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Solution - Équations à valeur absolue

Forme exacte :

x = 2, \frac{2}{5}

x=2 , \frac{2}{5}

Forme décimale :

x = 2, 0, 4

x=2 , 0,4

Voir les étapes

Explication étape par étape

1. Réécrire l'équation sans les barres de valeur absolue

Utilisez les règles:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ et $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
Pour écrire toutes les quatre options de l'équation
$| 3 x - 2 | = | 2 x |$
Sans les barres de valeur absolue:

$\| x \| = \| y \|$	$\| 3 x - 2 \| = \| 2 x \|$
$x = + y$	$(3 x - 2) = (2 x)$
$x = - y$	$(3 x - 2) = - (2 x)$
$+ x = y$	$(3 x - 2) = (2 x)$
$- x = y$	$- (3 x - 2) = (2 x)$

Une fois simplifiées, les équations $x = + y$ et $+ x = y$ sont identiques, et les équations $x = - y$ et $- x = y$ sont également identiques, nous avons donc seulement 2 équations :

$\| x \| = \| y \|$	$\| 3 x - 2 \| = \| 2 x \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$(3 x - 2) = (2 x)$
$x = - y$ , $- x = y$	$(3 x - 2) = - (2 x)$

2. Résoudre les deux équations pour x

6 étapes supplémentaires

$(3 x - 2) = 2 x$

Soustraire des deux côtés:

$(3 x - 2) - 2 x = (2 x) - 2 x$

Collecter des termes semblables:

$(3 x - 2 x) - 2 = (2 x) - 2 x$

Simplifier l’expression arithmétique:

$x - 2 = (2 x) - 2 x$

Simplifier l’expression arithmétique:

$x - 2 = 0$

Additionner des deux côtés:

$(x - 2) + 2 = 0 + 2$

Simplifier l’expression arithmétique:

$x = 0 + 2$

Simplifier l’expression arithmétique:

$x = 2$

7 étapes supplémentaires

$(3 x - 2) = - 2 x$

Additionner des deux côtés:

$(3 x - 2) + 2 = (- 2 x) + 2$

Simplifier l’expression arithmétique:

$3 x = (- 2 x) + 2$

Additionner des deux côtés:

$(3 x) + 2 x = ((- 2 x) + 2) + 2 x$

Simplifier l’expression arithmétique:

$5 x = ((- 2 x) + 2) + 2 x$

Collecter des termes semblables:

$5 x = (- 2 x + 2 x) + 2$

Simplifier l’expression arithmétique:

$5 x = 2$

Diviser les deux côtés par :

$\frac{(5 x)}{5} = \frac{2}{5}$

Simplifier la fraction:

$x = \frac{2}{5}$

3. Lister les solutions

$x = 2, \frac{2}{5}$
(2 solution(s))

4. Graphe

Chaque ligne représente la fonction d'un côté de l'équation:
$y = | 3 x - 2 |$
$y = | 2 x |$
L'équation est vraie là où les deux lignes se croisent.

Comment nous en sommes-nous sortis ?

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Pourquoi apprendre cela

Nous rencontrons presque quotidiennement des valeurs absolues. Par exemple : si vous marchez 3 miles pour aller à l'école, marchez-vous aussi 3 miles en sens inverse lorsque vous rentrez à la maison ? La réponse est non car les distances utilisent une valeur absolue. La valeur absolue de la distance entre la maison et l'école est de 3 miles, que ce soit pour l'aller ou le retour.
En bref, les valeurs absolues nous aident à gérer des concepts comme la distance, les fourchettes de valeurs possibles, et l'écart par rapport à une valeur fixée.

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