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Solution - Équations à valeur absolue

Forme exacte :

z = 4, \frac{4}{9}

z=4 , \frac{4}{9}

Forme décimale :

z = 4, 0, 444

z=4 , 0,444

Voir les étapes

Explication étape par étape

1. Réécrire l'équation sans les barres de valeur absolue

Utilisez les règles:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ et $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
Pour écrire toutes les quatre options de l'équation
$| 5 z - 4 | = | 4 z |$
Sans les barres de valeur absolue:

$\| x \| = \| y \|$	$\| 5 z - 4 \| = \| 4 z \|$
$x = + y$	$(5 z - 4) = (4 z)$
$x = - y$	$(5 z - 4) = - (4 z)$
$+ x = y$	$(5 z - 4) = (4 z)$
$- x = y$	$- (5 z - 4) = (4 z)$

Une fois simplifiées, les équations $x = + y$ et $+ x = y$ sont identiques, et les équations $x = - y$ et $- x = y$ sont également identiques, nous avons donc seulement 2 équations :

$\| x \| = \| y \|$	$\| 5 z - 4 \| = \| 4 z \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$(5 z - 4) = (4 z)$
$x = - y$ , $- x = y$	$(5 z - 4) = - (4 z)$

2. Résoudre les deux équations pour z

6 étapes supplémentaires

$(5 z - 4) = 4 z$

Soustraire des deux côtés:

$(5 z - 4) - 4 z = (4 z) - 4 z$

Collecter des termes semblables:

$(5 z - 4 z) - 4 = (4 z) - 4 z$

Simplifier l’expression arithmétique:

$z - 4 = (4 z) - 4 z$

Simplifier l’expression arithmétique:

$z - 4 = 0$

Additionner des deux côtés:

$(z - 4) + 4 = 0 + 4$

Simplifier l’expression arithmétique:

$z = 0 + 4$

Simplifier l’expression arithmétique:

$z = 4$

7 étapes supplémentaires

$(5 z - 4) = - 4 z$

Additionner des deux côtés:

$(5 z - 4) + 4 = (- 4 z) + 4$

Simplifier l’expression arithmétique:

$5 z = (- 4 z) + 4$

Additionner des deux côtés:

$(5 z) + 4 z = ((- 4 z) + 4) + 4 z$

Simplifier l’expression arithmétique:

$9 z = ((- 4 z) + 4) + 4 z$

Collecter des termes semblables:

$9 z = (- 4 z + 4 z) + 4$

Simplifier l’expression arithmétique:

$9 z = 4$

Diviser les deux côtés par :

$\frac{(9 z)}{9} = \frac{4}{9}$

Simplifier la fraction:

$z = \frac{4}{9}$

3. Lister les solutions

$z = 4, \frac{4}{9}$
(2 solution(s))

4. Graphe

Chaque ligne représente la fonction d'un côté de l'équation:
$y = | 5 z - 4 |$
$y = | 4 z |$
L'équation est vraie là où les deux lignes se croisent.

Comment nous en sommes-nous sortis ?

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Pourquoi apprendre cela

Nous rencontrons presque quotidiennement des valeurs absolues. Par exemple : si vous marchez 3 miles pour aller à l'école, marchez-vous aussi 3 miles en sens inverse lorsque vous rentrez à la maison ? La réponse est non car les distances utilisent une valeur absolue. La valeur absolue de la distance entre la maison et l'école est de 3 miles, que ce soit pour l'aller ou le retour.
En bref, les valeurs absolues nous aident à gérer des concepts comme la distance, les fourchettes de valeurs possibles, et l'écart par rapport à une valeur fixée.

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