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Solution - Équations à valeur absolue

Forme exacte :

x = \frac{44}{3}, - \frac{56}{13}

x=\frac{44}{3} , -\frac{56}{13}

Forme de nombre mélangé :

x = 14 \frac{2}{3}, - 4 \frac{4}{13}

x=14\frac{2}{3} , -4\frac{4}{13}

Forme décimale :

x = 14, 667, - 4, 308

x=14,667 , -4,308

Voir les étapes

Explication étape par étape

1. Réécrire l'équation sans les barres de valeur absolue

Utilisez les règles:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ et $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
Pour écrire toutes les quatre options de l'équation
$| \frac{4}{5} x + \frac{3}{5} | = | \frac{1}{2} x + 5 |$
Sans les barres de valeur absolue:

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{4}{5} x + \frac{3}{5} \| = \| \frac{1}{2} x + 5 \|$
$x = + y$	$(\frac{4}{5} x + \frac{3}{5}) = (\frac{1}{2} x + 5)$
$x = - y$	$(\frac{4}{5} x + \frac{3}{5}) = - (\frac{1}{2} x + 5)$
$+ x = y$	$(\frac{4}{5} x + \frac{3}{5}) = (\frac{1}{2} x + 5)$
$- x = y$	$- (\frac{4}{5} x + \frac{3}{5}) = (\frac{1}{2} x + 5)$

Une fois simplifiées, les équations $x = + y$ et $+ x = y$ sont identiques, et les équations $x = - y$ et $- x = y$ sont également identiques, nous avons donc seulement 2 équations :

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{4}{5} x + \frac{3}{5} \| = \| \frac{1}{2} x + 5 \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$(\frac{4}{5} x + \frac{3}{5}) = (\frac{1}{2} x + 5)$
$x = - y$ , $- x = y$	$(\frac{4}{5} x + \frac{3}{5}) = - (\frac{1}{2} x + 5)$

2. Résoudre les deux équations pour x

26 étapes supplémentaires

$(\frac{4}{5} \cdot x + \frac{3}{5}) = (\frac{1}{2} x + 5)$

Soustraire des deux côtés:

$(\frac{4}{5} x + \frac{3}{5}) - \frac{1}{2} \cdot x = (\frac{1}{2} x + 5) - \frac{1}{2} x$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{4}{5} \cdot x + \frac{- 1}{2} \cdot x) + \frac{3}{5} = (\frac{1}{2} \cdot x + 5) - \frac{1}{2} x$

Coefficients du groupe:

$(\frac{4}{5} + \frac{- 1}{2}) x + \frac{3}{5} = (\frac{1}{2} \cdot x + 5) - \frac{1}{2} x$

Trouver le plus petit dénominateur commun:

$(\frac{(4 \cdot 2)}{(5 \cdot 2)} + \frac{(- 1 \cdot 5)}{(2 \cdot 5)}) x + \frac{3}{5} = (\frac{1}{2} \cdot x + 5) - \frac{1}{2} x$

Multiplier les dénominateurs:

$(\frac{(4 \cdot 2)}{10} + \frac{(- 1 \cdot 5)}{10}) x + \frac{3}{5} = (\frac{1}{2} \cdot x + 5) - \frac{1}{2} x$

Multiplier les numérateurs:

$(\frac{8}{10} + \frac{- 5}{10}) x + \frac{3}{5} = (\frac{1}{2} \cdot x + 5) - \frac{1}{2} x$

Combiner les fractions:

$\frac{(8 - 5)}{10} \cdot x + \frac{3}{5} = (\frac{1}{2} \cdot x + 5) - \frac{1}{2} x$

Combiner les numérateurs:

$\frac{3}{10} \cdot x + \frac{3}{5} = (\frac{1}{2} \cdot x + 5) - \frac{1}{2} x$

Collecter des termes semblables:

$\frac{3}{10} \cdot x + \frac{3}{5} = (\frac{1}{2} \cdot x + \frac{- 1}{2} x) + 5$

Combiner les fractions:

$\frac{3}{10} \cdot x + \frac{3}{5} = \frac{(1 - 1)}{2} x + 5$

Combiner les numérateurs:

$\frac{3}{10} \cdot x + \frac{3}{5} = \frac{0}{2} x + 5$

Réduire le numérateur zéro:

$\frac{3}{10} x + \frac{3}{5} = 0 x + 5$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{3}{10} x + \frac{3}{5} = 5$

Soustraire des deux côtés:

$(\frac{3}{10} x + \frac{3}{5}) - \frac{3}{5} = 5 - \frac{3}{5}$

Combiner les fractions:

$\frac{3}{10} x + \frac{(3 - 3)}{5} = 5 - \frac{3}{5}$

Combiner les numérateurs:

$\frac{3}{10} x + \frac{0}{5} = 5 - \frac{3}{5}$

Réduire le numérateur zéro:

$\frac{3}{10} x + 0 = 5 - \frac{3}{5}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{3}{10} x = 5 - \frac{3}{5}$

Convertir un nombre entier en fraction:

$\frac{3}{10} x = \frac{25}{5} + \frac{- 3}{5}$

Combiner les fractions:

$\frac{3}{10} x = \frac{(25 - 3)}{5}$

Combiner les numérateurs:

$\frac{3}{10} x = \frac{22}{5}$

Multiplier les deux côtés par la fraction inverse :

$(\frac{3}{10} x) \cdot \frac{10}{3} = (\frac{22}{5}) \cdot \frac{10}{3}$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{3}{10} \cdot \frac{10}{3}) x = (\frac{22}{5}) \cdot \frac{10}{3}$

Multiplier les coefficients:

$\frac{(3 \cdot 10)}{(10 \cdot 3)} x = (\frac{22}{5}) \cdot \frac{10}{3}$

Simplifier la fraction:

$x = (\frac{22}{5}) \cdot \frac{10}{3}$

Multiplier les fractions:

$x = \frac{(22 \cdot 10)}{(5 \cdot 3)}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$x = \frac{44}{3}$

27 étapes supplémentaires

$(\frac{4}{5} x + \frac{3}{5}) = - (\frac{1}{2} x + 5)$

Développer les parenthèses:

$(\frac{4}{5} \cdot x + \frac{3}{5}) = \frac{- 1}{2} x - 5$

Additionner des deux côtés:

$(\frac{4}{5} x + \frac{3}{5}) + \frac{1}{2} \cdot x = (\frac{- 1}{2} x - 5) + \frac{1}{2} x$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{4}{5} \cdot x + \frac{1}{2} \cdot x) + \frac{3}{5} = (\frac{- 1}{2} \cdot x - 5) + \frac{1}{2} x$

Coefficients du groupe:

$(\frac{4}{5} + \frac{1}{2}) x + \frac{3}{5} = (\frac{- 1}{2} \cdot x - 5) + \frac{1}{2} x$

Trouver le plus petit dénominateur commun:

$(\frac{(4 \cdot 2)}{(5 \cdot 2)} + \frac{(1 \cdot 5)}{(2 \cdot 5)}) x + \frac{3}{5} = (\frac{- 1}{2} \cdot x - 5) + \frac{1}{2} x$

Multiplier les dénominateurs:

$(\frac{(4 \cdot 2)}{10} + \frac{(1 \cdot 5)}{10}) x + \frac{3}{5} = (\frac{- 1}{2} \cdot x - 5) + \frac{1}{2} x$

Multiplier les numérateurs:

$(\frac{8}{10} + \frac{5}{10}) x + \frac{3}{5} = (\frac{- 1}{2} \cdot x - 5) + \frac{1}{2} x$

Combiner les fractions:

$\frac{(8 + 5)}{10} \cdot x + \frac{3}{5} = (\frac{- 1}{2} \cdot x - 5) + \frac{1}{2} x$

Combiner les numérateurs:

$\frac{13}{10} \cdot x + \frac{3}{5} = (\frac{- 1}{2} \cdot x - 5) + \frac{1}{2} x$

Collecter des termes semblables:

$\frac{13}{10} \cdot x + \frac{3}{5} = (\frac{- 1}{2} \cdot x + \frac{1}{2} x) - 5$

Combiner les fractions:

$\frac{13}{10} \cdot x + \frac{3}{5} = \frac{(- 1 + 1)}{2} x - 5$

Combiner les numérateurs:

$\frac{13}{10} \cdot x + \frac{3}{5} = \frac{0}{2} x - 5$

Réduire le numérateur zéro:

$\frac{13}{10} x + \frac{3}{5} = 0 x - 5$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{13}{10} x + \frac{3}{5} = - 5$

Soustraire des deux côtés:

$(\frac{13}{10} x + \frac{3}{5}) - \frac{3}{5} = - 5 - \frac{3}{5}$

Combiner les fractions:

$\frac{13}{10} x + \frac{(3 - 3)}{5} = - 5 - \frac{3}{5}$

Combiner les numérateurs:

$\frac{13}{10} x + \frac{0}{5} = - 5 - \frac{3}{5}$

Réduire le numérateur zéro:

$\frac{13}{10} x + 0 = - 5 - \frac{3}{5}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{13}{10} x = - 5 - \frac{3}{5}$

Convertir un nombre entier en fraction:

$\frac{13}{10} x = \frac{- 25}{5} + \frac{- 3}{5}$

Combiner les fractions:

$\frac{13}{10} x = \frac{(- 25 - 3)}{5}$

Combiner les numérateurs:

$\frac{13}{10} x = \frac{- 28}{5}$

Multiplier les deux côtés par la fraction inverse :

$(\frac{13}{10} x) \cdot \frac{10}{13} = (\frac{- 28}{5}) \cdot \frac{10}{13}$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{13}{10} \cdot \frac{10}{13}) x = (\frac{- 28}{5}) \cdot \frac{10}{13}$

Multiplier les coefficients:

$\frac{(13 \cdot 10)}{(10 \cdot 13)} x = (\frac{- 28}{5}) \cdot \frac{10}{13}$

Simplifier la fraction:

$x = (\frac{- 28}{5}) \cdot \frac{10}{13}$

Multiplier les fractions:

$x = \frac{(- 28 \cdot 10)}{(5 \cdot 13)}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$x = \frac{- 56}{13}$

3. Lister les solutions

$x = \frac{44}{3}, - \frac{56}{13}$
(2 solution(s))

4. Graphe

Chaque ligne représente la fonction d'un côté de l'équation:
$y = | \frac{4}{5} x + \frac{3}{5} |$
$y = | \frac{1}{2} x + 5 |$
L'équation est vraie là où les deux lignes se croisent.

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Pourquoi apprendre cela

Nous rencontrons presque quotidiennement des valeurs absolues. Par exemple : si vous marchez 3 miles pour aller à l'école, marchez-vous aussi 3 miles en sens inverse lorsque vous rentrez à la maison ? La réponse est non car les distances utilisent une valeur absolue. La valeur absolue de la distance entre la maison et l'école est de 3 miles, que ce soit pour l'aller ou le retour.
En bref, les valeurs absolues nous aident à gérer des concepts comme la distance, les fourchettes de valeurs possibles, et l'écart par rapport à une valeur fixée.

Solution - Équations à valeur absolue

Explication étape par étape

1. Réécrire l'équation sans les barres de valeur absolue

2. Résoudre les deux équations pour x

3. Lister les solutions

4. Graphe

Pourquoi apprendre cela

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