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Solution - Équations à valeur absolue

Forme exacte :

y = 150, - \frac{10}{9}

y=150 , -\frac{10}{9}

Forme de nombre mélangé :

y = 150, - 1 \frac{1}{9}

y=150 , -1\frac{1}{9}

Forme décimale :

y = 150, - 1111

y=150 , -1 111

Voir les étapes

Explication étape par étape

1. Réécrire l'équation sans les barres de valeur absolue

Utilisez les règles:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ et $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
Pour écrire toutes les quatre options de l'équation
$| \frac{1}{2} y - 7 | = | \frac{2}{5} y + 8 |$
Sans les barres de valeur absolue:

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{1}{2} y - 7 \| = \| \frac{2}{5} y + 8 \|$
$x = + y$	$(\frac{1}{2} y - 7) = (\frac{2}{5} y + 8)$
$x = - y$	$(\frac{1}{2} y - 7) = - (\frac{2}{5} y + 8)$
$+ x = y$	$(\frac{1}{2} y - 7) = (\frac{2}{5} y + 8)$
$- x = y$	$- (\frac{1}{2} y - 7) = (\frac{2}{5} y + 8)$

Une fois simplifiées, les équations $x = + y$ et $+ x = y$ sont identiques, et les équations $x = - y$ et $- x = y$ sont également identiques, nous avons donc seulement 2 équations :

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{1}{2} y - 7 \| = \| \frac{2}{5} y + 8 \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$(\frac{1}{2} y - 7) = (\frac{2}{5} y + 8)$
$x = - y$ , $- x = y$	$(\frac{1}{2} y - 7) = - (\frac{2}{5} y + 8)$

2. Résoudre les deux équations pour y

20 étapes supplémentaires

$(\frac{1}{2} \cdot y - 7) = (\frac{2}{5} y + 8)$

Soustraire des deux côtés:

$(\frac{1}{2} y - 7) - \frac{2}{5} \cdot y = (\frac{2}{5} y + 8) - \frac{2}{5} y$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{1}{2} \cdot y + \frac{- 2}{5} \cdot y) - 7 = (\frac{2}{5} \cdot y + 8) - \frac{2}{5} y$

Coefficients du groupe:

$(\frac{1}{2} + \frac{- 2}{5}) y - 7 = (\frac{2}{5} \cdot y + 8) - \frac{2}{5} y$

Trouver le plus petit dénominateur commun:

$(\frac{(1 \cdot 5)}{(2 \cdot 5)} + \frac{(- 2 \cdot 2)}{(5 \cdot 2)}) y - 7 = (\frac{2}{5} \cdot y + 8) - \frac{2}{5} y$

Multiplier les dénominateurs:

$(\frac{(1 \cdot 5)}{10} + \frac{(- 2 \cdot 2)}{10}) y - 7 = (\frac{2}{5} \cdot y + 8) - \frac{2}{5} y$

Multiplier les numérateurs:

$(\frac{5}{10} + \frac{- 4}{10}) y - 7 = (\frac{2}{5} \cdot y + 8) - \frac{2}{5} y$

Combiner les fractions:

$\frac{(5 - 4)}{10} \cdot y - 7 = (\frac{2}{5} \cdot y + 8) - \frac{2}{5} y$

Combiner les numérateurs:

$\frac{1}{10} \cdot y - 7 = (\frac{2}{5} \cdot y + 8) - \frac{2}{5} y$

Collecter des termes semblables:

$\frac{1}{10} \cdot y - 7 = (\frac{2}{5} \cdot y + \frac{- 2}{5} y) + 8$

Combiner les fractions:

$\frac{1}{10} \cdot y - 7 = \frac{(2 - 2)}{5} y + 8$

Combiner les numérateurs:

$\frac{1}{10} \cdot y - 7 = \frac{0}{5} y + 8$

Réduire le numérateur zéro:

$\frac{1}{10} y - 7 = 0 y + 8$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{1}{10} y - 7 = 8$

Additionner des deux côtés:

$(\frac{1}{10} y - 7) + 7 = 8 + 7$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{1}{10} y = 8 + 7$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{1}{10} y = 15$

Multiplier les deux côtés par la fraction inverse :

$(\frac{1}{10} y) \cdot \frac{10}{1} = 15 \cdot \frac{10}{1}$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{1}{10} \cdot 10) y = 15 \cdot \frac{10}{1}$

Multiplier les coefficients:

$\frac{(1 \cdot 10)}{10} y = 15 \cdot \frac{10}{1}$

Simplifier la fraction:

$y = 15 \cdot \frac{10}{1}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$y = 150$

21 étapes supplémentaires

$(\frac{1}{2} y - 7) = - (\frac{2}{5} y + 8)$

Développer les parenthèses:

$(\frac{1}{2} \cdot y - 7) = \frac{- 2}{5} y - 8$

Additionner des deux côtés:

$(\frac{1}{2} y - 7) + \frac{2}{5} \cdot y = (\frac{- 2}{5} y - 8) + \frac{2}{5} y$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{1}{2} \cdot y + \frac{2}{5} \cdot y) - 7 = (\frac{- 2}{5} \cdot y - 8) + \frac{2}{5} y$

Coefficients du groupe:

$(\frac{1}{2} + \frac{2}{5}) y - 7 = (\frac{- 2}{5} \cdot y - 8) + \frac{2}{5} y$

Trouver le plus petit dénominateur commun:

$(\frac{(1 \cdot 5)}{(2 \cdot 5)} + \frac{(2 \cdot 2)}{(5 \cdot 2)}) y - 7 = (\frac{- 2}{5} \cdot y - 8) + \frac{2}{5} y$

Multiplier les dénominateurs:

$(\frac{(1 \cdot 5)}{10} + \frac{(2 \cdot 2)}{10}) y - 7 = (\frac{- 2}{5} \cdot y - 8) + \frac{2}{5} y$

Multiplier les numérateurs:

$(\frac{5}{10} + \frac{4}{10}) y - 7 = (\frac{- 2}{5} \cdot y - 8) + \frac{2}{5} y$

Combiner les fractions:

$\frac{(5 + 4)}{10} \cdot y - 7 = (\frac{- 2}{5} \cdot y - 8) + \frac{2}{5} y$

Combiner les numérateurs:

$\frac{9}{10} \cdot y - 7 = (\frac{- 2}{5} \cdot y - 8) + \frac{2}{5} y$

Collecter des termes semblables:

$\frac{9}{10} \cdot y - 7 = (\frac{- 2}{5} \cdot y + \frac{2}{5} y) - 8$

Combiner les fractions:

$\frac{9}{10} \cdot y - 7 = \frac{(- 2 + 2)}{5} y - 8$

Combiner les numérateurs:

$\frac{9}{10} \cdot y - 7 = \frac{0}{5} y - 8$

Réduire le numérateur zéro:

$\frac{9}{10} y - 7 = 0 y - 8$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{9}{10} y - 7 = - 8$

Additionner des deux côtés:

$(\frac{9}{10} y - 7) + 7 = - 8 + 7$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{9}{10} y = - 8 + 7$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{9}{10} y = - 1$

Multiplier les deux côtés par la fraction inverse :

$(\frac{9}{10} y) \cdot \frac{10}{9} = - 1 \cdot \frac{10}{9}$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{9}{10} \cdot \frac{10}{9}) y = - 1 \cdot \frac{10}{9}$

Multiplier les coefficients:

$\frac{(9 \cdot 10)}{(10 \cdot 9)} y = - 1 \cdot \frac{10}{9}$

Simplifier la fraction:

$y = - 1 \cdot \frac{10}{9}$

Supprimer le(s) un(s):

$y = \frac{- 10}{9}$

3. Lister les solutions

$y = 150, - \frac{10}{9}$
(2 solution(s))

4. Graphe

Chaque ligne représente la fonction d'un côté de l'équation:
$y = | \frac{1}{2} y - 7 |$
$y = | \frac{2}{5} y + 8 |$
L'équation est vraie là où les deux lignes se croisent.

Comment nous en sommes-nous sortis ?

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Pourquoi apprendre cela

Nous rencontrons presque quotidiennement des valeurs absolues. Par exemple : si vous marchez 3 miles pour aller à l'école, marchez-vous aussi 3 miles en sens inverse lorsque vous rentrez à la maison ? La réponse est non car les distances utilisent une valeur absolue. La valeur absolue de la distance entre la maison et l'école est de 3 miles, que ce soit pour l'aller ou le retour.
En bref, les valeurs absolues nous aident à gérer des concepts comme la distance, les fourchettes de valeurs possibles, et l'écart par rapport à une valeur fixée.

Solution - Équations à valeur absolue

Explication étape par étape

1. Réécrire l'équation sans les barres de valeur absolue

2. Résoudre les deux équations pour y

3. Lister les solutions

4. Graphe

Pourquoi apprendre cela

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