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Solution - Équations à valeur absolue

Forme exacte :

x = - \frac{6}{7}, - \frac{14}{3}

x=-\frac{6}{7} , -\frac{14}{3}

Forme de nombre mélangé :

x = - \frac{6}{7}, - 4 \frac{2}{3}

x=-\frac{6}{7} , -4\frac{2}{3}

Forme décimale :

x = - 0, 857, - 4, 667

x=-0,857 , -4,667

Voir les étapes

Explication étape par étape

1. Réécrire l'équation sans les barres de valeur absolue

Utilisez les règles:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ et $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
Pour écrire toutes les quatre options de l'équation
$| - x + 2 | = 5 | \frac{1}{2} x + 1 |$
Sans les barres de valeur absolue:

$\| x \| = \| y \|$	$\| - x + 2 \| = 5 \| \frac{1}{2} x + 1 \|$
$x = + y$	$(- x + 2) = 5 (\frac{1}{2} x + 1)$
$x = - y$	$(- x + 2) = 5 (- (\frac{1}{2} x + 1))$
$+ x = y$	$(- x + 2) = 5 (\frac{1}{2} x + 1)$
$- x = y$	$- (- x + 2) = 5 (\frac{1}{2} x + 1)$

Une fois simplifiées, les équations $x = + y$ et $+ x = y$ sont identiques, et les équations $x = - y$ et $- x = y$ sont également identiques, nous avons donc seulement 2 équations :

$\| x \| = \| y \|$	$\| - x + 2 \| = 5 \| \frac{1}{2} x + 1 \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$(- x + 2) = 5 (\frac{1}{2} x + 1)$
$x = - y$ , $- x = y$	$(- x + 2) = 5 (- (\frac{1}{2} x + 1))$

2. Résoudre les deux équations pour x

26 étapes supplémentaires

$(- x + 2) = 5 \cdot (\frac{1}{2} x + 1)$

Développer les parenthèses:

$(- x + 2) = 5 \cdot \frac{1}{2} x + 5 \cdot 1$

Multiplier les coefficients:

$(- x + 2) = \frac{(5 \cdot 1)}{2} x + 5 \cdot 1$

Simplifier l’expression arithmétique:

$(- x + 2) = \frac{(5 \cdot 1)}{2} x + 5$

Combiner les termes semblables:

$(- x + 2) = \frac{5}{2} x + 5$

Soustraire des deux côtés:

$(- x + 2) - \frac{5}{2} \cdot x = (\frac{5}{2} x + 5) - \frac{5}{2} x$

Collecter des termes semblables:

$(- x + \frac{- 5}{2} \cdot x) + 2 = (\frac{5}{2} \cdot x + 5) - \frac{5}{2} x$

Coefficients du groupe:

$(- 1 + \frac{- 5}{2}) x + 2 = (\frac{5}{2} \cdot x + 5) - \frac{5}{2} x$

Convertir un nombre entier en fraction:

$(\frac{- 2}{2} + \frac{- 5}{2}) x + 2 = (\frac{5}{2} \cdot x + 5) - \frac{5}{2} x$

Combiner les fractions:

$\frac{(- 2 - 5)}{2} \cdot x + 2 = (\frac{5}{2} \cdot x + 5) - \frac{5}{2} x$

Combiner les numérateurs:

$\frac{- 7}{2} \cdot x + 2 = (\frac{5}{2} \cdot x + 5) - \frac{5}{2} x$

Collecter des termes semblables:

$\frac{- 7}{2} \cdot x + 2 = (\frac{5}{2} \cdot x + \frac{- 5}{2} x) + 5$

Combiner les fractions:

$\frac{- 7}{2} \cdot x + 2 = \frac{(5 - 5)}{2} x + 5$

Combiner les numérateurs:

$\frac{- 7}{2} \cdot x + 2 = \frac{0}{2} x + 5$

Réduire le numérateur zéro:

$\frac{- 7}{2} x + 2 = 0 x + 5$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{- 7}{2} x + 2 = 5$

Soustraire des deux côtés:

$(\frac{- 7}{2} x + 2) - 2 = 5 - 2$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{- 7}{2} x = 5 - 2$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{- 7}{2} x = 3$

Multiplier les deux côtés par la fraction inverse :

$(\frac{- 7}{2} x) \cdot \frac{2}{- 7} = 3 \cdot \frac{2}{- 7}$

Déplacer le signe négatif du dénominateur vers le numérateur:

$\frac{- 7}{2} x \cdot \frac{- 2}{7} = 3 \cdot \frac{2}{- 7}$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{- 7}{2} \cdot \frac{- 2}{7}) x = 3 \cdot \frac{2}{- 7}$

Multiplier les coefficients:

$\frac{(- 7 \cdot - 2)}{(2 \cdot 7)} x = 3 \cdot \frac{2}{- 7}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$1 x = 3 \cdot \frac{2}{- 7}$

$x = 3 \cdot \frac{2}{- 7}$

Déplacer le signe négatif du dénominateur vers le numérateur:

$x = 3 \cdot \frac{- 2}{7}$

Multiplier les fractions:

$x = \frac{(3 \cdot - 2)}{7}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$x = \frac{- 6}{7}$

24 étapes supplémentaires

$(- x + 2) = 5 \cdot (- (\frac{1}{2} x + 1))$

Développer les parenthèses:

$(- x + 2) = 5 \cdot (\frac{- 1}{2} x - 1)$

Développer les parenthèses:

$(- x + 2) = 5 \cdot \frac{- 1}{2} x + 5 \cdot - 1$

Multiplier les coefficients:

$(- x + 2) = \frac{(5 \cdot - 1)}{2} x + 5 \cdot - 1$

Simplifier l’expression arithmétique:

$(- x + 2) = \frac{(5 \cdot - 1)}{2} x - 5$

$(- x + 2) = \frac{- 5}{2} x - 5$

Additionner des deux côtés:

$(- x + 2) + \frac{5}{2} \cdot x = (\frac{- 5}{2} x - 5) + \frac{5}{2} x$

Collecter des termes semblables:

$(- x + \frac{5}{2} \cdot x) + 2 = (\frac{- 5}{2} \cdot x - 5) + \frac{5}{2} x$

Coefficients du groupe:

$(- 1 + \frac{5}{2}) x + 2 = (\frac{- 5}{2} \cdot x - 5) + \frac{5}{2} x$

Convertir un nombre entier en fraction:

$(\frac{- 2}{2} + \frac{5}{2}) x + 2 = (\frac{- 5}{2} \cdot x - 5) + \frac{5}{2} x$

Combiner les fractions:

$\frac{(- 2 + 5)}{2} \cdot x + 2 = (\frac{- 5}{2} \cdot x - 5) + \frac{5}{2} x$

Combiner les numérateurs:

$\frac{3}{2} \cdot x + 2 = (\frac{- 5}{2} \cdot x - 5) + \frac{5}{2} x$

Collecter des termes semblables:

$\frac{3}{2} \cdot x + 2 = (\frac{- 5}{2} \cdot x + \frac{5}{2} x) - 5$

Combiner les fractions:

$\frac{3}{2} \cdot x + 2 = \frac{(- 5 + 5)}{2} x - 5$

Combiner les numérateurs:

$\frac{3}{2} \cdot x + 2 = \frac{0}{2} x - 5$

Réduire le numérateur zéro:

$\frac{3}{2} x + 2 = 0 x - 5$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{3}{2} x + 2 = - 5$

Soustraire des deux côtés:

$(\frac{3}{2} x + 2) - 2 = - 5 - 2$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{3}{2} x = - 5 - 2$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{3}{2} x = - 7$

Multiplier les deux côtés par la fraction inverse :

$(\frac{3}{2} x) \cdot \frac{2}{3} = - 7 \cdot \frac{2}{3}$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}) x = - 7 \cdot \frac{2}{3}$

Multiplier les coefficients:

$\frac{(3 \cdot 2)}{(2 \cdot 3)} x = - 7 \cdot \frac{2}{3}$

Simplifier la fraction:

$x = - 7 \cdot \frac{2}{3}$

Multiplier les fractions:

$x = \frac{(- 7 \cdot 2)}{3}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$x = \frac{- 14}{3}$

3. Lister les solutions

$x = - \frac{6}{7}, - \frac{14}{3}$
(2 solution(s))

4. Graphe

Chaque ligne représente la fonction d'un côté de l'équation:
$y = | - x + 2 |$
$y = 5 | \frac{1}{2} x + 1 |$
L'équation est vraie là où les deux lignes se croisent.

Comment nous en sommes-nous sortis ?

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Pourquoi apprendre cela

Nous rencontrons presque quotidiennement des valeurs absolues. Par exemple : si vous marchez 3 miles pour aller à l'école, marchez-vous aussi 3 miles en sens inverse lorsque vous rentrez à la maison ? La réponse est non car les distances utilisent une valeur absolue. La valeur absolue de la distance entre la maison et l'école est de 3 miles, que ce soit pour l'aller ou le retour.
En bref, les valeurs absolues nous aident à gérer des concepts comme la distance, les fourchettes de valeurs possibles, et l'écart par rapport à une valeur fixée.

Solution - Équations à valeur absolue

Explication étape par étape

1. Réécrire l'équation sans les barres de valeur absolue

2. Résoudre les deux équations pour x

3. Lister les solutions

4. Graphe

Pourquoi apprendre cela

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