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Solution - Équations à valeur absolue

Forme exacte :

x = - 7, \frac{7}{9}

x=-7 , \frac{7}{9}

Forme décimale :

x = - 7, 0, 778

x=-7 , 0,778

Voir les étapes

Explication étape par étape

1. Réécrire l'équation sans les barres de valeur absolue

Utilisez les règles:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ et $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
Pour écrire toutes les quatre options de l'équation
$| 4 x - 7 | = | 5 x |$
Sans les barres de valeur absolue:

$\| x \| = \| y \|$	$\| 4 x - 7 \| = \| 5 x \|$
$x = + y$	$(4 x - 7) = (5 x)$
$x = - y$	$(4 x - 7) = - (5 x)$
$+ x = y$	$(4 x - 7) = (5 x)$
$- x = y$	$- (4 x - 7) = (5 x)$

Une fois simplifiées, les équations $x = + y$ et $+ x = y$ sont identiques, et les équations $x = - y$ et $- x = y$ sont également identiques, nous avons donc seulement 2 équations :

$\| x \| = \| y \|$	$\| 4 x - 7 \| = \| 5 x \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$(4 x - 7) = (5 x)$
$x = - y$ , $- x = y$	$(4 x - 7) = - (5 x)$

2. Résoudre les deux équations pour x

9 étapes supplémentaires

$(4 x - 7) = 5 x$

Soustraire des deux côtés:

$(4 x - 7) - 5 x = (5 x) - 5 x$

Collecter des termes semblables:

$(4 x - 5 x) - 7 = (5 x) - 5 x$

Simplifier l’expression arithmétique:

$- x - 7 = (5 x) - 5 x$

Simplifier l’expression arithmétique:

$- x - 7 = 0$

Additionner des deux côtés:

$(- x - 7) + 7 = 0 + 7$

Simplifier l’expression arithmétique:

$- x = 0 + 7$

Simplifier l’expression arithmétique:

$- x = 7$

Multiplier les deux côtés par :

$- x \cdot - 1 = 7 \cdot - 1$

Supprimer le(s) un(s):

$x = 7 \cdot - 1$

Simplifier l’expression arithmétique:

$x = - 7$

7 étapes supplémentaires

$(4 x - 7) = - 5 x$

Additionner des deux côtés:

$(4 x - 7) + 7 = (- 5 x) + 7$

Simplifier l’expression arithmétique:

$4 x = (- 5 x) + 7$

Additionner des deux côtés:

$(4 x) + 5 x = ((- 5 x) + 7) + 5 x$

Simplifier l’expression arithmétique:

$9 x = ((- 5 x) + 7) + 5 x$

Collecter des termes semblables:

$9 x = (- 5 x + 5 x) + 7$

Simplifier l’expression arithmétique:

$9 x = 7$

Diviser les deux côtés par :

$\frac{(9 x)}{9} = \frac{7}{9}$

Simplifier la fraction:

$x = \frac{7}{9}$

3. Lister les solutions

$x = - 7, \frac{7}{9}$
(2 solution(s))

4. Graphe

Chaque ligne représente la fonction d'un côté de l'équation:
$y = | 4 x - 7 |$
$y = | 5 x |$
L'équation est vraie là où les deux lignes se croisent.

Comment nous en sommes-nous sortis ?

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Pourquoi apprendre cela

Nous rencontrons presque quotidiennement des valeurs absolues. Par exemple : si vous marchez 3 miles pour aller à l'école, marchez-vous aussi 3 miles en sens inverse lorsque vous rentrez à la maison ? La réponse est non car les distances utilisent une valeur absolue. La valeur absolue de la distance entre la maison et l'école est de 3 miles, que ce soit pour l'aller ou le retour.
En bref, les valeurs absolues nous aident à gérer des concepts comme la distance, les fourchettes de valeurs possibles, et l'écart par rapport à une valeur fixée.

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