire des deux côtés:

$(3 x + \frac{1}{5}) - \frac{1}{5} = (\frac{2}{3}) - \frac{1}{5}$

Combiner les fractions:

$3 x + \frac{(1 - 1)}{5} = (\frac{2}{3}) - \frac{1}{5}$

Combiner les numérateurs:

$3 x + \frac{0}{5} = (\frac{2}{3}) - \frac{1}{5}$

Réduire le numérateur zéro:

$3 x + 0 = (\frac{2}{3}) - \frac{1}{5}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$3 x = (\frac{2}{3}) - \frac{1}{5}$

Trouver le plus petit dénominateur commun:

$3 x = \frac{(2 \cdot 5)}{(3 \cdot 5)} + \frac{(- 1 \cdot 3)}{(5 \cdot 3)}$

Multiplier les dénominateurs:

$3 x = \frac{(2 \cdot 5)}{15} + \frac{(- 1 \cdot 3)}{15}$

Multiplier les numérateurs:

$3 x = \frac{10}{15} + \frac{- 3}{15}$

Combiner les fractions:

$3 x = \frac{(10 - 3)}{15}$

Combiner les numérateurs:

$3 x = \frac{7}{15}$

Diviser les deux côtés par :

$\frac{(3 x)}{3} = \frac{(\frac{7}{15})}{3}$

Simplifier la fraction:

$x = \frac{(\frac{7}{15})}{3}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$x = \frac{7}{(15 \cdot 3)}$

$x = \frac{7}{45}$

3. Lister les solutions

$x = \frac{13}{15}, \frac{7}{45}$
(2 solution(s))

4. Graphe

Chaque ligne représente la fonction d'un côté de l'équation:
$y = | x + \frac{1}{5} |$
$y = | 2 x - \frac{2}{3} |$
L'équation est vraie là où les deux lignes se croisent.

Comment nous en sommes-nous sortis ?

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Pourquoi apprendre cela

Nous rencontrons presque quotidiennement des valeurs absolues. Par exemple : si vous marchez 3 miles pour aller à l'école, marchez-vous aussi 3 miles en sens inverse lorsque vous rentrez à la maison ? La réponse est non car les distances utilisent une valeur absolue. La valeur absolue de la distance entre la maison et l'école est de 3 miles, que ce soit pour l'aller ou le retour.
En bref, les valeurs absolues nous aident à gérer des concepts comme la distance, les fourchettes de valeurs possibles, et l'écart par rapport à une valeur fixée.

Solution - Équations à valeur absolue

Explication étape par étape

1. Réécrire l'équation sans les barres de valeur absolue

2. Résoudre les deux équations pour x

3. Lister les solutions

4. Graphe

Pourquoi apprendre cela

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