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Solution - Équations à valeur absolue

Forme exacte :

x = 8, \frac{8}{5}

x=8 , \frac{8}{5}

Forme de nombre mélangé :

x = 8, 1 \frac{3}{5}

x=8 , 1\frac{3}{5}

Forme décimale :

x = 8, 1, 6

x=8 , 1,6

Voir les étapes

Explication étape par étape

1. Réécrire l'équation sans les barres de valeur absolue

Utilisez les règles:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ et $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
Pour écrire toutes les quatre options de l'équation
$| \frac{1}{2} x | = | \frac{3}{4} x - 2 |$
Sans les barres de valeur absolue:

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{1}{2} x \| = \| \frac{3}{4} x - 2 \|$
$x = + y$	$(\frac{1}{2} x) = (\frac{3}{4} x - 2)$
$x = - y$	$(\frac{1}{2} x) = - (\frac{3}{4} x - 2)$
$+ x = y$	$(\frac{1}{2} x) = (\frac{3}{4} x - 2)$
$- x = y$	$- (\frac{1}{2} x) = (\frac{3}{4} x - 2)$

Une fois simplifiées, les équations $x = + y$ et $+ x = y$ sont identiques, et les équations $x = - y$ et $- x = y$ sont également identiques, nous avons donc seulement 2 équations :

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{1}{2} x \| = \| \frac{3}{4} x - 2 \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$(\frac{1}{2} x) = (\frac{3}{4} x - 2)$
$x = - y$ , $- x = y$	$(\frac{1}{2} x) = - (\frac{3}{4} x - 2)$

2. Résoudre les deux équations pour x

17 étapes supplémentaires

$\frac{1}{2} \cdot x = (\frac{3}{4} x - 2)$

Soustraire des deux côtés:

$(\frac{1}{2} x) - \frac{3}{4} \cdot x = (\frac{3}{4} x - 2) - \frac{3}{4} x$

Coefficients du groupe:

$(\frac{1}{2} + \frac{- 3}{4}) x = (\frac{3}{4} \cdot x - 2) - \frac{3}{4} x$

Trouver le plus petit dénominateur commun:

$(\frac{(1 \cdot 2)}{(2 \cdot 2)} + \frac{- 3}{4}) x = (\frac{3}{4} \cdot x - 2) - \frac{3}{4} x$

Multiplier les dénominateurs:

$(\frac{(1 \cdot 2)}{4} + \frac{- 3}{4}) x = (\frac{3}{4} \cdot x - 2) - \frac{3}{4} x$

Multiplier les numérateurs:

$(\frac{2}{4} + \frac{- 3}{4}) x = (\frac{3}{4} \cdot x - 2) - \frac{3}{4} x$

Combiner les fractions:

$\frac{(2 - 3)}{4} \cdot x = (\frac{3}{4} \cdot x - 2) - \frac{3}{4} x$

Combiner les numérateurs:

$\frac{- 1}{4} \cdot x = (\frac{3}{4} \cdot x - 2) - \frac{3}{4} x$

Collecter des termes semblables:

$\frac{- 1}{4} \cdot x = (\frac{3}{4} \cdot x + \frac{- 3}{4} x) - 2$

Combiner les fractions:

$\frac{- 1}{4} \cdot x = \frac{(3 - 3)}{4} x - 2$

Combiner les numérateurs:

$\frac{- 1}{4} \cdot x = \frac{0}{4} x - 2$

Réduire le numérateur zéro:

$\frac{- 1}{4} x = 0 x - 2$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{- 1}{4} x = - 2$

Multiplier les deux côtés par la fraction inverse :

$(\frac{- 1}{4} x) \cdot \frac{4}{- 1} = - 2 \cdot \frac{4}{- 1}$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{- 1}{4} \cdot - 4) x = - 2 \cdot \frac{4}{- 1}$

Multiplier les coefficients:

$\frac{(- 1 \cdot - 4)}{4} x = - 2 \cdot \frac{4}{- 1}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$1 x = - 2 \cdot \frac{4}{- 1}$

$x = - 2 \cdot \frac{4}{- 1}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$x = 8$

18 étapes supplémentaires

$\frac{1}{2} x = - (\frac{3}{4} x - 2)$

Développer les parenthèses:

$\frac{1}{2} \cdot x = \frac{- 3}{4} x + 2$

Additionner des deux côtés:

$(\frac{1}{2} x) + \frac{3}{4} \cdot x = (\frac{- 3}{4} x + 2) + \frac{3}{4} x$

Coefficients du groupe:

$(\frac{1}{2} + \frac{3}{4}) x = (\frac{- 3}{4} \cdot x + 2) + \frac{3}{4} x$

Trouver le plus petit dénominateur commun:

$(\frac{(1 \cdot 2)}{(2 \cdot 2)} + \frac{3}{4}) x = (\frac{- 3}{4} \cdot x + 2) + \frac{3}{4} x$

Multiplier les dénominateurs:

$(\frac{(1 \cdot 2)}{4} + \frac{3}{4}) x = (\frac{- 3}{4} \cdot x + 2) + \frac{3}{4} x$

Multiplier les numérateurs:

$(\frac{2}{4} + \frac{3}{4}) x = (\frac{- 3}{4} \cdot x + 2) + \frac{3}{4} x$

Combiner les fractions:

$\frac{(2 + 3)}{4} \cdot x = (\frac{- 3}{4} \cdot x + 2) + \frac{3}{4} x$

Combiner les numérateurs:

$\frac{5}{4} \cdot x = (\frac{- 3}{4} \cdot x + 2) + \frac{3}{4} x$

Collecter des termes semblables:

$\frac{5}{4} \cdot x = (\frac{- 3}{4} \cdot x + \frac{3}{4} x) + 2$

Combiner les fractions:

$\frac{5}{4} \cdot x = \frac{(- 3 + 3)}{4} x + 2$

Combiner les numérateurs:

$\frac{5}{4} \cdot x = \frac{0}{4} x + 2$

Réduire le numérateur zéro:

$\frac{5}{4} x = 0 x + 2$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{5}{4} x = 2$

Multiplier les deux côtés par la fraction inverse :

$(\frac{5}{4} x) \cdot \frac{4}{5} = 2 \cdot \frac{4}{5}$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{5}{4} \cdot \frac{4}{5}) x = 2 \cdot \frac{4}{5}$

Multiplier les coefficients:

$\frac{(5 \cdot 4)}{(4 \cdot 5)} x = 2 \cdot \frac{4}{5}$

Simplifier la fraction:

$x = 2 \cdot \frac{4}{5}$

Multiplier les fractions:

$x = \frac{(2 \cdot 4)}{5}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$x = \frac{8}{5}$

3. Lister les solutions

$x = 8, \frac{8}{5}$
(2 solution(s))

4. Graphe

Chaque ligne représente la fonction d'un côté de l'équation:
$y = | \frac{1}{2} x |$
$y = | \frac{3}{4} x - 2 |$
L'équation est vraie là où les deux lignes se croisent.

Comment nous en sommes-nous sortis ?

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Pourquoi apprendre cela

Nous rencontrons presque quotidiennement des valeurs absolues. Par exemple : si vous marchez 3 miles pour aller à l'école, marchez-vous aussi 3 miles en sens inverse lorsque vous rentrez à la maison ? La réponse est non car les distances utilisent une valeur absolue. La valeur absolue de la distance entre la maison et l'école est de 3 miles, que ce soit pour l'aller ou le retour.
En bref, les valeurs absolues nous aident à gérer des concepts comme la distance, les fourchettes de valeurs possibles, et l'écart par rapport à une valeur fixée.

Solution - Équations à valeur absolue

Explication étape par étape

1. Réécrire l'équation sans les barres de valeur absolue

2. Résoudre les deux équations pour x

3. Lister les solutions

4. Graphe

Pourquoi apprendre cela

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