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Solution - Équations à valeur absolue

Forme exacte :

z = \frac{20}{7}, \frac{4}{9}

z=\frac{20}{7} , \frac{4}{9}

Forme de nombre mélangé :

z = 2 \frac{6}{7}, \frac{4}{9}

z=2\frac{6}{7} , \frac{4}{9}

Forme décimale :

z = 2, 857, 0, 444

z=2,857 , 0,444

Voir les étapes

Explication étape par étape

1. Réécrire l'équation avec un terme de valeur absolue de chaque côté

$| \frac{1}{2} z + 4 | - | 4 z - 6 | = 0$

Additionner $| 4 z - 6 |$ des deux côtés de l’équation.

$| \frac{1}{2} z + 4 | - | 4 z - 6 | + | 4 z - 6 | = | 4 z - 6 |$

Simplifier l’expression arithmétique

$| \frac{1}{2} z + 4 | = | 4 z - 6 |$

2. Réécrire l'équation sans les barres de valeur absolue

Utilisez les règles:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ et $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
Pour écrire toutes les quatre options de l'équation
$| \frac{1}{2} z + 4 | = | 4 z - 6 |$
Sans les barres de valeur absolue:

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{1}{2} z + 4 \| = \| 4 z - 6 \|$
$x = + y$	$(\frac{1}{2} z + 4) = (4 z - 6)$
$x = - y$	$(\frac{1}{2} z + 4) = (- (4 z - 6))$
$+ x = y$	$(\frac{1}{2} z + 4) = (4 z - 6)$
$- x = y$	$- (\frac{1}{2} z + 4) = (4 z - 6)$

Une fois simplifiées, les équations $x = + y$ et $+ x = y$ sont identiques, et les équations $x = - y$ et $- x = y$ sont également identiques, nous avons donc seulement 2 équations :

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{1}{2} z + 4 \| = \| 4 z - 6 \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$(\frac{1}{2} z + 4) = (4 z - 6)$
$x = - y$ , $- x = y$	$(\frac{1}{2} z + 4) = (- (4 z - 6))$

3. Résoudre les deux équations pour z

19 étapes supplémentaires

$(\frac{1}{2} z + 4) = (4 z - 6)$

Soustraire des deux côtés:

$(\frac{1}{2} z + 4) - 4 z = (4 z - 6) - 4 z$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{1}{2} z - 4 z) + 4 = (4 z - 6) - 4 z$

Coefficients du groupe:

$(\frac{1}{2} - 4) z + 4 = (4 z - 6) - 4 z$

Convertir un nombre entier en fraction:

$(\frac{1}{2} + \frac{- 8}{2}) z + 4 = (4 z - 6) - 4 z$

Combiner les fractions:

$\frac{(1 - 8)}{2} z + 4 = (4 z - 6) - 4 z$

Combiner les numérateurs:

$\frac{- 7}{2} z + 4 = (4 z - 6) - 4 z$

Collecter des termes semblables:

$\frac{- 7}{2} z + 4 = (4 z - 4 z) - 6$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{- 7}{2} z + 4 = - 6$

Soustraire des deux côtés:

$(\frac{- 7}{2} z + 4) - 4 = - 6 - 4$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{- 7}{2} z = - 6 - 4$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{- 7}{2} z = - 10$

Multiplier les deux côtés par la fraction inverse :

$(\frac{- 7}{2} z) \cdot \frac{2}{- 7} = - 10 \cdot \frac{2}{- 7}$

Déplacer le signe négatif du dénominateur vers le numérateur:

$\frac{- 7}{2} z \cdot \frac{- 2}{7} = - 10 \cdot \frac{2}{- 7}$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{- 7}{2} \cdot \frac{- 2}{7}) z = - 10 \cdot \frac{2}{- 7}$

Multiplier les coefficients:

$\frac{(- 7 \cdot - 2)}{(2 \cdot 7)} z = - 10 \cdot \frac{2}{- 7}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$1 z = - 10 \cdot \frac{2}{- 7}$

$z = - 10 \cdot \frac{2}{- 7}$

Déplacer le signe négatif du dénominateur vers le numérateur:

$z = - 10 \cdot \frac{- 2}{7}$

Multiplier les fractions:

$z = \frac{(- 10 \cdot - 2)}{7}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$z = \frac{20}{7}$

17 étapes supplémentaires

$(\frac{1}{2} z + 4) = - (4 z - 6)$

Développer les parenthèses:

$(\frac{1}{2} z + 4) = - 4 z + 6$

Additionner des deux côtés:

$(\frac{1}{2} z + 4) + 4 z = (- 4 z + 6) + 4 z$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{1}{2} z + 4 z) + 4 = (- 4 z + 6) + 4 z$

Coefficients du groupe:

$(\frac{1}{2} + 4) z + 4 = (- 4 z + 6) + 4 z$

Convertir un nombre entier en fraction:

$(\frac{1}{2} + \frac{8}{2}) z + 4 = (- 4 z + 6) + 4 z$

Combiner les fractions:

$\frac{(1 + 8)}{2} z + 4 = (- 4 z + 6) + 4 z$

Combiner les numérateurs:

$\frac{9}{2} z + 4 = (- 4 z + 6) + 4 z$

Collecter des termes semblables:

$\frac{9}{2} z + 4 = (- 4 z + 4 z) + 6$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{9}{2} z + 4 = 6$

Soustraire des deux côtés:

$(\frac{9}{2} z + 4) - 4 = 6 - 4$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{9}{2} z = 6 - 4$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{9}{2} z = 2$

Multiplier les deux côtés par la fraction inverse :

$(\frac{9}{2} z) \cdot \frac{2}{9} = 2 \cdot \frac{2}{9}$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{9}{2} \cdot \frac{2}{9}) z = 2 \cdot \frac{2}{9}$

Multiplier les coefficients:

$\frac{(9 \cdot 2)}{(2 \cdot 9)} z = 2 \cdot \frac{2}{9}$

Simplifier la fraction:

$z = 2 \cdot \frac{2}{9}$

Multiplier les fractions:

$z = \frac{(2 \cdot 2)}{9}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$z = \frac{4}{9}$

4. Lister les solutions

$z = \frac{20}{7}, \frac{4}{9}$
(2 solution(s))

5. Graphe

Chaque ligne représente la fonction d'un côté de l'équation:
$y = | \frac{1}{2} z + 4 |$
$y = | 4 z - 6 |$
L'équation est vraie là où les deux lignes se croisent.

Comment nous en sommes-nous sortis ?

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Pourquoi apprendre cela

Nous rencontrons presque quotidiennement des valeurs absolues. Par exemple : si vous marchez 3 miles pour aller à l'école, marchez-vous aussi 3 miles en sens inverse lorsque vous rentrez à la maison ? La réponse est non car les distances utilisent une valeur absolue. La valeur absolue de la distance entre la maison et l'école est de 3 miles, que ce soit pour l'aller ou le retour.
En bref, les valeurs absolues nous aident à gérer des concepts comme la distance, les fourchettes de valeurs possibles, et l'écart par rapport à une valeur fixée.

Solution - Équations à valeur absolue

Explication étape par étape

1. Réécrire l'équation avec un terme de valeur absolue de chaque côté

2. Réécrire l'équation sans les barres de valeur absolue

3. Résoudre les deux équations pour z

4. Lister les solutions

5. Graphe

Pourquoi apprendre cela

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