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Solution - Équations à valeur absolue

Forme exacte :

y = - 13, - 1

y=-13 , -1

Voir les étapes

Explication étape par étape

1. Réécrire l'équation sans les barres de valeur absolue

Utilisez les règles:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ et $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
Pour écrire toutes les quatre options de l'équation
$| 2 y + 5 | = \frac{1}{2} | 3 y - 3 |$
Sans les barres de valeur absolue:

$\| x \| = \| y \|$	$\| 2 y + 5 \| = \frac{1}{2} \| 3 y - 3 \|$
$x = + y$	$(2 y + 5) = \frac{1}{2} (3 y - 3)$
$x = - y$	$(2 y + 5) = \frac{1}{2} (- (3 y - 3))$
$+ x = y$	$(2 y + 5) = \frac{1}{2} (3 y - 3)$
$- x = y$	$- (2 y + 5) = \frac{1}{2} (3 y - 3)$

Une fois simplifiées, les équations $x = + y$ et $+ x = y$ sont identiques, et les équations $x = - y$ et $- x = y$ sont également identiques, nous avons donc seulement 2 équations :

$\| x \| = \| y \|$	$\| 2 y + 5 \| = \frac{1}{2} \| 3 y - 3 \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$(2 y + 5) = \frac{1}{2} (3 y - 3)$
$x = - y$ , $- x = y$	$(2 y + 5) = \frac{1}{2} (- (3 y - 3))$

2. Résoudre les deux équations pour y

23 étapes supplémentaires

$(2 y + 5) = \frac{1}{2} \cdot (3 y - 3)$

Multiplier les fractions:

$(2 y + 5) = \frac{(1 \cdot (3 y - 3))}{2}$

Décomposer la fraction:

$(2 y + 5) = \frac{3 y}{2} + \frac{- 3}{2}$

Soustraire des deux côtés:

$(2 y + 5) - \frac{3 y}{2} = (\frac{3 y}{2} + \frac{- 3}{2}) - \frac{3 y}{2}$

Collecter des termes semblables:

$(2 y + \frac{- 3}{2} y) + 5 = (\frac{3 y}{2} + \frac{- 3}{2}) - \frac{3 y}{2}$

Coefficients du groupe:

$(2 + \frac{- 3}{2}) y + 5 = (\frac{3 y}{2} + \frac{- 3}{2}) - \frac{3 y}{2}$

Convertir un nombre entier en fraction:

$(\frac{4}{2} + \frac{- 3}{2}) y + 5 = (\frac{3 y}{2} + \frac{- 3}{2}) - \frac{3 y}{2}$

Combiner les fractions:

$\frac{(4 - 3)}{2} y + 5 = (\frac{3 y}{2} + \frac{- 3}{2}) - \frac{3 y}{2}$

Combiner les numérateurs:

$\frac{1}{2} y + 5 = (\frac{3 y}{2} + \frac{- 3}{2}) - \frac{3 y}{2}$

Collecter des termes semblables:

$\frac{1}{2} \cdot y + 5 = (\frac{3 y}{2} + \frac{- 3}{2} y) + \frac{- 3}{2}$

Combiner les fractions:

$\frac{1}{2} \cdot y + 5 = \frac{(3 - 3)}{2} y + \frac{- 3}{2}$

Combiner les numérateurs:

$\frac{1}{2} \cdot y + 5 = \frac{0}{2} y + \frac{- 3}{2}$

Réduire le numérateur zéro:

$\frac{1}{2} y + 5 = 0 y + \frac{- 3}{2}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{1}{2} y + 5 = \frac{- 3}{2}$

Soustraire des deux côtés:

$(\frac{1}{2} y + 5) - 5 = (\frac{- 3}{2}) - 5$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{1}{2} y = (\frac{- 3}{2}) - 5$

Convertir un nombre entier en fraction:

$\frac{1}{2} y = \frac{- 3}{2} + \frac{- 10}{2}$

Combiner les fractions:

$\frac{1}{2} y = \frac{(- 3 - 10)}{2}$

Combiner les numérateurs:

$\frac{1}{2} y = \frac{- 13}{2}$

Multiplier les deux côtés par la fraction inverse :

$(\frac{1}{2} y) \cdot \frac{2}{1} = (\frac{- 13}{2}) \cdot \frac{2}{1}$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{1}{2} \cdot 2) y = (\frac{- 13}{2}) \cdot \frac{2}{1}$

Multiplier les coefficients:

$\frac{(1 \cdot 2)}{2} y = (\frac{- 13}{2}) \cdot \frac{2}{1}$

Simplifier la fraction:

$y = (\frac{- 13}{2}) \cdot \frac{2}{1}$

Multiplier les fractions:

$y = \frac{(- 13 \cdot 2)}{2}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$y = - 13$

24 étapes supplémentaires

$(2 y + 5) = \frac{1}{2} \cdot (- (3 y - 3))$

Multiplier les fractions:

$(2 y + 5) = \frac{(1 \cdot (- (3 y - 3)))}{2}$

Développer les parenthèses:

$(2 y + 5) = \frac{(- 3 y + 3)}{2}$

Décomposer la fraction:

$(2 y + 5) = \frac{- 3 y}{2} + \frac{3}{2}$

Additionner des deux côtés:

$(2 y + 5) + \frac{3}{2} \cdot y = (\frac{- 3 y}{2} + \frac{3}{2}) + \frac{3}{2} y$

Collecter des termes semblables:

$(2 y + \frac{3}{2} \cdot y) + 5 = (\frac{- 3 y}{2} + \frac{3}{2}) + \frac{3}{2} y$

Coefficients du groupe:

$(2 + \frac{3}{2}) y + 5 = (\frac{- 3 y}{2} + \frac{3}{2}) + \frac{3}{2} y$

Convertir un nombre entier en fraction:

$(\frac{4}{2} + \frac{3}{2}) y + 5 = (\frac{- 3 y}{2} + \frac{3}{2}) + \frac{3}{2} y$

Combiner les fractions:

$\frac{(4 + 3)}{2} \cdot y + 5 = (\frac{- 3 y}{2} + \frac{3}{2}) + \frac{3}{2} y$

Combiner les numérateurs:

$\frac{7}{2} \cdot y + 5 = (\frac{- 3 y}{2} + \frac{3}{2}) + \frac{3}{2} y$

Collecter des termes semblables:

$\frac{7}{2} \cdot y + 5 = (\frac{- 3 y}{2} + \frac{3}{2} y) + \frac{3}{2}$

Combiner les fractions:

$\frac{7}{2} \cdot y + 5 = \frac{(- 3 + 3)}{2} y + \frac{3}{2}$

Combiner les numérateurs:

$\frac{7}{2} \cdot y + 5 = \frac{0}{2} y + \frac{3}{2}$

Réduire le numérateur zéro:

$\frac{7}{2} y + 5 = 0 y + \frac{3}{2}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{7}{2} y + 5 = \frac{3}{2}$

Soustraire des deux côtés:

$(\frac{7}{2} y + 5) - 5 = (\frac{3}{2}) - 5$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{7}{2} y = (\frac{3}{2}) - 5$

Convertir un nombre entier en fraction:

$\frac{7}{2} y = \frac{3}{2} + \frac{- 10}{2}$

Combiner les fractions:

$\frac{7}{2} y = \frac{(3 - 10)}{2}$

Combiner les numérateurs:

$\frac{7}{2} y = \frac{- 7}{2}$

Multiplier les deux côtés par la fraction inverse :

$(\frac{7}{2} y) \cdot \frac{2}{7} = (\frac{- 7}{2}) \cdot \frac{2}{7}$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{7}{2} \cdot \frac{2}{7}) y = (\frac{- 7}{2}) \cdot \frac{2}{7}$

Multiplier les coefficients:

$\frac{(7 \cdot 2)}{(2 \cdot 7)} y = (\frac{- 7}{2}) \cdot \frac{2}{7}$

Simplifier la fraction:

$y = (\frac{- 7}{2}) \cdot \frac{2}{7}$

Multiplier les fractions:

$y = \frac{(- 7 \cdot 2)}{(2 \cdot 7)}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$y = - 1$

3. Lister les solutions

$y = - 13, - 1$
(2 solution(s))

4. Graphe

Chaque ligne représente la fonction d'un côté de l'équation:
$y = | 2 y + 5 |$
$y = \frac{1}{2} | 3 y - 3 |$
L'équation est vraie là où les deux lignes se croisent.

Comment nous en sommes-nous sortis ?

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Pourquoi apprendre cela

Nous rencontrons presque quotidiennement des valeurs absolues. Par exemple : si vous marchez 3 miles pour aller à l'école, marchez-vous aussi 3 miles en sens inverse lorsque vous rentrez à la maison ? La réponse est non car les distances utilisent une valeur absolue. La valeur absolue de la distance entre la maison et l'école est de 3 miles, que ce soit pour l'aller ou le retour.
En bref, les valeurs absolues nous aident à gérer des concepts comme la distance, les fourchettes de valeurs possibles, et l'écart par rapport à une valeur fixée.

Solution - Équations à valeur absolue

Explication étape par étape

1. Réécrire l'équation sans les barres de valeur absolue

2. Résoudre les deux équations pour y

3. Lister les solutions

4. Graphe

Pourquoi apprendre cela

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