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Solution - Équations à valeur absolue

Forme exacte :

x = \frac{3}{7}, \frac{5}{9}

x=\frac{3}{7} , \frac{5}{9}

Forme décimale :

x = 0, 429, 0, 556

x=0,429 , 0,556

Voir les étapes

Explication étape par étape

1. Réécrire l'équation sans les barres de valeur absolue

Utilisez les règles:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ et $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
Pour écrire toutes les quatre options de l'équation
$| 2 x - 1 | = \frac{1}{4} | x - 1 |$
Sans les barres de valeur absolue:

$\| x \| = \| y \|$	$\| 2 x - 1 \| = \frac{1}{4} \| x - 1 \|$
$x = + y$	$(2 x - 1) = \frac{1}{4} (x - 1)$
$x = - y$	$(2 x - 1) = \frac{1}{4} (- (x - 1))$
$+ x = y$	$(2 x - 1) = \frac{1}{4} (x - 1)$
$- x = y$	$- (2 x - 1) = \frac{1}{4} (x - 1)$

Une fois simplifiées, les équations $x = + y$ et $+ x = y$ sont identiques, et les équations $x = - y$ et $- x = y$ sont également identiques, nous avons donc seulement 2 équations :

$\| x \| = \| y \|$	$\| 2 x - 1 \| = \frac{1}{4} \| x - 1 \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$(2 x - 1) = \frac{1}{4} (x - 1)$
$x = - y$ , $- x = y$	$(2 x - 1) = \frac{1}{4} (- (x - 1))$

2. Résoudre les deux équations pour x

23 étapes supplémentaires

$(2 x - 1) = \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$

Multiplier les fractions:

$(2 x - 1) = \frac{(1 \cdot (x - 1))}{4}$

Décomposer la fraction:

$(2 x - 1) = \frac{x}{4} + \frac{- 1}{4}$

Soustraire des deux côtés:

$(2 x - 1) - \frac{x}{4} = (\frac{x}{4} + \frac{- 1}{4}) - \frac{x}{4}$

Collecter des termes semblables:

$(2 x + \frac{- 1}{4} x) - 1 = (\frac{x}{4} + \frac{- 1}{4}) - \frac{x}{4}$

Coefficients du groupe:

$(2 + \frac{- 1}{4}) x - 1 = (\frac{x}{4} + \frac{- 1}{4}) - \frac{x}{4}$

Convertir un nombre entier en fraction:

$(\frac{8}{4} + \frac{- 1}{4}) x - 1 = (\frac{x}{4} + \frac{- 1}{4}) - \frac{x}{4}$

Combiner les fractions:

$\frac{(8 - 1)}{4} x - 1 = (\frac{x}{4} + \frac{- 1}{4}) - \frac{x}{4}$

Combiner les numérateurs:

$\frac{7}{4} x - 1 = (\frac{x}{4} + \frac{- 1}{4}) - \frac{x}{4}$

Collecter des termes semblables:

$\frac{7}{4} \cdot x - 1 = (\frac{x}{4} + \frac{- 1}{4} x) + \frac{- 1}{4}$

Combiner les fractions:

$\frac{7}{4} \cdot x - 1 = \frac{(1 - 1)}{4} x + \frac{- 1}{4}$

Combiner les numérateurs:

$\frac{7}{4} \cdot x - 1 = \frac{0}{4} x + \frac{- 1}{4}$

Réduire le numérateur zéro:

$\frac{7}{4} x - 1 = 0 x + \frac{- 1}{4}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{7}{4} x - 1 = \frac{- 1}{4}$

Additionner des deux côtés:

$(\frac{7}{4} x - 1) + 1 = (\frac{- 1}{4}) + 1$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{7}{4} x = (\frac{- 1}{4}) + 1$

Convertir un nombre entier en fraction:

$\frac{7}{4} x = \frac{- 1}{4} + \frac{4}{4}$

Combiner les fractions:

$\frac{7}{4} x = \frac{(- 1 + 4)}{4}$

Combiner les numérateurs:

$\frac{7}{4} x = \frac{3}{4}$

Multiplier les deux côtés par la fraction inverse :

$(\frac{7}{4} x) \cdot \frac{4}{7} = (\frac{3}{4}) \cdot \frac{4}{7}$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{7}{4} \cdot \frac{4}{7}) x = (\frac{3}{4}) \cdot \frac{4}{7}$

Multiplier les coefficients:

$\frac{(7 \cdot 4)}{(4 \cdot 7)} x = (\frac{3}{4}) \cdot \frac{4}{7}$

Simplifier la fraction:

$x = (\frac{3}{4}) \cdot \frac{4}{7}$

Multiplier les fractions:

$x = \frac{(3 \cdot 4)}{(4 \cdot 7)}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$x = \frac{3}{7}$

24 étapes supplémentaires

$(2 x - 1) = \frac{1}{4} \cdot (- (x - 1))$

Multiplier les fractions:

$(2 x - 1) = \frac{(1 \cdot (- (x - 1)))}{4}$

Développer les parenthèses:

$(2 x - 1) = \frac{(- x + 1)}{4}$

Décomposer la fraction:

$(2 x - 1) = \frac{- x}{4} + \frac{1}{4}$

Additionner des deux côtés:

$(2 x - 1) + \frac{1}{4} \cdot x = (\frac{- x}{4} + \frac{1}{4}) + \frac{1}{4} x$

Collecter des termes semblables:

$(2 x + \frac{1}{4} \cdot x) - 1 = (\frac{- x}{4} + \frac{1}{4}) + \frac{1}{4} x$

Coefficients du groupe:

$(2 + \frac{1}{4}) x - 1 = (\frac{- x}{4} + \frac{1}{4}) + \frac{1}{4} x$

Convertir un nombre entier en fraction:

$(\frac{8}{4} + \frac{1}{4}) x - 1 = (\frac{- x}{4} + \frac{1}{4}) + \frac{1}{4} x$

Combiner les fractions:

$\frac{(8 + 1)}{4} \cdot x - 1 = (\frac{- x}{4} + \frac{1}{4}) + \frac{1}{4} x$

Combiner les numérateurs:

$\frac{9}{4} \cdot x - 1 = (\frac{- x}{4} + \frac{1}{4}) + \frac{1}{4} x$

Collecter des termes semblables:

$\frac{9}{4} \cdot x - 1 = (\frac{- x}{4} + \frac{1}{4} x) + \frac{1}{4}$

Combiner les fractions:

$\frac{9}{4} \cdot x - 1 = \frac{(- 1 + 1)}{4} x + \frac{1}{4}$

Combiner les numérateurs:

$\frac{9}{4} \cdot x - 1 = \frac{0}{4} x + \frac{1}{4}$

Réduire le numérateur zéro:

$\frac{9}{4} x - 1 = 0 x + \frac{1}{4}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{9}{4} x - 1 = \frac{1}{4}$

Additionner des deux côtés:

$(\frac{9}{4} x - 1) + 1 = (\frac{1}{4}) + 1$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{9}{4} x = (\frac{1}{4}) + 1$

Convertir un nombre entier en fraction:

$\frac{9}{4} x = \frac{1}{4} + \frac{4}{4}$

Combiner les fractions:

$\frac{9}{4} x = \frac{(1 + 4)}{4}$

Combiner les numérateurs:

$\frac{9}{4} x = \frac{5}{4}$

Multiplier les deux côtés par la fraction inverse :

$(\frac{9}{4} x) \cdot \frac{4}{9} = (\frac{5}{4}) \cdot \frac{4}{9}$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{9}{4} \cdot \frac{4}{9}) x = (\frac{5}{4}) \cdot \frac{4}{9}$

Multiplier les coefficients:

$\frac{(9 \cdot 4)}{(4 \cdot 9)} x = (\frac{5}{4}) \cdot \frac{4}{9}$

Simplifier la fraction:

$x = (\frac{5}{4}) \cdot \frac{4}{9}$

Multiplier les fractions:

$x = \frac{(5 \cdot 4)}{(4 \cdot 9)}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$x = \frac{5}{9}$

3. Lister les solutions

$x = \frac{3}{7}, \frac{5}{9}$
(2 solution(s))

4. Graphe

Chaque ligne représente la fonction d'un côté de l'équation:
$y = | 2 x - 1 |$
$y = \frac{1}{4} | x - 1 |$
L'équation est vraie là où les deux lignes se croisent.

Comment nous en sommes-nous sortis ?

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Pourquoi apprendre cela

Nous rencontrons presque quotidiennement des valeurs absolues. Par exemple : si vous marchez 3 miles pour aller à l'école, marchez-vous aussi 3 miles en sens inverse lorsque vous rentrez à la maison ? La réponse est non car les distances utilisent une valeur absolue. La valeur absolue de la distance entre la maison et l'école est de 3 miles, que ce soit pour l'aller ou le retour.
En bref, les valeurs absolues nous aident à gérer des concepts comme la distance, les fourchettes de valeurs possibles, et l'écart par rapport à une valeur fixée.

Solution - Équations à valeur absolue

Explication étape par étape

1. Réécrire l'équation sans les barres de valeur absolue

2. Résoudre les deux équations pour x

3. Lister les solutions

4. Graphe

Pourquoi apprendre cela

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