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Solution - Équations à valeur absolue

Forme exacte :

y = 60, \frac{100}{27}

y=60 , \frac{100}{27}

Forme de nombre mélangé :

y = 60, 3 \frac{19}{27}

y=60 , 3\frac{19}{27}

Forme décimale :

y = 60, 3, 704

y=60 , 3,704

Voir les étapes

Explication étape par étape

1. Réécrire l'équation sans les barres de valeur absolue

Utilisez les règles:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ et $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
Pour écrire toutes les quatre options de l'équation
$| \frac{3}{5} y + 2 | = | \frac{3}{4} y - 7 |$
Sans les barres de valeur absolue:

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{3}{5} y + 2 \| = \| \frac{3}{4} y - 7 \|$
$x = + y$	$(\frac{3}{5} y + 2) = (\frac{3}{4} y - 7)$
$x = - y$	$(\frac{3}{5} y + 2) = - (\frac{3}{4} y - 7)$
$+ x = y$	$(\frac{3}{5} y + 2) = (\frac{3}{4} y - 7)$
$- x = y$	$- (\frac{3}{5} y + 2) = (\frac{3}{4} y - 7)$

Une fois simplifiées, les équations $x = + y$ et $+ x = y$ sont identiques, et les équations $x = - y$ et $- x = y$ sont également identiques, nous avons donc seulement 2 équations :

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{3}{5} y + 2 \| = \| \frac{3}{4} y - 7 \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$(\frac{3}{5} y + 2) = (\frac{3}{4} y - 7)$
$x = - y$ , $- x = y$	$(\frac{3}{5} y + 2) = - (\frac{3}{4} y - 7)$

2. Résoudre les deux équations pour y

24 étapes supplémentaires

$(\frac{3}{5} \cdot y + 2) = (\frac{3}{4} y - 7)$

Soustraire des deux côtés:

$(\frac{3}{5} y + 2) - \frac{3}{4} \cdot y = (\frac{3}{4} y - 7) - \frac{3}{4} y$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{3}{5} \cdot y + \frac{- 3}{4} \cdot y) + 2 = (\frac{3}{4} \cdot y - 7) - \frac{3}{4} y$

Coefficients du groupe:

$(\frac{3}{5} + \frac{- 3}{4}) y + 2 = (\frac{3}{4} \cdot y - 7) - \frac{3}{4} y$

Trouver le plus petit dénominateur commun:

$(\frac{(3 \cdot 4)}{(5 \cdot 4)} + \frac{(- 3 \cdot 5)}{(4 \cdot 5)}) y + 2 = (\frac{3}{4} \cdot y - 7) - \frac{3}{4} y$

Multiplier les dénominateurs:

$(\frac{(3 \cdot 4)}{20} + \frac{(- 3 \cdot 5)}{20}) y + 2 = (\frac{3}{4} \cdot y - 7) - \frac{3}{4} y$

Multiplier les numérateurs:

$(\frac{12}{20} + \frac{- 15}{20}) y + 2 = (\frac{3}{4} \cdot y - 7) - \frac{3}{4} y$

Combiner les fractions:

$\frac{(12 - 15)}{20} \cdot y + 2 = (\frac{3}{4} \cdot y - 7) - \frac{3}{4} y$

Combiner les numérateurs:

$\frac{- 3}{20} \cdot y + 2 = (\frac{3}{4} \cdot y - 7) - \frac{3}{4} y$

Collecter des termes semblables:

$\frac{- 3}{20} \cdot y + 2 = (\frac{3}{4} \cdot y + \frac{- 3}{4} y) - 7$

Combiner les fractions:

$\frac{- 3}{20} \cdot y + 2 = \frac{(3 - 3)}{4} y - 7$

Combiner les numérateurs:

$\frac{- 3}{20} \cdot y + 2 = \frac{0}{4} y - 7$

Réduire le numérateur zéro:

$\frac{- 3}{20} y + 2 = 0 y - 7$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{- 3}{20} y + 2 = - 7$

Soustraire des deux côtés:

$(\frac{- 3}{20} y + 2) - 2 = - 7 - 2$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{- 3}{20} y = - 7 - 2$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{- 3}{20} y = - 9$

Multiplier les deux côtés par la fraction inverse :

$(\frac{- 3}{20} y) \cdot \frac{20}{- 3} = - 9 \cdot \frac{20}{- 3}$

Déplacer le signe négatif du dénominateur vers le numérateur:

$\frac{- 3}{20} y \cdot \frac{- 20}{3} = - 9 \cdot \frac{20}{- 3}$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{- 3}{20} \cdot \frac{- 20}{3}) y = - 9 \cdot \frac{20}{- 3}$

Multiplier les coefficients:

$\frac{(- 3 \cdot - 20)}{(20 \cdot 3)} y = - 9 \cdot \frac{20}{- 3}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$1 y = - 9 \cdot \frac{20}{- 3}$

$y = - 9 \cdot \frac{20}{- 3}$

Déplacer le signe négatif du dénominateur vers le numérateur:

$y = - 9 \cdot \frac{- 20}{3}$

Multiplier les fractions:

$y = \frac{(- 9 \cdot - 20)}{3}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$y = 60$

22 étapes supplémentaires

$(\frac{3}{5} y + 2) = - (\frac{3}{4} y - 7)$

Développer les parenthèses:

$(\frac{3}{5} \cdot y + 2) = \frac{- 3}{4} y + 7$

Additionner des deux côtés:

$(\frac{3}{5} y + 2) + \frac{3}{4} \cdot y = (\frac{- 3}{4} y + 7) + \frac{3}{4} y$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{3}{5} \cdot y + \frac{3}{4} \cdot y) + 2 = (\frac{- 3}{4} \cdot y + 7) + \frac{3}{4} y$

Coefficients du groupe:

$(\frac{3}{5} + \frac{3}{4}) y + 2 = (\frac{- 3}{4} \cdot y + 7) + \frac{3}{4} y$

Trouver le plus petit dénominateur commun:

$(\frac{(3 \cdot 4)}{(5 \cdot 4)} + \frac{(3 \cdot 5)}{(4 \cdot 5)}) y + 2 = (\frac{- 3}{4} \cdot y + 7) + \frac{3}{4} y$

Multiplier les dénominateurs:

$(\frac{(3 \cdot 4)}{20} + \frac{(3 \cdot 5)}{20}) y + 2 = (\frac{- 3}{4} \cdot y + 7) + \frac{3}{4} y$

Multiplier les numérateurs:

$(\frac{12}{20} + \frac{15}{20}) y + 2 = (\frac{- 3}{4} \cdot y + 7) + \frac{3}{4} y$

Combiner les fractions:

$\frac{(12 + 15)}{20} \cdot y + 2 = (\frac{- 3}{4} \cdot y + 7) + \frac{3}{4} y$

Combiner les numérateurs:

$\frac{27}{20} \cdot y + 2 = (\frac{- 3}{4} \cdot y + 7) + \frac{3}{4} y$

Collecter des termes semblables:

$\frac{27}{20} \cdot y + 2 = (\frac{- 3}{4} \cdot y + \frac{3}{4} y) + 7$

Combiner les fractions:

$\frac{27}{20} \cdot y + 2 = \frac{(- 3 + 3)}{4} y + 7$

Combiner les numérateurs:

$\frac{27}{20} \cdot y + 2 = \frac{0}{4} y + 7$

Réduire le numérateur zéro:

$\frac{27}{20} y + 2 = 0 y + 7$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{27}{20} y + 2 = 7$

Soustraire des deux côtés:

$(\frac{27}{20} y + 2) - 2 = 7 - 2$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{27}{20} y = 7 - 2$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{27}{20} y = 5$

Multiplier les deux côtés par la fraction inverse :

$(\frac{27}{20} y) \cdot \frac{20}{27} = 5 \cdot \frac{20}{27}$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{27}{20} \cdot \frac{20}{27}) y = 5 \cdot \frac{20}{27}$

Multiplier les coefficients:

$\frac{(27 \cdot 20)}{(20 \cdot 27)} y = 5 \cdot \frac{20}{27}$

Simplifier la fraction:

$y = 5 \cdot \frac{20}{27}$

Multiplier les fractions:

$y = \frac{(5 \cdot 20)}{27}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$y = \frac{100}{27}$

3. Lister les solutions

$y = 60, \frac{100}{27}$
(2 solution(s))

4. Graphe

Chaque ligne représente la fonction d'un côté de l'équation:
$y = | \frac{3}{5} y + 2 |$
$y = | \frac{3}{4} y - 7 |$
L'équation est vraie là où les deux lignes se croisent.

Comment nous en sommes-nous sortis ?

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Pourquoi apprendre cela

Nous rencontrons presque quotidiennement des valeurs absolues. Par exemple : si vous marchez 3 miles pour aller à l'école, marchez-vous aussi 3 miles en sens inverse lorsque vous rentrez à la maison ? La réponse est non car les distances utilisent une valeur absolue. La valeur absolue de la distance entre la maison et l'école est de 3 miles, que ce soit pour l'aller ou le retour.
En bref, les valeurs absolues nous aident à gérer des concepts comme la distance, les fourchettes de valeurs possibles, et l'écart par rapport à une valeur fixée.

Solution - Équations à valeur absolue

Explication étape par étape

1. Réécrire l'équation sans les barres de valeur absolue

2. Résoudre les deux équations pour y

3. Lister les solutions

4. Graphe

Pourquoi apprendre cela

Termes et sujets

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