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Solution - Équations à valeur absolue

Forme exacte :

x = \frac{100}{9}, - \frac{140}{33}

x=\frac{100}{9} , -\frac{140}{33}

Forme de nombre mélangé :

x = 11 \frac{1}{9}, - 4 \frac{8}{33}

x=11\frac{1}{9} , -4\frac{8}{33}

Forme décimale :

x = 11, 111, - 4, 242

x=11,111 , -4,242

Voir les étapes

Explication étape par étape

1. Réécrire l'équation sans les barres de valeur absolue

Utilisez les règles:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ et $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
Pour écrire toutes les quatre options de l'équation
$| \frac{7}{8} x + \frac{5}{6} | = | \frac{1}{2} x + 5 |$
Sans les barres de valeur absolue:

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{7}{8} x + \frac{5}{6} \| = \| \frac{1}{2} x + 5 \|$
$x = + y$	$(\frac{7}{8} x + \frac{5}{6}) = (\frac{1}{2} x + 5)$
$x = - y$	$(\frac{7}{8} x + \frac{5}{6}) = - (\frac{1}{2} x + 5)$
$+ x = y$	$(\frac{7}{8} x + \frac{5}{6}) = (\frac{1}{2} x + 5)$
$- x = y$	$- (\frac{7}{8} x + \frac{5}{6}) = (\frac{1}{2} x + 5)$

Une fois simplifiées, les équations $x = + y$ et $+ x = y$ sont identiques, et les équations $x = - y$ et $- x = y$ sont également identiques, nous avons donc seulement 2 équations :

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{7}{8} x + \frac{5}{6} \| = \| \frac{1}{2} x + 5 \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$(\frac{7}{8} x + \frac{5}{6}) = (\frac{1}{2} x + 5)$
$x = - y$ , $- x = y$	$(\frac{7}{8} x + \frac{5}{6}) = - (\frac{1}{2} x + 5)$

2. Résoudre les deux équations pour x

27 étapes supplémentaires

$(\frac{7}{8} \cdot x + \frac{5}{6}) = (\frac{1}{2} x + 5)$

Soustraire des deux côtés:

$(\frac{7}{8} x + \frac{5}{6}) - \frac{1}{2} \cdot x = (\frac{1}{2} x + 5) - \frac{1}{2} x$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{7}{8} \cdot x + \frac{- 1}{2} \cdot x) + \frac{5}{6} = (\frac{1}{2} \cdot x + 5) - \frac{1}{2} x$

Coefficients du groupe:

$(\frac{7}{8} + \frac{- 1}{2}) x + \frac{5}{6} = (\frac{1}{2} \cdot x + 5) - \frac{1}{2} x$

Trouver le plus petit dénominateur commun:

$(\frac{7}{8} + \frac{(- 1 \cdot 4)}{(2 \cdot 4)}) x + \frac{5}{6} = (\frac{1}{2} \cdot x + 5) - \frac{1}{2} x$

Multiplier les dénominateurs:

$(\frac{7}{8} + \frac{(- 1 \cdot 4)}{8}) x + \frac{5}{6} = (\frac{1}{2} \cdot x + 5) - \frac{1}{2} x$

Multiplier les numérateurs:

$(\frac{7}{8} + \frac{- 4}{8}) x + \frac{5}{6} = (\frac{1}{2} \cdot x + 5) - \frac{1}{2} x$

Combiner les fractions:

$\frac{(7 - 4)}{8} \cdot x + \frac{5}{6} = (\frac{1}{2} \cdot x + 5) - \frac{1}{2} x$

Combiner les numérateurs:

$\frac{3}{8} \cdot x + \frac{5}{6} = (\frac{1}{2} \cdot x + 5) - \frac{1}{2} x$

Collecter des termes semblables:

$\frac{3}{8} \cdot x + \frac{5}{6} = (\frac{1}{2} \cdot x + \frac{- 1}{2} x) + 5$

Combiner les fractions:

$\frac{3}{8} \cdot x + \frac{5}{6} = \frac{(1 - 1)}{2} x + 5$

Combiner les numérateurs:

$\frac{3}{8} \cdot x + \frac{5}{6} = \frac{0}{2} x + 5$

Réduire le numérateur zéro:

$\frac{3}{8} x + \frac{5}{6} = 0 x + 5$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{3}{8} x + \frac{5}{6} = 5$

Soustraire des deux côtés:

$(\frac{3}{8} x + \frac{5}{6}) - \frac{5}{6} = 5 - \frac{5}{6}$

Combiner les fractions:

$\frac{3}{8} x + \frac{(5 - 5)}{6} = 5 - \frac{5}{6}$

Combiner les numérateurs:

$\frac{3}{8} x + \frac{0}{6} = 5 - \frac{5}{6}$

Réduire le numérateur zéro:

$\frac{3}{8} x + 0 = 5 - \frac{5}{6}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{3}{8} x = 5 - \frac{5}{6}$

Convertir un nombre entier en fraction:

$\frac{3}{8} x = \frac{30}{6} + \frac{- 5}{6}$

Combiner les fractions:

$\frac{3}{8} x = \frac{(30 - 5)}{6}$

Combiner les numérateurs:

$\frac{3}{8} x = \frac{25}{6}$

Multiplier les deux côtés par la fraction inverse :

$(\frac{3}{8} x) \cdot \frac{8}{3} = (\frac{25}{6}) \cdot \frac{8}{3}$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{3}{8} \cdot \frac{8}{3}) x = (\frac{25}{6}) \cdot \frac{8}{3}$

Multiplier les coefficients:

$\frac{(3 \cdot 8)}{(8 \cdot 3)} x = (\frac{25}{6}) \cdot \frac{8}{3}$

Simplifier la fraction:

$x = (\frac{25}{6}) \cdot \frac{8}{3}$

Multiplier les fractions:

$x = \frac{(25 \cdot 8)}{(6 \cdot 3)}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$x = \frac{100}{(3 \cdot 3)}$

$x = \frac{100}{9}$

28 étapes supplémentaires

$(\frac{7}{8} x + \frac{5}{6}) = - (\frac{1}{2} x + 5)$

Développer les parenthèses:

$(\frac{7}{8} \cdot x + \frac{5}{6}) = \frac{- 1}{2} x - 5$

Additionner des deux côtés:

$(\frac{7}{8} x + \frac{5}{6}) + \frac{1}{2} \cdot x = (\frac{- 1}{2} x - 5) + \frac{1}{2} x$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{7}{8} \cdot x + \frac{1}{2} \cdot x) + \frac{5}{6} = (\frac{- 1}{2} \cdot x - 5) + \frac{1}{2} x$

Coefficients du groupe:

$(\frac{7}{8} + \frac{1}{2}) x + \frac{5}{6} = (\frac{- 1}{2} \cdot x - 5) + \frac{1}{2} x$

Trouver le plus petit dénominateur commun:

$(\frac{7}{8} + \frac{(1 \cdot 4)}{(2 \cdot 4)}) x + \frac{5}{6} = (\frac{- 1}{2} \cdot x - 5) + \frac{1}{2} x$

Multiplier les dénominateurs:

$(\frac{7}{8} + \frac{(1 \cdot 4)}{8}) x + \frac{5}{6} = (\frac{- 1}{2} \cdot x - 5) + \frac{1}{2} x$

Multiplier les numérateurs:

$(\frac{7}{8} + \frac{4}{8}) x + \frac{5}{6} = (\frac{- 1}{2} \cdot x - 5) + \frac{1}{2} x$

Combiner les fractions:

$\frac{(7 + 4)}{8} \cdot x + \frac{5}{6} = (\frac{- 1}{2} \cdot x - 5) + \frac{1}{2} x$

Combiner les numérateurs:

$\frac{11}{8} \cdot x + \frac{5}{6} = (\frac{- 1}{2} \cdot x - 5) + \frac{1}{2} x$

Collecter des termes semblables:

$\frac{11}{8} \cdot x + \frac{5}{6} = (\frac{- 1}{2} \cdot x + \frac{1}{2} x) - 5$

Combiner les fractions:

$\frac{11}{8} \cdot x + \frac{5}{6} = \frac{(- 1 + 1)}{2} x - 5$

Combiner les numérateurs:

$\frac{11}{8} \cdot x + \frac{5}{6} = \frac{0}{2} x - 5$

Réduire le numérateur zéro:

$\frac{11}{8} x + \frac{5}{6} = 0 x - 5$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{11}{8} x + \frac{5}{6} = - 5$

Soustraire des deux côtés:

$(\frac{11}{8} x + \frac{5}{6}) - \frac{5}{6} = - 5 - \frac{5}{6}$

Combiner les fractions:

$\frac{11}{8} x + \frac{(5 - 5)}{6} = - 5 - \frac{5}{6}$

Combiner les numérateurs:

$\frac{11}{8} x + \frac{0}{6} = - 5 - \frac{5}{6}$

Réduire le numérateur zéro:

$\frac{11}{8} x + 0 = - 5 - \frac{5}{6}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{11}{8} x = - 5 - \frac{5}{6}$

Convertir un nombre entier en fraction:

$\frac{11}{8} x = \frac{- 30}{6} + \frac{- 5}{6}$

Combiner les fractions:

$\frac{11}{8} x = \frac{(- 30 - 5)}{6}$

Combiner les numérateurs:

$\frac{11}{8} x = \frac{- 35}{6}$

Multiplier les deux côtés par la fraction inverse :

$(\frac{11}{8} x) \cdot \frac{8}{11} = (\frac{- 35}{6}) \cdot \frac{8}{11}$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{11}{8} \cdot \frac{8}{11}) x = (\frac{- 35}{6}) \cdot \frac{8}{11}$

Multiplier les coefficients:

$\frac{(11 \cdot 8)}{(8 \cdot 11)} x = (\frac{- 35}{6}) \cdot \frac{8}{11}$

Simplifier la fraction:

$x = (\frac{- 35}{6}) \cdot \frac{8}{11}$

Multiplier les fractions:

$x = \frac{(- 35 \cdot 8)}{(6 \cdot 11)}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$x = \frac{- 140}{(3 \cdot 11)}$

$x = \frac{- 140}{33}$

3. Lister les solutions

$x = \frac{100}{9}, - \frac{140}{33}$
(2 solution(s))

4. Graphe

Chaque ligne représente la fonction d'un côté de l'équation:
$y = | \frac{7}{8} x + \frac{5}{6} |$
$y = | \frac{1}{2} x + 5 |$
L'équation est vraie là où les deux lignes se croisent.

Comment nous en sommes-nous sortis ?

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Pourquoi apprendre cela

Nous rencontrons presque quotidiennement des valeurs absolues. Par exemple : si vous marchez 3 miles pour aller à l'école, marchez-vous aussi 3 miles en sens inverse lorsque vous rentrez à la maison ? La réponse est non car les distances utilisent une valeur absolue. La valeur absolue de la distance entre la maison et l'école est de 3 miles, que ce soit pour l'aller ou le retour.
En bref, les valeurs absolues nous aident à gérer des concepts comme la distance, les fourchettes de valeurs possibles, et l'écart par rapport à une valeur fixée.

Solution - Équations à valeur absolue

Explication étape par étape

1. Réécrire l'équation sans les barres de valeur absolue

2. Résoudre les deux équations pour x

3. Lister les solutions

4. Graphe

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