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Solution - Équations à valeur absolue

Forme exacte :

b = - \frac{1}{9}, - \frac{1}{3}

b=-\frac{1}{9} , -\frac{1}{3}

Forme décimale :

b = - 0, 111, - 0, 333

b=-0,111 , -0,333

Voir les étapes

Explication étape par étape

1. Réécrire l'équation sans les barres de valeur absolue

Utilisez les règles:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ et $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
Pour écrire toutes les quatre options de l'équation
$| b + \frac{1}{4} | = | \frac{1}{4} b + \frac{1}{6} |$
Sans les barres de valeur absolue:

$\| x \| = \| y \|$	$\| b + \frac{1}{4} \| = \| \frac{1}{4} b + \frac{1}{6} \|$
$x = + y$	$(b + \frac{1}{4}) = (\frac{1}{4} b + \frac{1}{6})$
$x = - y$	$(b + \frac{1}{4}) = - (\frac{1}{4} b + \frac{1}{6})$
$+ x = y$	$(b + \frac{1}{4}) = (\frac{1}{4} b + \frac{1}{6})$
$- x = y$	$- (b + \frac{1}{4}) = (\frac{1}{4} b + \frac{1}{6})$

Une fois simplifiées, les équations $x = + y$ et $+ x = y$ sont identiques, et les équations $x = - y$ et $- x = y$ sont également identiques, nous avons donc seulement 2 équations :

$\| x \| = \| y \|$	$\| b + \frac{1}{4} \| = \| \frac{1}{4} b + \frac{1}{6} \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$(b + \frac{1}{4}) = (\frac{1}{4} b + \frac{1}{6})$
$x = - y$ , $- x = y$	$(b + \frac{1}{4}) = - (\frac{1}{4} b + \frac{1}{6})$

2. Résoudre les deux équations pour b

26 étapes supplémentaires

$(b + \frac{1}{4}) = (\frac{1}{4} b + \frac{1}{6})$

Soustraire des deux côtés:

$(b + \frac{1}{4}) - \frac{1}{4} \cdot b = (\frac{1}{4} b + \frac{1}{6}) - \frac{1}{4} b$

Collecter des termes semblables:

$(b + \frac{- 1}{4} \cdot b) + \frac{1}{4} = (\frac{1}{4} \cdot b + \frac{1}{6}) - \frac{1}{4} b$

Coefficients du groupe:

$(1 + \frac{- 1}{4}) b + \frac{1}{4} = (\frac{1}{4} \cdot b + \frac{1}{6}) - \frac{1}{4} b$

Convertir un nombre entier en fraction:

$(\frac{4}{4} + \frac{- 1}{4}) b + \frac{1}{4} = (\frac{1}{4} \cdot b + \frac{1}{6}) - \frac{1}{4} b$

Combiner les fractions:

$\frac{(4 - 1)}{4} \cdot b + \frac{1}{4} = (\frac{1}{4} \cdot b + \frac{1}{6}) - \frac{1}{4} b$

Combiner les numérateurs:

$\frac{3}{4} \cdot b + \frac{1}{4} = (\frac{1}{4} \cdot b + \frac{1}{6}) - \frac{1}{4} b$

Collecter des termes semblables:

$\frac{3}{4} \cdot b + \frac{1}{4} = (\frac{1}{4} \cdot b + \frac{- 1}{4} b) + \frac{1}{6}$

Combiner les fractions:

$\frac{3}{4} \cdot b + \frac{1}{4} = \frac{(1 - 1)}{4} b + \frac{1}{6}$

Combiner les numérateurs:

$\frac{3}{4} \cdot b + \frac{1}{4} = \frac{0}{4} b + \frac{1}{6}$

Réduire le numérateur zéro:

$\frac{3}{4} b + \frac{1}{4} = 0 b + \frac{1}{6}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{3}{4} b + \frac{1}{4} = \frac{1}{6}$

Soustraire des deux côtés:

$(\frac{3}{4} b + \frac{1}{4}) - \frac{1}{4} = (\frac{1}{6}) - \frac{1}{4}$

Combiner les fractions:

$\frac{3}{4} b + \frac{(1 - 1)}{4} = (\frac{1}{6}) - \frac{1}{4}$

Combiner les numérateurs:

$\frac{3}{4} b + \frac{0}{4} = (\frac{1}{6}) - \frac{1}{4}$

Réduire le numérateur zéro:

$\frac{3}{4} b + 0 = (\frac{1}{6}) - \frac{1}{4}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{3}{4} b = (\frac{1}{6}) - \frac{1}{4}$

Trouver le plus petit dénominateur commun:

$\frac{3}{4} b = \frac{(1 \cdot 2)}{(6 \cdot 2)} + \frac{(- 1 \cdot 3)}{(4 \cdot 3)}$

Multiplier les dénominateurs:

$\frac{3}{4} b = \frac{(1 \cdot 2)}{12} + \frac{(- 1 \cdot 3)}{12}$

Multiplier les numérateurs:

$\frac{3}{4} b = \frac{2}{12} + \frac{- 3}{12}$

Combiner les fractions:

$\frac{3}{4} b = \frac{(2 - 3)}{12}$

Combiner les numérateurs:

$\frac{3}{4} b = \frac{- 1}{12}$

Multiplier les deux côtés par la fraction inverse :

$(\frac{3}{4} b) \cdot \frac{4}{3} = (\frac{- 1}{12}) \cdot \frac{4}{3}$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}) b = (\frac{- 1}{12}) \cdot \frac{4}{3}$

Multiplier les coefficients:

$\frac{(3 \cdot 4)}{(4 \cdot 3)} b = (\frac{- 1}{12}) \cdot \frac{4}{3}$

Simplifier la fraction:

$b = (\frac{- 1}{12}) \cdot \frac{4}{3}$

Multiplier les fractions:

$b = \frac{(- 1 \cdot 4)}{(12 \cdot 3)}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$b = \frac{- 1}{9}$

27 étapes supplémentaires

$(b + \frac{1}{4}) = - (\frac{1}{4} b + \frac{1}{6})$

Développer les parenthèses:

$(b + \frac{1}{4}) = \frac{- 1}{4} b + \frac{- 1}{6}$

Additionner des deux côtés:

$(b + \frac{1}{4}) + \frac{1}{4} \cdot b = (\frac{- 1}{4} b + \frac{- 1}{6}) + \frac{1}{4} b$

Collecter des termes semblables:

$(b + \frac{1}{4} \cdot b) + \frac{1}{4} = (\frac{- 1}{4} \cdot b + \frac{- 1}{6}) + \frac{1}{4} b$

Coefficients du groupe:

$(1 + \frac{1}{4}) b + \frac{1}{4} = (\frac{- 1}{4} \cdot b + \frac{- 1}{6}) + \frac{1}{4} b$

Convertir un nombre entier en fraction:

$(\frac{4}{4} + \frac{1}{4}) b + \frac{1}{4} = (\frac{- 1}{4} \cdot b + \frac{- 1}{6}) + \frac{1}{4} b$

Combiner les fractions:

$\frac{(4 + 1)}{4} \cdot b + \frac{1}{4} = (\frac{- 1}{4} \cdot b + \frac{- 1}{6}) + \frac{1}{4} b$

Combiner les numérateurs:

$\frac{5}{4} \cdot b + \frac{1}{4} = (\frac{- 1}{4} \cdot b + \frac{- 1}{6}) + \frac{1}{4} b$

Collecter des termes semblables:

$\frac{5}{4} \cdot b + \frac{1}{4} = (\frac{- 1}{4} \cdot b + \frac{1}{4} b) + \frac{- 1}{6}$

Combiner les fractions:

$\frac{5}{4} \cdot b + \frac{1}{4} = \frac{(- 1 + 1)}{4} b + \frac{- 1}{6}$

Combiner les numérateurs:

$\frac{5}{4} \cdot b + \frac{1}{4} = \frac{0}{4} b + \frac{- 1}{6}$

Réduire le numérateur zéro:

$\frac{5}{4} b + \frac{1}{4} = 0 b + \frac{- 1}{6}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{5}{4} b + \frac{1}{4} = \frac{- 1}{6}$

Soustraire des deux côtés:

$(\frac{5}{4} b + \frac{1}{4}) - \frac{1}{4} = (\frac{- 1}{6}) - \frac{1}{4}$

Combiner les fractions:

$\frac{5}{4} b + \frac{(1 - 1)}{4} = (\frac{- 1}{6}) - \frac{1}{4}$

Combiner les numérateurs:

$\frac{5}{4} b + \frac{0}{4} = (\frac{- 1}{6}) - \frac{1}{4}$

Réduire le numérateur zéro:

$\frac{5}{4} b + 0 = (\frac{- 1}{6}) - \frac{1}{4}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{5}{4} b = (\frac{- 1}{6}) - \frac{1}{4}$

Trouver le plus petit dénominateur commun:

$\frac{5}{4} b = \frac{(- 1 \cdot 2)}{(6 \cdot 2)} + \frac{(- 1 \cdot 3)}{(4 \cdot 3)}$

Multiplier les dénominateurs:

$\frac{5}{4} b = \frac{(- 1 \cdot 2)}{12} + \frac{(- 1 \cdot 3)}{12}$

Multiplier les numérateurs:

$\frac{5}{4} b = \frac{- 2}{12} + \frac{- 3}{12}$

Combiner les fractions:

$\frac{5}{4} b = \frac{(- 2 - 3)}{12}$

Combiner les numérateurs:

$\frac{5}{4} b = \frac{- 5}{12}$

Multiplier les deux côtés par la fraction inverse :

$(\frac{5}{4} b) \cdot \frac{4}{5} = (\frac{- 5}{12}) \cdot \frac{4}{5}$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{5}{4} \cdot \frac{4}{5}) b = (\frac{- 5}{12}) \cdot \frac{4}{5}$

Multiplier les coefficients:

$\frac{(5 \cdot 4)}{(4 \cdot 5)} b = (\frac{- 5}{12}) \cdot \frac{4}{5}$

Simplifier la fraction:

$b = (\frac{- 5}{12}) \cdot \frac{4}{5}$

Multiplier les fractions:

$b = \frac{(- 5 \cdot 4)}{(12 \cdot 5)}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$b = \frac{- 1}{3}$

3. Lister les solutions

$b = - \frac{1}{9}, - \frac{1}{3}$
(2 solution(s))

4. Graphe

Chaque ligne représente la fonction d'un côté de l'équation:
$y = | b + \frac{1}{4} |$
$y = | \frac{1}{4} b + \frac{1}{6} |$
L'équation est vraie là où les deux lignes se croisent.

Comment nous en sommes-nous sortis ?

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Pourquoi apprendre cela

Nous rencontrons presque quotidiennement des valeurs absolues. Par exemple : si vous marchez 3 miles pour aller à l'école, marchez-vous aussi 3 miles en sens inverse lorsque vous rentrez à la maison ? La réponse est non car les distances utilisent une valeur absolue. La valeur absolue de la distance entre la maison et l'école est de 3 miles, que ce soit pour l'aller ou le retour.
En bref, les valeurs absolues nous aident à gérer des concepts comme la distance, les fourchettes de valeurs possibles, et l'écart par rapport à une valeur fixée.

Solution - Équations à valeur absolue

Explication étape par étape

1. Réécrire l'équation sans les barres de valeur absolue

2. Résoudre les deux équations pour b

3. Lister les solutions

4. Graphe

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