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Solution - Équations à valeur absolue

Forme exacte :

x = - \frac{216}{11}, - \frac{54}{13}

x=-\frac{216}{11} , -\frac{54}{13}

Forme de nombre mélangé :

x = - 19 \frac{7}{11}, - 4 \frac{2}{13}

x=-19\frac{7}{11} , -4\frac{2}{13}

Forme décimale :

x = - 19, 636, - 4, 154

x=-19,636 , -4,154

Voir les étapes

Explication étape par étape

1. Réécrire l'équation sans les barres de valeur absolue

Utilisez les règles:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ et $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
Pour écrire toutes les quatre options de l'équation
$| \frac{4}{9} x + 5 | = | \frac{1}{27} x - 3 |$
Sans les barres de valeur absolue:

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{4}{9} x + 5 \| = \| \frac{1}{27} x - 3 \|$
$x = + y$	$(\frac{4}{9} x + 5) = (\frac{1}{27} x - 3)$
$x = - y$	$(\frac{4}{9} x + 5) = - (\frac{1}{27} x - 3)$
$+ x = y$	$(\frac{4}{9} x + 5) = (\frac{1}{27} x - 3)$
$- x = y$	$- (\frac{4}{9} x + 5) = (\frac{1}{27} x - 3)$

Une fois simplifiées, les équations $x = + y$ et $+ x = y$ sont identiques, et les équations $x = - y$ et $- x = y$ sont également identiques, nous avons donc seulement 2 équations :

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{4}{9} x + 5 \| = \| \frac{1}{27} x - 3 \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$(\frac{4}{9} x + 5) = (\frac{1}{27} x - 3)$
$x = - y$ , $- x = y$	$(\frac{4}{9} x + 5) = - (\frac{1}{27} x - 3)$

2. Résoudre les deux équations pour x

21 étapes supplémentaires

$(\frac{4}{9} \cdot x + 5) = (\frac{1}{27} x - 3)$

Soustraire des deux côtés:

$(\frac{4}{9} x + 5) - \frac{1}{27} \cdot x = (\frac{1}{27} x - 3) - \frac{1}{27} x$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{4}{9} \cdot x + \frac{- 1}{27} \cdot x) + 5 = (\frac{1}{27} \cdot x - 3) - \frac{1}{27} x$

Coefficients du groupe:

$(\frac{4}{9} + \frac{- 1}{27}) x + 5 = (\frac{1}{27} \cdot x - 3) - \frac{1}{27} x$

Trouver le plus petit dénominateur commun:

$(\frac{(4 \cdot 3)}{(9 \cdot 3)} + \frac{- 1}{27}) x + 5 = (\frac{1}{27} \cdot x - 3) - \frac{1}{27} x$

Multiplier les dénominateurs:

$(\frac{(4 \cdot 3)}{27} + \frac{- 1}{27}) x + 5 = (\frac{1}{27} \cdot x - 3) - \frac{1}{27} x$

Multiplier les numérateurs:

$(\frac{12}{27} + \frac{- 1}{27}) x + 5 = (\frac{1}{27} \cdot x - 3) - \frac{1}{27} x$

Combiner les fractions:

$\frac{(12 - 1)}{27} \cdot x + 5 = (\frac{1}{27} \cdot x - 3) - \frac{1}{27} x$

Combiner les numérateurs:

$\frac{11}{27} \cdot x + 5 = (\frac{1}{27} \cdot x - 3) - \frac{1}{27} x$

Collecter des termes semblables:

$\frac{11}{27} \cdot x + 5 = (\frac{1}{27} \cdot x + \frac{- 1}{27} x) - 3$

Combiner les fractions:

$\frac{11}{27} \cdot x + 5 = \frac{(1 - 1)}{27} x - 3$

Combiner les numérateurs:

$\frac{11}{27} \cdot x + 5 = \frac{0}{27} x - 3$

Réduire le numérateur zéro:

$\frac{11}{27} x + 5 = 0 x - 3$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{11}{27} x + 5 = - 3$

Soustraire des deux côtés:

$(\frac{11}{27} x + 5) - 5 = - 3 - 5$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{11}{27} x = - 3 - 5$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{11}{27} x = - 8$

Multiplier les deux côtés par la fraction inverse :

$(\frac{11}{27} x) \cdot \frac{27}{11} = - 8 \cdot \frac{27}{11}$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{11}{27} \cdot \frac{27}{11}) x = - 8 \cdot \frac{27}{11}$

Multiplier les coefficients:

$\frac{(11 \cdot 27)}{(27 \cdot 11)} x = - 8 \cdot \frac{27}{11}$

Simplifier la fraction:

$x = - 8 \cdot \frac{27}{11}$

Multiplier les fractions:

$x = \frac{(- 8 \cdot 27)}{11}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$x = \frac{- 216}{11}$

22 étapes supplémentaires

$(\frac{4}{9} x + 5) = - (\frac{1}{27} x - 3)$

Développer les parenthèses:

$(\frac{4}{9} \cdot x + 5) = \frac{- 1}{27} x + 3$

Additionner des deux côtés:

$(\frac{4}{9} x + 5) + \frac{1}{27} \cdot x = (\frac{- 1}{27} x + 3) + \frac{1}{27} x$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{4}{9} \cdot x + \frac{1}{27} \cdot x) + 5 = (\frac{- 1}{27} \cdot x + 3) + \frac{1}{27} x$

Coefficients du groupe:

$(\frac{4}{9} + \frac{1}{27}) x + 5 = (\frac{- 1}{27} \cdot x + 3) + \frac{1}{27} x$

Trouver le plus petit dénominateur commun:

$(\frac{(4 \cdot 3)}{(9 \cdot 3)} + \frac{1}{27}) x + 5 = (\frac{- 1}{27} \cdot x + 3) + \frac{1}{27} x$

Multiplier les dénominateurs:

$(\frac{(4 \cdot 3)}{27} + \frac{1}{27}) x + 5 = (\frac{- 1}{27} \cdot x + 3) + \frac{1}{27} x$

Multiplier les numérateurs:

$(\frac{12}{27} + \frac{1}{27}) x + 5 = (\frac{- 1}{27} \cdot x + 3) + \frac{1}{27} x$

Combiner les fractions:

$\frac{(12 + 1)}{27} \cdot x + 5 = (\frac{- 1}{27} \cdot x + 3) + \frac{1}{27} x$

Combiner les numérateurs:

$\frac{13}{27} \cdot x + 5 = (\frac{- 1}{27} \cdot x + 3) + \frac{1}{27} x$

Collecter des termes semblables:

$\frac{13}{27} \cdot x + 5 = (\frac{- 1}{27} \cdot x + \frac{1}{27} x) + 3$

Combiner les fractions:

$\frac{13}{27} \cdot x + 5 = \frac{(- 1 + 1)}{27} x + 3$

Combiner les numérateurs:

$\frac{13}{27} \cdot x + 5 = \frac{0}{27} x + 3$

Réduire le numérateur zéro:

$\frac{13}{27} x + 5 = 0 x + 3$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{13}{27} x + 5 = 3$

Soustraire des deux côtés:

$(\frac{13}{27} x + 5) - 5 = 3 - 5$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{13}{27} x = 3 - 5$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{13}{27} x = - 2$

Multiplier les deux côtés par la fraction inverse :

$(\frac{13}{27} x) \cdot \frac{27}{13} = - 2 \cdot \frac{27}{13}$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{13}{27} \cdot \frac{27}{13}) x = - 2 \cdot \frac{27}{13}$

Multiplier les coefficients:

$\frac{(13 \cdot 27)}{(27 \cdot 13)} x = - 2 \cdot \frac{27}{13}$

Simplifier la fraction:

$x = - 2 \cdot \frac{27}{13}$

Multiplier les fractions:

$x = \frac{(- 2 \cdot 27)}{13}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$x = \frac{- 54}{13}$

3. Lister les solutions

$x = - \frac{216}{11}, - \frac{54}{13}$
(2 solution(s))

4. Graphe

Chaque ligne représente la fonction d'un côté de l'équation:
$y = | \frac{4}{9} x + 5 |$
$y = | \frac{1}{27} x - 3 |$
L'équation est vraie là où les deux lignes se croisent.

Comment nous en sommes-nous sortis ?

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Pourquoi apprendre cela

Nous rencontrons presque quotidiennement des valeurs absolues. Par exemple : si vous marchez 3 miles pour aller à l'école, marchez-vous aussi 3 miles en sens inverse lorsque vous rentrez à la maison ? La réponse est non car les distances utilisent une valeur absolue. La valeur absolue de la distance entre la maison et l'école est de 3 miles, que ce soit pour l'aller ou le retour.
En bref, les valeurs absolues nous aident à gérer des concepts comme la distance, les fourchettes de valeurs possibles, et l'écart par rapport à une valeur fixée.

Solution - Équations à valeur absolue

Explication étape par étape

1. Réécrire l'équation sans les barres de valeur absolue

2. Résoudre les deux équations pour x

3. Lister les solutions

4. Graphe

Pourquoi apprendre cela

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