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Solution - Équations à valeur absolue

Forme exacte :

x = - \frac{15}{2}, \frac{21}{10}

x=-\frac{15}{2} , \frac{21}{10}

Forme de nombre mélangé :

x = - 7 \frac{1}{2}, 2 \frac{1}{10}

x=-7\frac{1}{2} , 2\frac{1}{10}

Forme décimale :

x = - 7, 5, 2, 1

x=-7,5 , 2,1

Voir les étapes

Explication étape par étape

1. Réécrire l'équation sans les barres de valeur absolue

Utilisez les règles:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ et $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
Pour écrire toutes les quatre options de l'équation
$| \frac{2}{3} x - 3 | = | x - \frac{1}{2} |$
Sans les barres de valeur absolue:

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{2}{3} x - 3 \| = \| x - \frac{1}{2} \|$
$x = + y$	$(\frac{2}{3} x - 3) = (x - \frac{1}{2})$
$x = - y$	$(\frac{2}{3} x - 3) = - (x - \frac{1}{2})$
$+ x = y$	$(\frac{2}{3} x - 3) = (x - \frac{1}{2})$
$- x = y$	$- (\frac{2}{3} x - 3) = (x - \frac{1}{2})$

Une fois simplifiées, les équations $x = + y$ et $+ x = y$ sont identiques, et les équations $x = - y$ et $- x = y$ sont également identiques, nous avons donc seulement 2 équations :

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{2}{3} x - 3 \| = \| x - \frac{1}{2} \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$(\frac{2}{3} x - 3) = (x - \frac{1}{2})$
$x = - y$ , $- x = y$	$(\frac{2}{3} x - 3) = - (x - \frac{1}{2})$

2. Résoudre les deux équations pour x

19 étapes supplémentaires

$(\frac{2}{3} x - 3) = (x + \frac{- 1}{2})$

Soustraire des deux côtés:

$(\frac{2}{3} x - 3) - x = (x + \frac{- 1}{2}) - x$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{2}{3} x - x) - 3 = (x + \frac{- 1}{2}) - x$

Coefficients du groupe:

$(\frac{2}{3} - 1) x - 3 = (x + \frac{- 1}{2}) - x$

Convertir un nombre entier en fraction:

$(\frac{2}{3} + \frac{- 3}{3}) x - 3 = (x + \frac{- 1}{2}) - x$

Combiner les fractions:

$\frac{(2 - 3)}{3} x - 3 = (x + \frac{- 1}{2}) - x$

Combiner les numérateurs:

$\frac{- 1}{3} x - 3 = (x + \frac{- 1}{2}) - x$

Collecter des termes semblables:

$\frac{- 1}{3} x - 3 = (x - x) + \frac{- 1}{2}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{- 1}{3} x - 3 = \frac{- 1}{2}$

Additionner des deux côtés:

$(\frac{- 1}{3} x - 3) + 3 = (\frac{- 1}{2}) + 3$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{- 1}{3} x = (\frac{- 1}{2}) + 3$

Convertir un nombre entier en fraction:

$\frac{- 1}{3} x = \frac{- 1}{2} + \frac{6}{2}$

Combiner les fractions:

$\frac{- 1}{3} x = \frac{(- 1 + 6)}{2}$

Combiner les numérateurs:

$\frac{- 1}{3} x = \frac{5}{2}$

Multiplier les deux côtés par la fraction inverse :

$(\frac{- 1}{3} x) \cdot \frac{3}{- 1} = (\frac{5}{2}) \cdot \frac{3}{- 1}$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{- 1}{3} \cdot - 3) x = (\frac{5}{2}) \cdot \frac{3}{- 1}$

Multiplier les coefficients:

$\frac{(- 1 \cdot - 3)}{3} x = (\frac{5}{2}) \cdot \frac{3}{- 1}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$1 x = (\frac{5}{2}) \cdot \frac{3}{- 1}$

$x = (\frac{5}{2}) \cdot \frac{3}{- 1}$

Multiplier les fractions:

$x = \frac{(5 \cdot - 3)}{2}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$x = \frac{- 15}{2}$

20 étapes supplémentaires

$(\frac{2}{3} x - 3) = - (x + \frac{- 1}{2})$

Développer les parenthèses:

$(\frac{2}{3} x - 3) = - x + \frac{1}{2}$

Additionner des deux côtés:

$(\frac{2}{3} x - 3) + x = (- x + \frac{1}{2}) + x$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{2}{3} x + x) - 3 = (- x + \frac{1}{2}) + x$

Coefficients du groupe:

$(\frac{2}{3} + 1) x - 3 = (- x + \frac{1}{2}) + x$

Convertir un nombre entier en fraction:

$(\frac{2}{3} + \frac{3}{3}) x - 3 = (- x + \frac{1}{2}) + x$

Combiner les fractions:

$\frac{(2 + 3)}{3} x - 3 = (- x + \frac{1}{2}) + x$

Combiner les numérateurs:

$\frac{5}{3} x - 3 = (- x + \frac{1}{2}) + x$

Collecter des termes semblables:

$\frac{5}{3} x - 3 = (- x + x) + \frac{1}{2}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{5}{3} x - 3 = \frac{1}{2}$

Additionner des deux côtés:

$(\frac{5}{3} x - 3) + 3 = (\frac{1}{2}) + 3$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{5}{3} x = (\frac{1}{2}) + 3$

Convertir un nombre entier en fraction:

$\frac{5}{3} x = \frac{1}{2} + \frac{6}{2}$

Combiner les fractions:

$\frac{5}{3} x = \frac{(1 + 6)}{2}$

Combiner les numérateurs:

$\frac{5}{3} x = \frac{7}{2}$

Multiplier les deux côtés par la fraction inverse :

$(\frac{5}{3} x) \cdot \frac{3}{5} = (\frac{7}{2}) \cdot \frac{3}{5}$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}) x = (\frac{7}{2}) \cdot \frac{3}{5}$

Multiplier les coefficients:

$\frac{(5 \cdot 3)}{(3 \cdot 5)} x = (\frac{7}{2}) \cdot \frac{3}{5}$

Simplifier la fraction:

$x = (\frac{7}{2}) \cdot \frac{3}{5}$

Multiplier les fractions:

$x = \frac{(7 \cdot 3)}{(2 \cdot 5)}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$x = \frac{21}{(2 \cdot 5)}$

$x = \frac{21}{10}$

3. Lister les solutions

$x = - \frac{15}{2}, \frac{21}{10}$
(2 solution(s))

4. Graphe

Chaque ligne représente la fonction d'un côté de l'équation:
$y = | \frac{2}{3} x - 3 |$
$y = | x - \frac{1}{2} |$
L'équation est vraie là où les deux lignes se croisent.

Comment nous en sommes-nous sortis ?

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Pourquoi apprendre cela

Nous rencontrons presque quotidiennement des valeurs absolues. Par exemple : si vous marchez 3 miles pour aller à l'école, marchez-vous aussi 3 miles en sens inverse lorsque vous rentrez à la maison ? La réponse est non car les distances utilisent une valeur absolue. La valeur absolue de la distance entre la maison et l'école est de 3 miles, que ce soit pour l'aller ou le retour.
En bref, les valeurs absolues nous aident à gérer des concepts comme la distance, les fourchettes de valeurs possibles, et l'écart par rapport à une valeur fixée.

Solution - Équations à valeur absolue

Explication étape par étape

1. Réécrire l'équation sans les barres de valeur absolue

2. Résoudre les deux équations pour x

3. Lister les solutions

4. Graphe

Pourquoi apprendre cela

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