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Solution - Équations à valeur absolue

Forme exacte :

x = 32, \frac{8}{3}

x=32 , \frac{8}{3}

Forme de nombre mélangé :

x = 32, 2 \frac{2}{3}

x=32 , 2\frac{2}{3}

Forme décimale :

x = 32, 2, 667

x=32 , 2,667

Voir les étapes

Explication étape par étape

1. Réécrire l'équation sans les barres de valeur absolue

Utilisez les règles:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ et $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
Pour écrire toutes les quatre options de l'équation
$| \frac{1}{2} x - 5 | = | \frac{1}{4} x + 3 |$
Sans les barres de valeur absolue:

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{1}{2} x - 5 \| = \| \frac{1}{4} x + 3 \|$
$x = + y$	$(\frac{1}{2} x - 5) = (\frac{1}{4} x + 3)$
$x = - y$	$(\frac{1}{2} x - 5) = - (\frac{1}{4} x + 3)$
$+ x = y$	$(\frac{1}{2} x - 5) = (\frac{1}{4} x + 3)$
$- x = y$	$- (\frac{1}{2} x - 5) = (\frac{1}{4} x + 3)$

Une fois simplifiées, les équations $x = + y$ et $+ x = y$ sont identiques, et les équations $x = - y$ et $- x = y$ sont également identiques, nous avons donc seulement 2 équations :

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{1}{2} x - 5 \| = \| \frac{1}{4} x + 3 \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$(\frac{1}{2} x - 5) = (\frac{1}{4} x + 3)$
$x = - y$ , $- x = y$	$(\frac{1}{2} x - 5) = - (\frac{1}{4} x + 3)$

2. Résoudre les deux équations pour x

20 étapes supplémentaires

$(\frac{1}{2} \cdot x - 5) = (\frac{1}{4} x + 3)$

Soustraire des deux côtés:

$(\frac{1}{2} x - 5) - \frac{1}{4} \cdot x = (\frac{1}{4} x + 3) - \frac{1}{4} x$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{1}{2} \cdot x + \frac{- 1}{4} \cdot x) - 5 = (\frac{1}{4} \cdot x + 3) - \frac{1}{4} x$

Coefficients du groupe:

$(\frac{1}{2} + \frac{- 1}{4}) x - 5 = (\frac{1}{4} \cdot x + 3) - \frac{1}{4} x$

Trouver le plus petit dénominateur commun:

$(\frac{(1 \cdot 2)}{(2 \cdot 2)} + \frac{- 1}{4}) x - 5 = (\frac{1}{4} \cdot x + 3) - \frac{1}{4} x$

Multiplier les dénominateurs:

$(\frac{(1 \cdot 2)}{4} + \frac{- 1}{4}) x - 5 = (\frac{1}{4} \cdot x + 3) - \frac{1}{4} x$

Multiplier les numérateurs:

$(\frac{2}{4} + \frac{- 1}{4}) x - 5 = (\frac{1}{4} \cdot x + 3) - \frac{1}{4} x$

Combiner les fractions:

$\frac{(2 - 1)}{4} \cdot x - 5 = (\frac{1}{4} \cdot x + 3) - \frac{1}{4} x$

Combiner les numérateurs:

$\frac{1}{4} \cdot x - 5 = (\frac{1}{4} \cdot x + 3) - \frac{1}{4} x$

Collecter des termes semblables:

$\frac{1}{4} \cdot x - 5 = (\frac{1}{4} \cdot x + \frac{- 1}{4} x) + 3$

Combiner les fractions:

$\frac{1}{4} \cdot x - 5 = \frac{(1 - 1)}{4} x + 3$

Combiner les numérateurs:

$\frac{1}{4} \cdot x - 5 = \frac{0}{4} x + 3$

Réduire le numérateur zéro:

$\frac{1}{4} x - 5 = 0 x + 3$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{1}{4} x - 5 = 3$

Additionner des deux côtés:

$(\frac{1}{4} x - 5) + 5 = 3 + 5$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{1}{4} x = 3 + 5$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{1}{4} x = 8$

Multiplier les deux côtés par la fraction inverse :

$(\frac{1}{4} x) \cdot \frac{4}{1} = 8 \cdot \frac{4}{1}$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{1}{4} \cdot 4) x = 8 \cdot \frac{4}{1}$

Multiplier les coefficients:

$\frac{(1 \cdot 4)}{4} x = 8 \cdot \frac{4}{1}$

Simplifier la fraction:

$x = 8 \cdot \frac{4}{1}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$x = 32$

22 étapes supplémentaires

$(\frac{1}{2} x - 5) = - (\frac{1}{4} x + 3)$

Développer les parenthèses:

$(\frac{1}{2} \cdot x - 5) = \frac{- 1}{4} x - 3$

Additionner des deux côtés:

$(\frac{1}{2} x - 5) + \frac{1}{4} \cdot x = (\frac{- 1}{4} x - 3) + \frac{1}{4} x$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{1}{2} \cdot x + \frac{1}{4} \cdot x) - 5 = (\frac{- 1}{4} \cdot x - 3) + \frac{1}{4} x$

Coefficients du groupe:

$(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}) x - 5 = (\frac{- 1}{4} \cdot x - 3) + \frac{1}{4} x$

Trouver le plus petit dénominateur commun:

$(\frac{(1 \cdot 2)}{(2 \cdot 2)} + \frac{1}{4}) x - 5 = (\frac{- 1}{4} \cdot x - 3) + \frac{1}{4} x$

Multiplier les dénominateurs:

$(\frac{(1 \cdot 2)}{4} + \frac{1}{4}) x - 5 = (\frac{- 1}{4} \cdot x - 3) + \frac{1}{4} x$

Multiplier les numérateurs:

$(\frac{2}{4} + \frac{1}{4}) x - 5 = (\frac{- 1}{4} \cdot x - 3) + \frac{1}{4} x$

Combiner les fractions:

$\frac{(2 + 1)}{4} \cdot x - 5 = (\frac{- 1}{4} \cdot x - 3) + \frac{1}{4} x$

Combiner les numérateurs:

$\frac{3}{4} \cdot x - 5 = (\frac{- 1}{4} \cdot x - 3) + \frac{1}{4} x$

Collecter des termes semblables:

$\frac{3}{4} \cdot x - 5 = (\frac{- 1}{4} \cdot x + \frac{1}{4} x) - 3$

Combiner les fractions:

$\frac{3}{4} \cdot x - 5 = \frac{(- 1 + 1)}{4} x - 3$

Combiner les numérateurs:

$\frac{3}{4} \cdot x - 5 = \frac{0}{4} x - 3$

Réduire le numérateur zéro:

$\frac{3}{4} x - 5 = 0 x - 3$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{3}{4} x - 5 = - 3$

Additionner des deux côtés:

$(\frac{3}{4} x - 5) + 5 = - 3 + 5$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{3}{4} x = - 3 + 5$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{3}{4} x = 2$

Multiplier les deux côtés par la fraction inverse :

$(\frac{3}{4} x) \cdot \frac{4}{3} = 2 \cdot \frac{4}{3}$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}) x = 2 \cdot \frac{4}{3}$

Multiplier les coefficients:

$\frac{(3 \cdot 4)}{(4 \cdot 3)} x = 2 \cdot \frac{4}{3}$

Simplifier la fraction:

$x = 2 \cdot \frac{4}{3}$

Multiplier les fractions:

$x = \frac{(2 \cdot 4)}{3}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$x = \frac{8}{3}$

3. Lister les solutions

$x = 32, \frac{8}{3}$
(2 solution(s))

4. Graphe

Chaque ligne représente la fonction d'un côté de l'équation:
$y = | \frac{1}{2} x - 5 |$
$y = | \frac{1}{4} x + 3 |$
L'équation est vraie là où les deux lignes se croisent.

Comment nous en sommes-nous sortis ?

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Pourquoi apprendre cela

Nous rencontrons presque quotidiennement des valeurs absolues. Par exemple : si vous marchez 3 miles pour aller à l'école, marchez-vous aussi 3 miles en sens inverse lorsque vous rentrez à la maison ? La réponse est non car les distances utilisent une valeur absolue. La valeur absolue de la distance entre la maison et l'école est de 3 miles, que ce soit pour l'aller ou le retour.
En bref, les valeurs absolues nous aident à gérer des concepts comme la distance, les fourchettes de valeurs possibles, et l'écart par rapport à une valeur fixée.

Solution - Équations à valeur absolue

Explication étape par étape

1. Réécrire l'équation sans les barres de valeur absolue

2. Résoudre les deux équations pour x

3. Lister les solutions

4. Graphe

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