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Solution - Équations à valeur absolue

Forme exacte :

x = \frac{5}{12}, - \frac{1}{24}

x=\frac{5}{12} , -\frac{1}{24}

Forme décimale :

x = 0, 417, - 0, 042

x=0,417 , -0,042

Voir les étapes

Explication étape par étape

1. Réécrire l'équation sans les barres de valeur absolue

Utilisez les règles:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ et $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
Pour écrire toutes les quatre options de l'équation
$| 3 x - \frac{1}{3} | = | x + \frac{1}{2} |$
Sans les barres de valeur absolue:

$\| x \| = \| y \|$	$\| 3 x - \frac{1}{3} \| = \| x + \frac{1}{2} \|$
$x = + y$	$(3 x - \frac{1}{3}) = (x + \frac{1}{2})$
$x = - y$	$(3 x - \frac{1}{3}) = - (x + \frac{1}{2})$
$+ x = y$	$(3 x - \frac{1}{3}) = (x + \frac{1}{2})$
$- x = y$	$- (3 x - \frac{1}{3}) = (x + \frac{1}{2})$

Une fois simplifiées, les équations $x = + y$ et $+ x = y$ sont identiques, et les équations $x = - y$ et $- x = y$ sont également identiques, nous avons donc seulement 2 équations :

$\| x \| = \| y \|$	$\| 3 x - \frac{1}{3} \| = \| x + \frac{1}{2} \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$(3 x - \frac{1}{3}) = (x + \frac{1}{2})$
$x = - y$ , $- x = y$	$(3 x - \frac{1}{3}) = - (x + \frac{1}{2})$

2. Résoudre les deux équations pour x

18 étapes supplémentaires

$(3 x + \frac{- 1}{3}) = (x + \frac{1}{2})$

Soustraire des deux côtés:

$(3 x + \frac{- 1}{3}) - x = (x + \frac{1}{2}) - x$

Collecter des termes semblables:

$(3 x - x) + \frac{- 1}{3} = (x + \frac{1}{2}) - x$

Simplifier l’expression arithmétique:

$2 x + \frac{- 1}{3} = (x + \frac{1}{2}) - x$

Collecter des termes semblables:

$2 x + \frac{- 1}{3} = (x - x) + \frac{1}{2}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$2 x + \frac{- 1}{3} = \frac{1}{2}$

Additionner des deux côtés:

$(2 x + \frac{- 1}{3}) + \frac{1}{3} = (\frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Combiner les fractions:

$2 x + \frac{(- 1 + 1)}{3} = (\frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Combiner les numérateurs:

$2 x + \frac{0}{3} = (\frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Réduire le numérateur zéro:

$2 x + 0 = (\frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$2 x = (\frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Trouver le plus petit dénominateur commun:

$2 x = \frac{(1 \cdot 3)}{(2 \cdot 3)} + \frac{(1 \cdot 2)}{(3 \cdot 2)}$

Multiplier les dénominateurs:

$2 x = \frac{(1 \cdot 3)}{6} + \frac{(1 \cdot 2)}{6}$

Multiplier les numérateurs:

$2 x = \frac{3}{6} + \frac{2}{6}$

Combiner les fractions:

$2 x = \frac{(3 + 2)}{6}$

Combiner les numérateurs:

$2 x = \frac{5}{6}$

Diviser les deux côtés par :

$\frac{(2 x)}{2} = \frac{(\frac{5}{6})}{2}$

Simplifier la fraction:

$x = \frac{(\frac{5}{6})}{2}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$x = \frac{5}{(6 \cdot 2)}$

$x = \frac{5}{12}$

19 étapes supplémentaires

$(3 x + \frac{- 1}{3}) = - (x + \frac{1}{2})$

Développer les parenthèses:

$(3 x + \frac{- 1}{3}) = - x + \frac{- 1}{2}$

Additionner des deux côtés:

$(3 x + \frac{- 1}{3}) + x = (- x + \frac{- 1}{2}) + x$

Collecter des termes semblables:

$(3 x + x) + \frac{- 1}{3} = (- x + \frac{- 1}{2}) + x$

Simplifier l’expression arithmétique:

$4 x + \frac{- 1}{3} = (- x + \frac{- 1}{2}) + x$

Collecter des termes semblables:

$4 x + \frac{- 1}{3} = (- x + x) + \frac{- 1}{2}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$4 x + \frac{- 1}{3} = \frac{- 1}{2}$

Additionner des deux côtés:

$(4 x + \frac{- 1}{3}) + \frac{1}{3} = (\frac{- 1}{2}) + \frac{1}{3}$

Combiner les fractions:

$4 x + \frac{(- 1 + 1)}{3} = (\frac{- 1}{2}) + \frac{1}{3}$

Combiner les numérateurs:

$4 x + \frac{0}{3} = (\frac{- 1}{2}) + \frac{1}{3}$

Réduire le numérateur zéro:

$4 x + 0 = (\frac{- 1}{2}) + \frac{1}{3}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$4 x = (\frac{- 1}{2}) + \frac{1}{3}$

Trouver le plus petit dénominateur commun:

$4 x = \frac{(- 1 \cdot 3)}{(2 \cdot 3)} + \frac{(1 \cdot 2)}{(3 \cdot 2)}$

Multiplier les dénominateurs:

$4 x = \frac{(- 1 \cdot 3)}{6} + \frac{(1 \cdot 2)}{6}$

Multiplier les numérateurs:

$4 x = \frac{- 3}{6} + \frac{2}{6}$

Combiner les fractions:

$4 x = \frac{(- 3 + 2)}{6}$

Combiner les numérateurs:

$4 x = \frac{- 1}{6}$

Diviser les deux côtés par :

$\frac{(4 x)}{4} = \frac{(\frac{- 1}{6})}{4}$

Simplifier la fraction:

$x = \frac{(\frac{- 1}{6})}{4}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$x = \frac{- 1}{(6 \cdot 4)}$

$x = \frac{- 1}{24}$

3. Lister les solutions

$x = \frac{5}{12}, - \frac{1}{24}$
(2 solution(s))

4. Graphe

Chaque ligne représente la fonction d'un côté de l'équation:
$y = | 3 x - \frac{1}{3} |$
$y = | x + \frac{1}{2} |$
L'équation est vraie là où les deux lignes se croisent.

Comment nous en sommes-nous sortis ?

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Pourquoi apprendre cela

Nous rencontrons presque quotidiennement des valeurs absolues. Par exemple : si vous marchez 3 miles pour aller à l'école, marchez-vous aussi 3 miles en sens inverse lorsque vous rentrez à la maison ? La réponse est non car les distances utilisent une valeur absolue. La valeur absolue de la distance entre la maison et l'école est de 3 miles, que ce soit pour l'aller ou le retour.
En bref, les valeurs absolues nous aident à gérer des concepts comme la distance, les fourchettes de valeurs possibles, et l'écart par rapport à une valeur fixée.

Solution - Équations à valeur absolue

Explication étape par étape

1. Réécrire l'équation sans les barres de valeur absolue

2. Résoudre les deux équations pour x

3. Lister les solutions

4. Graphe

Pourquoi apprendre cela

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