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Solution - Équations à valeur absolue

Forme exacte :

y = - 90, \frac{30}{19}

y=-90 , \frac{30}{19}

Forme de nombre mélangé :

y = - 90, 1 \frac{11}{19}

y=-90 , 1\frac{11}{19}

Forme décimale :

y = - 90, 1, 579

y=-90 , 1,579

Voir les étapes

Explication étape par étape

1. Réécrire l'équation sans les barres de valeur absolue

Utilisez les règles:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ et $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
Pour écrire toutes les quatre options de l'équation
$| \frac{3}{5} y - 4 | = | \frac{2}{3} y + 2 |$
Sans les barres de valeur absolue:

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{3}{5} y - 4 \| = \| \frac{2}{3} y + 2 \|$
$x = + y$	$(\frac{3}{5} y - 4) = (\frac{2}{3} y + 2)$
$x = - y$	$(\frac{3}{5} y - 4) = - (\frac{2}{3} y + 2)$
$+ x = y$	$(\frac{3}{5} y - 4) = (\frac{2}{3} y + 2)$
$- x = y$	$- (\frac{3}{5} y - 4) = (\frac{2}{3} y + 2)$

Une fois simplifiées, les équations $x = + y$ et $+ x = y$ sont identiques, et les équations $x = - y$ et $- x = y$ sont également identiques, nous avons donc seulement 2 équations :

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{3}{5} y - 4 \| = \| \frac{2}{3} y + 2 \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$(\frac{3}{5} y - 4) = (\frac{2}{3} y + 2)$
$x = - y$ , $- x = y$	$(\frac{3}{5} y - 4) = - (\frac{2}{3} y + 2)$

2. Résoudre les deux équations pour y

21 étapes supplémentaires

$(\frac{3}{5} \cdot y - 4) = (\frac{2}{3} y + 2)$

Soustraire des deux côtés:

$(\frac{3}{5} y - 4) - \frac{2}{3} \cdot y = (\frac{2}{3} y + 2) - \frac{2}{3} y$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{3}{5} \cdot y + \frac{- 2}{3} \cdot y) - 4 = (\frac{2}{3} \cdot y + 2) - \frac{2}{3} y$

Coefficients du groupe:

$(\frac{3}{5} + \frac{- 2}{3}) y - 4 = (\frac{2}{3} \cdot y + 2) - \frac{2}{3} y$

Trouver le plus petit dénominateur commun:

$(\frac{(3 \cdot 3)}{(5 \cdot 3)} + \frac{(- 2 \cdot 5)}{(3 \cdot 5)}) y - 4 = (\frac{2}{3} \cdot y + 2) - \frac{2}{3} y$

Multiplier les dénominateurs:

$(\frac{(3 \cdot 3)}{15} + \frac{(- 2 \cdot 5)}{15}) y - 4 = (\frac{2}{3} \cdot y + 2) - \frac{2}{3} y$

Multiplier les numérateurs:

$(\frac{9}{15} + \frac{- 10}{15}) y - 4 = (\frac{2}{3} \cdot y + 2) - \frac{2}{3} y$

Combiner les fractions:

$\frac{(9 - 10)}{15} \cdot y - 4 = (\frac{2}{3} \cdot y + 2) - \frac{2}{3} y$

Combiner les numérateurs:

$\frac{- 1}{15} \cdot y - 4 = (\frac{2}{3} \cdot y + 2) - \frac{2}{3} y$

Collecter des termes semblables:

$\frac{- 1}{15} \cdot y - 4 = (\frac{2}{3} \cdot y + \frac{- 2}{3} y) + 2$

Combiner les fractions:

$\frac{- 1}{15} \cdot y - 4 = \frac{(2 - 2)}{3} y + 2$

Combiner les numérateurs:

$\frac{- 1}{15} \cdot y - 4 = \frac{0}{3} y + 2$

Réduire le numérateur zéro:

$\frac{- 1}{15} y - 4 = 0 y + 2$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{- 1}{15} y - 4 = 2$

Additionner des deux côtés:

$(\frac{- 1}{15} y - 4) + 4 = 2 + 4$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{- 1}{15} y = 2 + 4$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{- 1}{15} y = 6$

Multiplier les deux côtés par la fraction inverse :

$(\frac{- 1}{15} y) \cdot \frac{15}{- 1} = 6 \cdot \frac{15}{- 1}$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{- 1}{15} \cdot - 15) y = 6 \cdot \frac{15}{- 1}$

Multiplier les coefficients:

$\frac{(- 1 \cdot - 15)}{15} y = 6 \cdot \frac{15}{- 1}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$1 y = 6 \cdot \frac{15}{- 1}$

$y = 6 \cdot \frac{15}{- 1}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$y = - 90$

22 étapes supplémentaires

$(\frac{3}{5} y - 4) = - (\frac{2}{3} y + 2)$

Développer les parenthèses:

$(\frac{3}{5} \cdot y - 4) = \frac{- 2}{3} y - 2$

Additionner des deux côtés:

$(\frac{3}{5} y - 4) + \frac{2}{3} \cdot y = (\frac{- 2}{3} y - 2) + \frac{2}{3} y$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{3}{5} \cdot y + \frac{2}{3} \cdot y) - 4 = (\frac{- 2}{3} \cdot y - 2) + \frac{2}{3} y$

Coefficients du groupe:

$(\frac{3}{5} + \frac{2}{3}) y - 4 = (\frac{- 2}{3} \cdot y - 2) + \frac{2}{3} y$

Trouver le plus petit dénominateur commun:

$(\frac{(3 \cdot 3)}{(5 \cdot 3)} + \frac{(2 \cdot 5)}{(3 \cdot 5)}) y - 4 = (\frac{- 2}{3} \cdot y - 2) + \frac{2}{3} y$

Multiplier les dénominateurs:

$(\frac{(3 \cdot 3)}{15} + \frac{(2 \cdot 5)}{15}) y - 4 = (\frac{- 2}{3} \cdot y - 2) + \frac{2}{3} y$

Multiplier les numérateurs:

$(\frac{9}{15} + \frac{10}{15}) y - 4 = (\frac{- 2}{3} \cdot y - 2) + \frac{2}{3} y$

Combiner les fractions:

$\frac{(9 + 10)}{15} \cdot y - 4 = (\frac{- 2}{3} \cdot y - 2) + \frac{2}{3} y$

Combiner les numérateurs:

$\frac{19}{15} \cdot y - 4 = (\frac{- 2}{3} \cdot y - 2) + \frac{2}{3} y$

Collecter des termes semblables:

$\frac{19}{15} \cdot y - 4 = (\frac{- 2}{3} \cdot y + \frac{2}{3} y) - 2$

Combiner les fractions:

$\frac{19}{15} \cdot y - 4 = \frac{(- 2 + 2)}{3} y - 2$

Combiner les numérateurs:

$\frac{19}{15} \cdot y - 4 = \frac{0}{3} y - 2$

Réduire le numérateur zéro:

$\frac{19}{15} y - 4 = 0 y - 2$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{19}{15} y - 4 = - 2$

Additionner des deux côtés:

$(\frac{19}{15} y - 4) + 4 = - 2 + 4$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{19}{15} y = - 2 + 4$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{19}{15} y = 2$

Multiplier les deux côtés par la fraction inverse :

$(\frac{19}{15} y) \cdot \frac{15}{19} = 2 \cdot \frac{15}{19}$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{19}{15} \cdot \frac{15}{19}) y = 2 \cdot \frac{15}{19}$

Multiplier les coefficients:

$\frac{(19 \cdot 15)}{(15 \cdot 19)} y = 2 \cdot \frac{15}{19}$

Simplifier la fraction:

$y = 2 \cdot \frac{15}{19}$

Multiplier les fractions:

$y = \frac{(2 \cdot 15)}{19}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$y = \frac{30}{19}$

3. Lister les solutions

$y = - 90, \frac{30}{19}$
(2 solution(s))

4. Graphe

Chaque ligne représente la fonction d'un côté de l'équation:
$y = | \frac{3}{5} y - 4 |$
$y = | \frac{2}{3} y + 2 |$
L'équation est vraie là où les deux lignes se croisent.

Comment nous en sommes-nous sortis ?

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Pourquoi apprendre cela

Nous rencontrons presque quotidiennement des valeurs absolues. Par exemple : si vous marchez 3 miles pour aller à l'école, marchez-vous aussi 3 miles en sens inverse lorsque vous rentrez à la maison ? La réponse est non car les distances utilisent une valeur absolue. La valeur absolue de la distance entre la maison et l'école est de 3 miles, que ce soit pour l'aller ou le retour.
En bref, les valeurs absolues nous aident à gérer des concepts comme la distance, les fourchettes de valeurs possibles, et l'écart par rapport à une valeur fixée.

Solution - Équations à valeur absolue

Explication étape par étape

1. Réécrire l'équation sans les barres de valeur absolue

2. Résoudre les deux équations pour y

3. Lister les solutions

4. Graphe

Pourquoi apprendre cela

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