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Solution - Équations à valeur absolue

Forme exacte :

y = \frac{15}{2}, - \frac{35}{6}

y=\frac{15}{2} , -\frac{35}{6}

Forme de nombre mélangé :

y = 7 \frac{1}{2}, - 5 \frac{5}{6}

y=7\frac{1}{2} , -5\frac{5}{6}

Forme décimale :

y = 7, 5, - 5, 833

y=7,5 , -5,833

Voir les étapes

Explication étape par étape

1. Réécrire l'équation sans les barres de valeur absolue

Utilisez les règles:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ et $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
Pour écrire toutes les quatre options de l'équation
$| \frac{2}{5} y + 5 | = | \frac{4}{5} y + 2 |$
Sans les barres de valeur absolue:

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{2}{5} y + 5 \| = \| \frac{4}{5} y + 2 \|$
$x = + y$	$(\frac{2}{5} y + 5) = (\frac{4}{5} y + 2)$
$x = - y$	$(\frac{2}{5} y + 5) = - (\frac{4}{5} y + 2)$
$+ x = y$	$(\frac{2}{5} y + 5) = (\frac{4}{5} y + 2)$
$- x = y$	$- (\frac{2}{5} y + 5) = (\frac{4}{5} y + 2)$

Une fois simplifiées, les équations $x = + y$ et $+ x = y$ sont identiques, et les équations $x = - y$ et $- x = y$ sont également identiques, nous avons donc seulement 2 équations :

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{2}{5} y + 5 \| = \| \frac{4}{5} y + 2 \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$(\frac{2}{5} y + 5) = (\frac{4}{5} y + 2)$
$x = - y$ , $- x = y$	$(\frac{2}{5} y + 5) = - (\frac{4}{5} y + 2)$

2. Résoudre les deux équations pour y

20 étapes supplémentaires

$(\frac{2}{5} \cdot y + 5) = (\frac{4}{5} y + 2)$

Soustraire des deux côtés:

$(\frac{2}{5} y + 5) - \frac{4}{5} \cdot y = (\frac{4}{5} y + 2) - \frac{4}{5} y$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{2}{5} \cdot y + \frac{- 4}{5} \cdot y) + 5 = (\frac{4}{5} \cdot y + 2) - \frac{4}{5} y$

Combiner les fractions:

$\frac{(2 - 4)}{5} \cdot y + 5 = (\frac{4}{5} \cdot y + 2) - \frac{4}{5} y$

Combiner les numérateurs:

$\frac{- 2}{5} \cdot y + 5 = (\frac{4}{5} \cdot y + 2) - \frac{4}{5} y$

Collecter des termes semblables:

$\frac{- 2}{5} \cdot y + 5 = (\frac{4}{5} \cdot y + \frac{- 4}{5} y) + 2$

Combiner les fractions:

$\frac{- 2}{5} \cdot y + 5 = \frac{(4 - 4)}{5} y + 2$

Combiner les numérateurs:

$\frac{- 2}{5} \cdot y + 5 = \frac{0}{5} y + 2$

Réduire le numérateur zéro:

$\frac{- 2}{5} y + 5 = 0 y + 2$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{- 2}{5} y + 5 = 2$

Soustraire des deux côtés:

$(\frac{- 2}{5} y + 5) - 5 = 2 - 5$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{- 2}{5} y = 2 - 5$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{- 2}{5} y = - 3$

Multiplier les deux côtés par la fraction inverse :

$(\frac{- 2}{5} y) \cdot \frac{5}{- 2} = - 3 \cdot \frac{5}{- 2}$

Déplacer le signe négatif du dénominateur vers le numérateur:

$\frac{- 2}{5} y \cdot \frac{- 5}{2} = - 3 \cdot \frac{5}{- 2}$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{- 2}{5} \cdot \frac{- 5}{2}) y = - 3 \cdot \frac{5}{- 2}$

Multiplier les coefficients:

$\frac{(- 2 \cdot - 5)}{(5 \cdot 2)} y = - 3 \cdot \frac{5}{- 2}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$1 y = - 3 \cdot \frac{5}{- 2}$

$y = - 3 \cdot \frac{5}{- 2}$

Déplacer le signe négatif du dénominateur vers le numérateur:

$y = - 3 \cdot \frac{- 5}{2}$

Multiplier les fractions:

$y = \frac{(- 3 \cdot - 5)}{2}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$y = \frac{15}{2}$

18 étapes supplémentaires

$(\frac{2}{5} y + 5) = - (\frac{4}{5} y + 2)$

Développer les parenthèses:

$(\frac{2}{5} \cdot y + 5) = \frac{- 4}{5} y - 2$

Additionner des deux côtés:

$(\frac{2}{5} y + 5) + \frac{4}{5} \cdot y = (\frac{- 4}{5} y - 2) + \frac{4}{5} y$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{2}{5} \cdot y + \frac{4}{5} \cdot y) + 5 = (\frac{- 4}{5} \cdot y - 2) + \frac{4}{5} y$

Combiner les fractions:

$\frac{(2 + 4)}{5} \cdot y + 5 = (\frac{- 4}{5} \cdot y - 2) + \frac{4}{5} y$

Combiner les numérateurs:

$\frac{6}{5} \cdot y + 5 = (\frac{- 4}{5} \cdot y - 2) + \frac{4}{5} y$

Collecter des termes semblables:

$\frac{6}{5} \cdot y + 5 = (\frac{- 4}{5} \cdot y + \frac{4}{5} y) - 2$

Combiner les fractions:

$\frac{6}{5} \cdot y + 5 = \frac{(- 4 + 4)}{5} y - 2$

Combiner les numérateurs:

$\frac{6}{5} \cdot y + 5 = \frac{0}{5} y - 2$

Réduire le numérateur zéro:

$\frac{6}{5} y + 5 = 0 y - 2$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{6}{5} y + 5 = - 2$

Soustraire des deux côtés:

$(\frac{6}{5} y + 5) - 5 = - 2 - 5$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{6}{5} y = - 2 - 5$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{6}{5} y = - 7$

Multiplier les deux côtés par la fraction inverse :

$(\frac{6}{5} y) \cdot \frac{5}{6} = - 7 \cdot \frac{5}{6}$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{6}{5} \cdot \frac{5}{6}) y = - 7 \cdot \frac{5}{6}$

Multiplier les coefficients:

$\frac{(6 \cdot 5)}{(5 \cdot 6)} y = - 7 \cdot \frac{5}{6}$

Simplifier la fraction:

$y = - 7 \cdot \frac{5}{6}$

Multiplier les fractions:

$y = \frac{(- 7 \cdot 5)}{6}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$y = \frac{- 35}{6}$

3. Lister les solutions

$y = \frac{15}{2}, - \frac{35}{6}$
(2 solution(s))

4. Graphe

Chaque ligne représente la fonction d'un côté de l'équation:
$y = | \frac{2}{5} y + 5 |$
$y = | \frac{4}{5} y + 2 |$
L'équation est vraie là où les deux lignes se croisent.

Comment nous en sommes-nous sortis ?

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Pourquoi apprendre cela

Nous rencontrons presque quotidiennement des valeurs absolues. Par exemple : si vous marchez 3 miles pour aller à l'école, marchez-vous aussi 3 miles en sens inverse lorsque vous rentrez à la maison ? La réponse est non car les distances utilisent une valeur absolue. La valeur absolue de la distance entre la maison et l'école est de 3 miles, que ce soit pour l'aller ou le retour.
En bref, les valeurs absolues nous aident à gérer des concepts comme la distance, les fourchettes de valeurs possibles, et l'écart par rapport à une valeur fixée.

Solution - Équations à valeur absolue

Explication étape par étape

1. Réécrire l'équation sans les barres de valeur absolue

2. Résoudre les deux équations pour y

3. Lister les solutions

4. Graphe

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