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Solution - Équations à valeur absolue

Forme exacte :

z = - \frac{12}{7}, - \frac{96}{13}

z=-\frac{12}{7} , -\frac{96}{13}

Forme de nombre mélangé :

z = - 1 \frac{5}{7}, - 7 \frac{5}{13}

z=-1\frac{5}{7} , -7\frac{5}{13}

Forme décimale :

z = - 1, 714, - 7, 385

z=-1,714 , -7,385

Voir les étapes

Explication étape par étape

1. Réécrire l'équation sans les barres de valeur absolue

Utilisez les règles:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ et $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
Pour écrire toutes les quatre options de l'équation
$| \frac{1}{2} z + 7 | = | \frac{5}{3} z + 9 |$
Sans les barres de valeur absolue:

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{1}{2} z + 7 \| = \| \frac{5}{3} z + 9 \|$
$x = + y$	$(\frac{1}{2} z + 7) = (\frac{5}{3} z + 9)$
$x = - y$	$(\frac{1}{2} z + 7) = - (\frac{5}{3} z + 9)$
$+ x = y$	$(\frac{1}{2} z + 7) = (\frac{5}{3} z + 9)$
$- x = y$	$- (\frac{1}{2} z + 7) = (\frac{5}{3} z + 9)$

Une fois simplifiées, les équations $x = + y$ et $+ x = y$ sont identiques, et les équations $x = - y$ et $- x = y$ sont également identiques, nous avons donc seulement 2 équations :

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{1}{2} z + 7 \| = \| \frac{5}{3} z + 9 \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$(\frac{1}{2} z + 7) = (\frac{5}{3} z + 9)$
$x = - y$ , $- x = y$	$(\frac{1}{2} z + 7) = - (\frac{5}{3} z + 9)$

2. Résoudre les deux équations pour z

24 étapes supplémentaires

$(\frac{1}{2} \cdot z + 7) = (\frac{5}{3} z + 9)$

Soustraire des deux côtés:

$(\frac{1}{2} z + 7) - \frac{5}{3} \cdot z = (\frac{5}{3} z + 9) - \frac{5}{3} z$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{1}{2} \cdot z + \frac{- 5}{3} \cdot z) + 7 = (\frac{5}{3} \cdot z + 9) - \frac{5}{3} z$

Coefficients du groupe:

$(\frac{1}{2} + \frac{- 5}{3}) z + 7 = (\frac{5}{3} \cdot z + 9) - \frac{5}{3} z$

Trouver le plus petit dénominateur commun:

$(\frac{(1 \cdot 3)}{(2 \cdot 3)} + \frac{(- 5 \cdot 2)}{(3 \cdot 2)}) z + 7 = (\frac{5}{3} \cdot z + 9) - \frac{5}{3} z$

Multiplier les dénominateurs:

$(\frac{(1 \cdot 3)}{6} + \frac{(- 5 \cdot 2)}{6}) z + 7 = (\frac{5}{3} \cdot z + 9) - \frac{5}{3} z$

Multiplier les numérateurs:

$(\frac{3}{6} + \frac{- 10}{6}) z + 7 = (\frac{5}{3} \cdot z + 9) - \frac{5}{3} z$

Combiner les fractions:

$\frac{(3 - 10)}{6} \cdot z + 7 = (\frac{5}{3} \cdot z + 9) - \frac{5}{3} z$

Combiner les numérateurs:

$\frac{- 7}{6} \cdot z + 7 = (\frac{5}{3} \cdot z + 9) - \frac{5}{3} z$

Collecter des termes semblables:

$\frac{- 7}{6} \cdot z + 7 = (\frac{5}{3} \cdot z + \frac{- 5}{3} z) + 9$

Combiner les fractions:

$\frac{- 7}{6} \cdot z + 7 = \frac{(5 - 5)}{3} z + 9$

Combiner les numérateurs:

$\frac{- 7}{6} \cdot z + 7 = \frac{0}{3} z + 9$

Réduire le numérateur zéro:

$\frac{- 7}{6} z + 7 = 0 z + 9$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{- 7}{6} z + 7 = 9$

Soustraire des deux côtés:

$(\frac{- 7}{6} z + 7) - 7 = 9 - 7$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{- 7}{6} z = 9 - 7$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{- 7}{6} z = 2$

Multiplier les deux côtés par la fraction inverse :

$(\frac{- 7}{6} z) \cdot \frac{6}{- 7} = 2 \cdot \frac{6}{- 7}$

Déplacer le signe négatif du dénominateur vers le numérateur:

$\frac{- 7}{6} z \cdot \frac{- 6}{7} = 2 \cdot \frac{6}{- 7}$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{- 7}{6} \cdot \frac{- 6}{7}) z = 2 \cdot \frac{6}{- 7}$

Multiplier les coefficients:

$\frac{(- 7 \cdot - 6)}{(6 \cdot 7)} z = 2 \cdot \frac{6}{- 7}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$1 z = 2 \cdot \frac{6}{- 7}$

$z = 2 \cdot \frac{6}{- 7}$

Déplacer le signe négatif du dénominateur vers le numérateur:

$z = 2 \cdot \frac{- 6}{7}$

Multiplier les fractions:

$z = \frac{(2 \cdot - 6)}{7}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$z = \frac{- 12}{7}$

22 étapes supplémentaires

$(\frac{1}{2} z + 7) = - (\frac{5}{3} z + 9)$

Développer les parenthèses:

$(\frac{1}{2} \cdot z + 7) = \frac{- 5}{3} z - 9$

Additionner des deux côtés:

$(\frac{1}{2} z + 7) + \frac{5}{3} \cdot z = (\frac{- 5}{3} z - 9) + \frac{5}{3} z$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{1}{2} \cdot z + \frac{5}{3} \cdot z) + 7 = (\frac{- 5}{3} \cdot z - 9) + \frac{5}{3} z$

Coefficients du groupe:

$(\frac{1}{2} + \frac{5}{3}) z + 7 = (\frac{- 5}{3} \cdot z - 9) + \frac{5}{3} z$

Trouver le plus petit dénominateur commun:

$(\frac{(1 \cdot 3)}{(2 \cdot 3)} + \frac{(5 \cdot 2)}{(3 \cdot 2)}) z + 7 = (\frac{- 5}{3} \cdot z - 9) + \frac{5}{3} z$

Multiplier les dénominateurs:

$(\frac{(1 \cdot 3)}{6} + \frac{(5 \cdot 2)}{6}) z + 7 = (\frac{- 5}{3} \cdot z - 9) + \frac{5}{3} z$

Multiplier les numérateurs:

$(\frac{3}{6} + \frac{10}{6}) z + 7 = (\frac{- 5}{3} \cdot z - 9) + \frac{5}{3} z$

Combiner les fractions:

$\frac{(3 + 10)}{6} \cdot z + 7 = (\frac{- 5}{3} \cdot z - 9) + \frac{5}{3} z$

Combiner les numérateurs:

$\frac{13}{6} \cdot z + 7 = (\frac{- 5}{3} \cdot z - 9) + \frac{5}{3} z$

Collecter des termes semblables:

$\frac{13}{6} \cdot z + 7 = (\frac{- 5}{3} \cdot z + \frac{5}{3} z) - 9$

Combiner les fractions:

$\frac{13}{6} \cdot z + 7 = \frac{(- 5 + 5)}{3} z - 9$

Combiner les numérateurs:

$\frac{13}{6} \cdot z + 7 = \frac{0}{3} z - 9$

Réduire le numérateur zéro:

$\frac{13}{6} z + 7 = 0 z - 9$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{13}{6} z + 7 = - 9$

Soustraire des deux côtés:

$(\frac{13}{6} z + 7) - 7 = - 9 - 7$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{13}{6} z = - 9 - 7$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{13}{6} z = - 16$

Multiplier les deux côtés par la fraction inverse :

$(\frac{13}{6} z) \cdot \frac{6}{13} = - 16 \cdot \frac{6}{13}$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{13}{6} \cdot \frac{6}{13}) z = - 16 \cdot \frac{6}{13}$

Multiplier les coefficients:

$\frac{(13 \cdot 6)}{(6 \cdot 13)} z = - 16 \cdot \frac{6}{13}$

Simplifier la fraction:

$z = - 16 \cdot \frac{6}{13}$

Multiplier les fractions:

$z = \frac{(- 16 \cdot 6)}{13}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$z = \frac{- 96}{13}$

3. Lister les solutions

$z = - \frac{12}{7}, - \frac{96}{13}$
(2 solution(s))

4. Graphe

Chaque ligne représente la fonction d'un côté de l'équation:
$y = | \frac{1}{2} z + 7 |$
$y = | \frac{5}{3} z + 9 |$
L'équation est vraie là où les deux lignes se croisent.

Comment nous en sommes-nous sortis ?

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Pourquoi apprendre cela

Nous rencontrons presque quotidiennement des valeurs absolues. Par exemple : si vous marchez 3 miles pour aller à l'école, marchez-vous aussi 3 miles en sens inverse lorsque vous rentrez à la maison ? La réponse est non car les distances utilisent une valeur absolue. La valeur absolue de la distance entre la maison et l'école est de 3 miles, que ce soit pour l'aller ou le retour.
En bref, les valeurs absolues nous aident à gérer des concepts comme la distance, les fourchettes de valeurs possibles, et l'écart par rapport à une valeur fixée.

Solution - Équations à valeur absolue

Explication étape par étape

1. Réécrire l'équation sans les barres de valeur absolue

2. Résoudre les deux équations pour z

3. Lister les solutions

4. Graphe

Pourquoi apprendre cela

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