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Solution - Équations à valeur absolue

Forme exacte :

k = - \frac{20}{3}, - \frac{20}{19}

k=-\frac{20}{3} , -\frac{20}{19}

Forme de nombre mélangé :

k = - 6 \frac{2}{3}, - 1 \frac{1}{19}

k=-6\frac{2}{3} , -1\frac{1}{19}

Forme décimale :

k = - 6, 667, - 1, 053

k=-6,667 , -1,053

Voir les étapes

Explication étape par étape

1. Réécrire l'équation sans les barres de valeur absolue

Utilisez les règles:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ et $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
Pour écrire toutes les quatre options de l'équation
$| \frac{7}{5} k + 4 | = | \frac{1}{2} k - 2 |$
Sans les barres de valeur absolue:

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{7}{5} k + 4 \| = \| \frac{1}{2} k - 2 \|$
$x = + y$	$(\frac{7}{5} k + 4) = (\frac{1}{2} k - 2)$
$x = - y$	$(\frac{7}{5} k + 4) = - (\frac{1}{2} k - 2)$
$+ x = y$	$(\frac{7}{5} k + 4) = (\frac{1}{2} k - 2)$
$- x = y$	$- (\frac{7}{5} k + 4) = (\frac{1}{2} k - 2)$

Une fois simplifiées, les équations $x = + y$ et $+ x = y$ sont identiques, et les équations $x = - y$ et $- x = y$ sont également identiques, nous avons donc seulement 2 équations :

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{7}{5} k + 4 \| = \| \frac{1}{2} k - 2 \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$(\frac{7}{5} k + 4) = (\frac{1}{2} k - 2)$
$x = - y$ , $- x = y$	$(\frac{7}{5} k + 4) = - (\frac{1}{2} k - 2)$

2. Résoudre les deux équations pour k

21 étapes supplémentaires

$(\frac{7}{5} \cdot k + 4) = (\frac{1}{2} k - 2)$

Soustraire des deux côtés:

$(\frac{7}{5} k + 4) - \frac{1}{2} \cdot k = (\frac{1}{2} k - 2) - \frac{1}{2} k$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{7}{5} \cdot k + \frac{- 1}{2} \cdot k) + 4 = (\frac{1}{2} \cdot k - 2) - \frac{1}{2} k$

Coefficients du groupe:

$(\frac{7}{5} + \frac{- 1}{2}) k + 4 = (\frac{1}{2} \cdot k - 2) - \frac{1}{2} k$

Trouver le plus petit dénominateur commun:

$(\frac{(7 \cdot 2)}{(5 \cdot 2)} + \frac{(- 1 \cdot 5)}{(2 \cdot 5)}) k + 4 = (\frac{1}{2} \cdot k - 2) - \frac{1}{2} k$

Multiplier les dénominateurs:

$(\frac{(7 \cdot 2)}{10} + \frac{(- 1 \cdot 5)}{10}) k + 4 = (\frac{1}{2} \cdot k - 2) - \frac{1}{2} k$

Multiplier les numérateurs:

$(\frac{14}{10} + \frac{- 5}{10}) k + 4 = (\frac{1}{2} \cdot k - 2) - \frac{1}{2} k$

Combiner les fractions:

$\frac{(14 - 5)}{10} \cdot k + 4 = (\frac{1}{2} \cdot k - 2) - \frac{1}{2} k$

Combiner les numérateurs:

$\frac{9}{10} \cdot k + 4 = (\frac{1}{2} \cdot k - 2) - \frac{1}{2} k$

Collecter des termes semblables:

$\frac{9}{10} \cdot k + 4 = (\frac{1}{2} \cdot k + \frac{- 1}{2} k) - 2$

Combiner les fractions:

$\frac{9}{10} \cdot k + 4 = \frac{(1 - 1)}{2} k - 2$

Combiner les numérateurs:

$\frac{9}{10} \cdot k + 4 = \frac{0}{2} k - 2$

Réduire le numérateur zéro:

$\frac{9}{10} k + 4 = 0 k - 2$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{9}{10} k + 4 = - 2$

Soustraire des deux côtés:

$(\frac{9}{10} k + 4) - 4 = - 2 - 4$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{9}{10} k = - 2 - 4$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{9}{10} k = - 6$

Multiplier les deux côtés par la fraction inverse :

$(\frac{9}{10} k) \cdot \frac{10}{9} = - 6 \cdot \frac{10}{9}$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{9}{10} \cdot \frac{10}{9}) k = - 6 \cdot \frac{10}{9}$

Multiplier les coefficients:

$\frac{(9 \cdot 10)}{(10 \cdot 9)} k = - 6 \cdot \frac{10}{9}$

Simplifier la fraction:

$k = - 6 \cdot \frac{10}{9}$

Multiplier les fractions:

$k = \frac{(- 6 \cdot 10)}{9}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$k = \frac{- 20}{3}$

22 étapes supplémentaires

$(\frac{7}{5} k + 4) = - (\frac{1}{2} k - 2)$

Développer les parenthèses:

$(\frac{7}{5} \cdot k + 4) = \frac{- 1}{2} k + 2$

Additionner des deux côtés:

$(\frac{7}{5} k + 4) + \frac{1}{2} \cdot k = (\frac{- 1}{2} k + 2) + \frac{1}{2} k$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{7}{5} \cdot k + \frac{1}{2} \cdot k) + 4 = (\frac{- 1}{2} \cdot k + 2) + \frac{1}{2} k$

Coefficients du groupe:

$(\frac{7}{5} + \frac{1}{2}) k + 4 = (\frac{- 1}{2} \cdot k + 2) + \frac{1}{2} k$

Trouver le plus petit dénominateur commun:

$(\frac{(7 \cdot 2)}{(5 \cdot 2)} + \frac{(1 \cdot 5)}{(2 \cdot 5)}) k + 4 = (\frac{- 1}{2} \cdot k + 2) + \frac{1}{2} k$

Multiplier les dénominateurs:

$(\frac{(7 \cdot 2)}{10} + \frac{(1 \cdot 5)}{10}) k + 4 = (\frac{- 1}{2} \cdot k + 2) + \frac{1}{2} k$

Multiplier les numérateurs:

$(\frac{14}{10} + \frac{5}{10}) k + 4 = (\frac{- 1}{2} \cdot k + 2) + \frac{1}{2} k$

Combiner les fractions:

$\frac{(14 + 5)}{10} \cdot k + 4 = (\frac{- 1}{2} \cdot k + 2) + \frac{1}{2} k$

Combiner les numérateurs:

$\frac{19}{10} \cdot k + 4 = (\frac{- 1}{2} \cdot k + 2) + \frac{1}{2} k$

Collecter des termes semblables:

$\frac{19}{10} \cdot k + 4 = (\frac{- 1}{2} \cdot k + \frac{1}{2} k) + 2$

Combiner les fractions:

$\frac{19}{10} \cdot k + 4 = \frac{(- 1 + 1)}{2} k + 2$

Combiner les numérateurs:

$\frac{19}{10} \cdot k + 4 = \frac{0}{2} k + 2$

Réduire le numérateur zéro:

$\frac{19}{10} k + 4 = 0 k + 2$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{19}{10} k + 4 = 2$

Soustraire des deux côtés:

$(\frac{19}{10} k + 4) - 4 = 2 - 4$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{19}{10} k = 2 - 4$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{19}{10} k = - 2$

Multiplier les deux côtés par la fraction inverse :

$(\frac{19}{10} k) \cdot \frac{10}{19} = - 2 \cdot \frac{10}{19}$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{19}{10} \cdot \frac{10}{19}) k = - 2 \cdot \frac{10}{19}$

Multiplier les coefficients:

$\frac{(19 \cdot 10)}{(10 \cdot 19)} k = - 2 \cdot \frac{10}{19}$

Simplifier la fraction:

$k = - 2 \cdot \frac{10}{19}$

Multiplier les fractions:

$k = \frac{(- 2 \cdot 10)}{19}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$k = \frac{- 20}{19}$

3. Lister les solutions

$k = - \frac{20}{3}, - \frac{20}{19}$
(2 solution(s))

4. Graphe

Chaque ligne représente la fonction d'un côté de l'équation:
$y = | \frac{7}{5} k + 4 |$
$y = | \frac{1}{2} k - 2 |$
L'équation est vraie là où les deux lignes se croisent.

Comment nous en sommes-nous sortis ?

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Pourquoi apprendre cela

Nous rencontrons presque quotidiennement des valeurs absolues. Par exemple : si vous marchez 3 miles pour aller à l'école, marchez-vous aussi 3 miles en sens inverse lorsque vous rentrez à la maison ? La réponse est non car les distances utilisent une valeur absolue. La valeur absolue de la distance entre la maison et l'école est de 3 miles, que ce soit pour l'aller ou le retour.
En bref, les valeurs absolues nous aident à gérer des concepts comme la distance, les fourchettes de valeurs possibles, et l'écart par rapport à une valeur fixée.

Solution - Équations à valeur absolue

Explication étape par étape

1. Réécrire l'équation sans les barres de valeur absolue

2. Résoudre les deux équations pour k

3. Lister les solutions

4. Graphe

Pourquoi apprendre cela

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