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Solution - Équations à valeur absolue

Forme exacte :

x = \frac{5}{4}

x=\frac{5}{4}

Forme de nombre mélangé :

x = 1 \frac{1}{4}

x=1\frac{1}{4}

Forme décimale :

x = 1, 25

x=1,25

Voir les étapes

Explication étape par étape

1. Réécrire l'équation avec un terme de valeur absolue de chaque côté

$| 2 x - 1 | - 2 | x - 2 | = 0$

Additionner $2 | x - 2 |$ des deux côtés de l’équation.

$| 2 x - 1 | - 2 | x - 2 | + 2 | x - 2 | = 2 | x - 2 |$

Simplifier l’expression arithmétique

$| 2 x - 1 | = 2 | x - 2 |$

2. Réécrire l'équation sans les barres de valeur absolue

Utilisez les règles:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ et $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
Pour écrire toutes les quatre options de l'équation
$| 2 x - 1 | = 2 | x - 2 |$
Sans les barres de valeur absolue:

$\| x \| = \| y \|$	$\| 2 x - 1 \| = 2 \| x - 2 \|$
$x = + y$	$(2 x - 1) = 2 (x - 2)$
$x = - y$	$(2 x - 1) = 2 (- (x - 2))$
$+ x = y$	$(2 x - 1) = 2 (x - 2)$
$- x = y$	$- (2 x - 1) = 2 (x - 2)$

Une fois simplifiées, les équations $x = + y$ et $+ x = y$ sont identiques, et les équations $x = - y$ et $- x = y$ sont également identiques, nous avons donc seulement 2 équations :

$\| x \| = \| y \|$	$\| 2 x - 1 \| = 2 \| x - 2 \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$(2 x - 1) = 2 (x - 2)$
$x = - y$ , $- x = y$	$(2 x - 1) = 2 (- (x - 2))$

3. Résoudre les deux équations pour x

7 étapes supplémentaires

$(2 x - 1) = 2 \cdot (x - 2)$

Développer les parenthèses:

$(2 x - 1) = 2 x + 2 \cdot - 2$

Simplifier l’expression arithmétique:

$(2 x - 1) = 2 x - 4$

Soustraire des deux côtés:

$(2 x - 1) - 2 x = (2 x - 4) - 2 x$

Collecter des termes semblables:

$(2 x - 2 x) - 1 = (2 x - 4) - 2 x$

Simplifier l’expression arithmétique:

$- 1 = (2 x - 4) - 2 x$

Collecter des termes semblables:

$- 1 = (2 x - 2 x) - 4$

Simplifier l’expression arithmétique:

$- 1 = - 4$

L’affirmation est fausse:

$- 1 = - 4$

L'équation est fausse, donc elle n'a pas de solution.

14 étapes supplémentaires

$(2 x - 1) = 2 \cdot (- (x - 2))$

Développer les parenthèses:

$(2 x - 1) = 2 \cdot (- x + 2)$

$(2 x - 1) = 2 \cdot - x + 2 \cdot 2$

Collecter des termes semblables:

$(2 x - 1) = (2 \cdot - 1) x + 2 \cdot 2$

Multiplier les coefficients:

$(2 x - 1) = - 2 x + 2 \cdot 2$

Simplifier l’expression arithmétique:

$(2 x - 1) = - 2 x + 4$

Additionner des deux côtés:

$(2 x - 1) + 2 x = (- 2 x + 4) + 2 x$

Collecter des termes semblables:

$(2 x + 2 x) - 1 = (- 2 x + 4) + 2 x$

Simplifier l’expression arithmétique:

$4 x - 1 = (- 2 x + 4) + 2 x$

Collecter des termes semblables:

$4 x - 1 = (- 2 x + 2 x) + 4$

Simplifier l’expression arithmétique:

$4 x - 1 = 4$

Additionner des deux côtés:

$(4 x - 1) + 1 = 4 + 1$

Simplifier l’expression arithmétique:

$4 x = 4 + 1$

Simplifier l’expression arithmétique:

$4 x = 5$

Diviser les deux côtés par :

$\frac{(4 x)}{4} = \frac{5}{4}$

Simplifier la fraction:

$x = \frac{5}{4}$

4. Graphe

Chaque ligne représente la fonction d'un côté de l'équation:
$y = | 2 x - 1 |$
$y = 2 | x - 2 |$
L'équation est vraie là où les deux lignes se croisent.

Comment nous en sommes-nous sortis ?

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Pourquoi apprendre cela

Nous rencontrons presque quotidiennement des valeurs absolues. Par exemple : si vous marchez 3 miles pour aller à l'école, marchez-vous aussi 3 miles en sens inverse lorsque vous rentrez à la maison ? La réponse est non car les distances utilisent une valeur absolue. La valeur absolue de la distance entre la maison et l'école est de 3 miles, que ce soit pour l'aller ou le retour.
En bref, les valeurs absolues nous aident à gérer des concepts comme la distance, les fourchettes de valeurs possibles, et l'écart par rapport à une valeur fixée.

Solution - Équations à valeur absolue

Explication étape par étape

1. Réécrire l'équation avec un terme de valeur absolue de chaque côté

2. Réécrire l'équation sans les barres de valeur absolue

3. Résoudre les deux équations pour x

4. Graphe

Pourquoi apprendre cela

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