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Solution - Équations à valeur absolue

Forme exacte :

y = - 20, - \frac{100}{7}

y=-20 , -\frac{100}{7}

Forme de nombre mélangé :

y = - 20, - 14 \frac{2}{7}

y=-20 , -14\frac{2}{7}

Forme décimale :

y = - 20, - 14286

y=-20 , -14 286

Voir les étapes

Explication étape par étape

1. Réécrire l'équation sans les barres de valeur absolue

Utilisez les règles:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ et $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
Pour écrire toutes les quatre options de l'équation
$| \frac{1}{2} y + 8 | = | \frac{1}{5} y + 2 |$
Sans les barres de valeur absolue:

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{1}{2} y + 8 \| = \| \frac{1}{5} y + 2 \|$
$x = + y$	$(\frac{1}{2} y + 8) = (\frac{1}{5} y + 2)$
$x = - y$	$(\frac{1}{2} y + 8) = - (\frac{1}{5} y + 2)$
$+ x = y$	$(\frac{1}{2} y + 8) = (\frac{1}{5} y + 2)$
$- x = y$	$- (\frac{1}{2} y + 8) = (\frac{1}{5} y + 2)$

Une fois simplifiées, les équations $x = + y$ et $+ x = y$ sont identiques, et les équations $x = - y$ et $- x = y$ sont également identiques, nous avons donc seulement 2 équations :

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{1}{2} y + 8 \| = \| \frac{1}{5} y + 2 \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$(\frac{1}{2} y + 8) = (\frac{1}{5} y + 2)$
$x = - y$ , $- x = y$	$(\frac{1}{2} y + 8) = - (\frac{1}{5} y + 2)$

2. Résoudre les deux équations pour y

21 étapes supplémentaires

$(\frac{1}{2} \cdot y + 8) = (\frac{1}{5} y + 2)$

Soustraire des deux côtés:

$(\frac{1}{2} y + 8) - \frac{1}{5} \cdot y = (\frac{1}{5} y + 2) - \frac{1}{5} y$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{1}{2} \cdot y + \frac{- 1}{5} \cdot y) + 8 = (\frac{1}{5} \cdot y + 2) - \frac{1}{5} y$

Coefficients du groupe:

$(\frac{1}{2} + \frac{- 1}{5}) y + 8 = (\frac{1}{5} \cdot y + 2) - \frac{1}{5} y$

Trouver le plus petit dénominateur commun:

$(\frac{(1 \cdot 5)}{(2 \cdot 5)} + \frac{(- 1 \cdot 2)}{(5 \cdot 2)}) y + 8 = (\frac{1}{5} \cdot y + 2) - \frac{1}{5} y$

Multiplier les dénominateurs:

$(\frac{(1 \cdot 5)}{10} + \frac{(- 1 \cdot 2)}{10}) y + 8 = (\frac{1}{5} \cdot y + 2) - \frac{1}{5} y$

Multiplier les numérateurs:

$(\frac{5}{10} + \frac{- 2}{10}) y + 8 = (\frac{1}{5} \cdot y + 2) - \frac{1}{5} y$

Combiner les fractions:

$\frac{(5 - 2)}{10} \cdot y + 8 = (\frac{1}{5} \cdot y + 2) - \frac{1}{5} y$

Combiner les numérateurs:

$\frac{3}{10} \cdot y + 8 = (\frac{1}{5} \cdot y + 2) - \frac{1}{5} y$

Collecter des termes semblables:

$\frac{3}{10} \cdot y + 8 = (\frac{1}{5} \cdot y + \frac{- 1}{5} y) + 2$

Combiner les fractions:

$\frac{3}{10} \cdot y + 8 = \frac{(1 - 1)}{5} y + 2$

Combiner les numérateurs:

$\frac{3}{10} \cdot y + 8 = \frac{0}{5} y + 2$

Réduire le numérateur zéro:

$\frac{3}{10} y + 8 = 0 y + 2$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{3}{10} y + 8 = 2$

Soustraire des deux côtés:

$(\frac{3}{10} y + 8) - 8 = 2 - 8$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{3}{10} y = 2 - 8$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{3}{10} y = - 6$

Multiplier les deux côtés par la fraction inverse :

$(\frac{3}{10} y) \cdot \frac{10}{3} = - 6 \cdot \frac{10}{3}$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{3}{10} \cdot \frac{10}{3}) y = - 6 \cdot \frac{10}{3}$

Multiplier les coefficients:

$\frac{(3 \cdot 10)}{(10 \cdot 3)} y = - 6 \cdot \frac{10}{3}$

Simplifier la fraction:

$y = - 6 \cdot \frac{10}{3}$

Multiplier les fractions:

$y = \frac{(- 6 \cdot 10)}{3}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$y = - 20$

22 étapes supplémentaires

$(\frac{1}{2} y + 8) = - (\frac{1}{5} y + 2)$

Développer les parenthèses:

$(\frac{1}{2} \cdot y + 8) = \frac{- 1}{5} y - 2$

Additionner des deux côtés:

$(\frac{1}{2} y + 8) + \frac{1}{5} \cdot y = (\frac{- 1}{5} y - 2) + \frac{1}{5} y$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{1}{2} \cdot y + \frac{1}{5} \cdot y) + 8 = (\frac{- 1}{5} \cdot y - 2) + \frac{1}{5} y$

Coefficients du groupe:

$(\frac{1}{2} + \frac{1}{5}) y + 8 = (\frac{- 1}{5} \cdot y - 2) + \frac{1}{5} y$

Trouver le plus petit dénominateur commun:

$(\frac{(1 \cdot 5)}{(2 \cdot 5)} + \frac{(1 \cdot 2)}{(5 \cdot 2)}) y + 8 = (\frac{- 1}{5} \cdot y - 2) + \frac{1}{5} y$

Multiplier les dénominateurs:

$(\frac{(1 \cdot 5)}{10} + \frac{(1 \cdot 2)}{10}) y + 8 = (\frac{- 1}{5} \cdot y - 2) + \frac{1}{5} y$

Multiplier les numérateurs:

$(\frac{5}{10} + \frac{2}{10}) y + 8 = (\frac{- 1}{5} \cdot y - 2) + \frac{1}{5} y$

Combiner les fractions:

$\frac{(5 + 2)}{10} \cdot y + 8 = (\frac{- 1}{5} \cdot y - 2) + \frac{1}{5} y$

Combiner les numérateurs:

$\frac{7}{10} \cdot y + 8 = (\frac{- 1}{5} \cdot y - 2) + \frac{1}{5} y$

Collecter des termes semblables:

$\frac{7}{10} \cdot y + 8 = (\frac{- 1}{5} \cdot y + \frac{1}{5} y) - 2$

Combiner les fractions:

$\frac{7}{10} \cdot y + 8 = \frac{(- 1 + 1)}{5} y - 2$

Combiner les numérateurs:

$\frac{7}{10} \cdot y + 8 = \frac{0}{5} y - 2$

Réduire le numérateur zéro:

$\frac{7}{10} y + 8 = 0 y - 2$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{7}{10} y + 8 = - 2$

Soustraire des deux côtés:

$(\frac{7}{10} y + 8) - 8 = - 2 - 8$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{7}{10} y = - 2 - 8$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{7}{10} y = - 10$

Multiplier les deux côtés par la fraction inverse :

$(\frac{7}{10} y) \cdot \frac{10}{7} = - 10 \cdot \frac{10}{7}$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{7}{10} \cdot \frac{10}{7}) y = - 10 \cdot \frac{10}{7}$

Multiplier les coefficients:

$\frac{(7 \cdot 10)}{(10 \cdot 7)} y = - 10 \cdot \frac{10}{7}$

Simplifier la fraction:

$y = - 10 \cdot \frac{10}{7}$

Multiplier les fractions:

$y = \frac{(- 10 \cdot 10)}{7}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$y = \frac{- 100}{7}$

3. Lister les solutions

$y = - 20, - \frac{100}{7}$
(2 solution(s))

4. Graphe

Chaque ligne représente la fonction d'un côté de l'équation:
$y = | \frac{1}{2} y + 8 |$
$y = | \frac{1}{5} y + 2 |$
L'équation est vraie là où les deux lignes se croisent.

Comment nous en sommes-nous sortis ?

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Pourquoi apprendre cela

Nous rencontrons presque quotidiennement des valeurs absolues. Par exemple : si vous marchez 3 miles pour aller à l'école, marchez-vous aussi 3 miles en sens inverse lorsque vous rentrez à la maison ? La réponse est non car les distances utilisent une valeur absolue. La valeur absolue de la distance entre la maison et l'école est de 3 miles, que ce soit pour l'aller ou le retour.
En bref, les valeurs absolues nous aident à gérer des concepts comme la distance, les fourchettes de valeurs possibles, et l'écart par rapport à une valeur fixée.

Solution - Équations à valeur absolue

Explication étape par étape

1. Réécrire l'équation sans les barres de valeur absolue

2. Résoudre les deux équations pour y

3. Lister les solutions

4. Graphe

Pourquoi apprendre cela

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