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Solution - Équations à valeur absolue

Forme exacte :

x = 45, - \frac{105}{11}

x=45 , -\frac{105}{11}

Forme de nombre mélangé :

x = 45, - 9 \frac{6}{11}

x=45 , -9\frac{6}{11}

Forme décimale :

x = 45, - 9545

x=45 , -9 545

Voir les étapes

Explication étape par étape

1. Réécrire l'équation sans les barres de valeur absolue

Utilisez les règles:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ et $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
Pour écrire toutes les quatre options de l'équation
$| \frac{1}{3} x + 5 | = | \frac{2}{5} x + 2 |$
Sans les barres de valeur absolue:

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{1}{3} x + 5 \| = \| \frac{2}{5} x + 2 \|$
$x = + y$	$(\frac{1}{3} x + 5) = (\frac{2}{5} x + 2)$
$x = - y$	$(\frac{1}{3} x + 5) = - (\frac{2}{5} x + 2)$
$+ x = y$	$(\frac{1}{3} x + 5) = (\frac{2}{5} x + 2)$
$- x = y$	$- (\frac{1}{3} x + 5) = (\frac{2}{5} x + 2)$

Une fois simplifiées, les équations $x = + y$ et $+ x = y$ sont identiques, et les équations $x = - y$ et $- x = y$ sont également identiques, nous avons donc seulement 2 équations :

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{1}{3} x + 5 \| = \| \frac{2}{5} x + 2 \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$(\frac{1}{3} x + 5) = (\frac{2}{5} x + 2)$
$x = - y$ , $- x = y$	$(\frac{1}{3} x + 5) = - (\frac{2}{5} x + 2)$

2. Résoudre les deux équations pour x

21 étapes supplémentaires

$(\frac{1}{3} \cdot x + 5) = (\frac{2}{5} x + 2)$

Soustraire des deux côtés:

$(\frac{1}{3} x + 5) - \frac{2}{5} \cdot x = (\frac{2}{5} x + 2) - \frac{2}{5} x$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{1}{3} \cdot x + \frac{- 2}{5} \cdot x) + 5 = (\frac{2}{5} \cdot x + 2) - \frac{2}{5} x$

Coefficients du groupe:

$(\frac{1}{3} + \frac{- 2}{5}) x + 5 = (\frac{2}{5} \cdot x + 2) - \frac{2}{5} x$

Trouver le plus petit dénominateur commun:

$(\frac{(1 \cdot 5)}{(3 \cdot 5)} + \frac{(- 2 \cdot 3)}{(5 \cdot 3)}) x + 5 = (\frac{2}{5} \cdot x + 2) - \frac{2}{5} x$

Multiplier les dénominateurs:

$(\frac{(1 \cdot 5)}{15} + \frac{(- 2 \cdot 3)}{15}) x + 5 = (\frac{2}{5} \cdot x + 2) - \frac{2}{5} x$

Multiplier les numérateurs:

$(\frac{5}{15} + \frac{- 6}{15}) x + 5 = (\frac{2}{5} \cdot x + 2) - \frac{2}{5} x$

Combiner les fractions:

$\frac{(5 - 6)}{15} \cdot x + 5 = (\frac{2}{5} \cdot x + 2) - \frac{2}{5} x$

Combiner les numérateurs:

$\frac{- 1}{15} \cdot x + 5 = (\frac{2}{5} \cdot x + 2) - \frac{2}{5} x$

Collecter des termes semblables:

$\frac{- 1}{15} \cdot x + 5 = (\frac{2}{5} \cdot x + \frac{- 2}{5} x) + 2$

Combiner les fractions:

$\frac{- 1}{15} \cdot x + 5 = \frac{(2 - 2)}{5} x + 2$

Combiner les numérateurs:

$\frac{- 1}{15} \cdot x + 5 = \frac{0}{5} x + 2$

Réduire le numérateur zéro:

$\frac{- 1}{15} x + 5 = 0 x + 2$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{- 1}{15} x + 5 = 2$

Soustraire des deux côtés:

$(\frac{- 1}{15} x + 5) - 5 = 2 - 5$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{- 1}{15} x = 2 - 5$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{- 1}{15} x = - 3$

Multiplier les deux côtés par la fraction inverse :

$(\frac{- 1}{15} x) \cdot \frac{15}{- 1} = - 3 \cdot \frac{15}{- 1}$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{- 1}{15} \cdot - 15) x = - 3 \cdot \frac{15}{- 1}$

Multiplier les coefficients:

$\frac{(- 1 \cdot - 15)}{15} x = - 3 \cdot \frac{15}{- 1}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$1 x = - 3 \cdot \frac{15}{- 1}$

$x = - 3 \cdot \frac{15}{- 1}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$x = 45$

22 étapes supplémentaires

$(\frac{1}{3} x + 5) = - (\frac{2}{5} x + 2)$

Développer les parenthèses:

$(\frac{1}{3} \cdot x + 5) = \frac{- 2}{5} x - 2$

Additionner des deux côtés:

$(\frac{1}{3} x + 5) + \frac{2}{5} \cdot x = (\frac{- 2}{5} x - 2) + \frac{2}{5} x$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{1}{3} \cdot x + \frac{2}{5} \cdot x) + 5 = (\frac{- 2}{5} \cdot x - 2) + \frac{2}{5} x$

Coefficients du groupe:

$(\frac{1}{3} + \frac{2}{5}) x + 5 = (\frac{- 2}{5} \cdot x - 2) + \frac{2}{5} x$

Trouver le plus petit dénominateur commun:

$(\frac{(1 \cdot 5)}{(3 \cdot 5)} + \frac{(2 \cdot 3)}{(5 \cdot 3)}) x + 5 = (\frac{- 2}{5} \cdot x - 2) + \frac{2}{5} x$

Multiplier les dénominateurs:

$(\frac{(1 \cdot 5)}{15} + \frac{(2 \cdot 3)}{15}) x + 5 = (\frac{- 2}{5} \cdot x - 2) + \frac{2}{5} x$

Multiplier les numérateurs:

$(\frac{5}{15} + \frac{6}{15}) x + 5 = (\frac{- 2}{5} \cdot x - 2) + \frac{2}{5} x$

Combiner les fractions:

$\frac{(5 + 6)}{15} \cdot x + 5 = (\frac{- 2}{5} \cdot x - 2) + \frac{2}{5} x$

Combiner les numérateurs:

$\frac{11}{15} \cdot x + 5 = (\frac{- 2}{5} \cdot x - 2) + \frac{2}{5} x$

Collecter des termes semblables:

$\frac{11}{15} \cdot x + 5 = (\frac{- 2}{5} \cdot x + \frac{2}{5} x) - 2$

Combiner les fractions:

$\frac{11}{15} \cdot x + 5 = \frac{(- 2 + 2)}{5} x - 2$

Combiner les numérateurs:

$\frac{11}{15} \cdot x + 5 = \frac{0}{5} x - 2$

Réduire le numérateur zéro:

$\frac{11}{15} x + 5 = 0 x - 2$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{11}{15} x + 5 = - 2$

Soustraire des deux côtés:

$(\frac{11}{15} x + 5) - 5 = - 2 - 5$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{11}{15} x = - 2 - 5$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{11}{15} x = - 7$

Multiplier les deux côtés par la fraction inverse :

$(\frac{11}{15} x) \cdot \frac{15}{11} = - 7 \cdot \frac{15}{11}$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{11}{15} \cdot \frac{15}{11}) x = - 7 \cdot \frac{15}{11}$

Multiplier les coefficients:

$\frac{(11 \cdot 15)}{(15 \cdot 11)} x = - 7 \cdot \frac{15}{11}$

Simplifier la fraction:

$x = - 7 \cdot \frac{15}{11}$

Multiplier les fractions:

$x = \frac{(- 7 \cdot 15)}{11}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$x = \frac{- 105}{11}$

3. Lister les solutions

$x = 45, - \frac{105}{11}$
(2 solution(s))

4. Graphe

Chaque ligne représente la fonction d'un côté de l'équation:
$y = | \frac{1}{3} x + 5 |$
$y = | \frac{2}{5} x + 2 |$
L'équation est vraie là où les deux lignes se croisent.

Comment nous en sommes-nous sortis ?

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Pourquoi apprendre cela

Nous rencontrons presque quotidiennement des valeurs absolues. Par exemple : si vous marchez 3 miles pour aller à l'école, marchez-vous aussi 3 miles en sens inverse lorsque vous rentrez à la maison ? La réponse est non car les distances utilisent une valeur absolue. La valeur absolue de la distance entre la maison et l'école est de 3 miles, que ce soit pour l'aller ou le retour.
En bref, les valeurs absolues nous aident à gérer des concepts comme la distance, les fourchettes de valeurs possibles, et l'écart par rapport à une valeur fixée.

Solution - Équations à valeur absolue

Explication étape par étape

1. Réécrire l'équation sans les barres de valeur absolue

2. Résoudre les deux équations pour x

3. Lister les solutions

4. Graphe

Pourquoi apprendre cela

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