Tiger Algebra Kalkulator

Normal na pamamahagi
Ang normal na pamamahagi (na kilala rin bilang Gaussian, Gauss, o Laplace–Gauss distribution, o ang bell curve) ay isang pamamahagi ng probabilidad na nag-uugnay ng isang kumulatibong probabilidad sa isang random na variable $$X$$. Ang sentro ng isang normal na pamamahagi ay palaging matatagpuan sa ibig sabihin, kung saan ang pamamahagi ay ganap na simetrikal.



Mga Notasyon
Karaniwang ginagamit ng mga estadistiko ang mga capital na letra upang kumatawan sa mga random na variables at mga maliliit na titik upang kumatawan sa kanilang mga halaga. Halimbawa:

• $$x$$ ay ang halaga ng random na variable $$X$$.
• $$x$$ ay kumakatawan sa probabilidad ng $$P\left(X\right)$$.
• $$P\left(X=x\right)$$ ay kumakatawan sa probabilidad na ang random na variable $$X$$ ay katumbas sa isang partikular na halaga $$x$$. Halimbawa, $$P\left(X=1\right)$$ ay tumutukoy sa probabilidad na ang random na variable $$X$$ ay katumbas sa $$1$$.

Mga ibang halimbawa
$$P\left(30<X\right)$$: Ano ang probabilidad na ang $$X$$ ay higit sa $$30$$?
$$P\left(X<80\right)$$: Ano ang probabilidad na ang $$X$$ ay mas mababa sa $$80$$?
$$P\left(30<X<80\right)$$: Ano ang probabilidad na ang $$X$$ ay pagitan ng $$30$$ at $$80$$?
$$P\left(30>X>80\right)$$: Ano ang probabilidad na ang $$X$$ ay higit sa $$80$$ at mas mababa sa $$30$$?

Mga Parameters ng normal na pamamahagi
Ang mean at standard deviation ay ang dalawang pangunahing parameter ng isang normal na pamamahagi. Tinutukoy nito ang hugis ng pamamahagi at mga probabilidad.

Mean
$$\mu$$ o $$x̅$$
Ang mean ay ang lokasyon ng sentro at peak ng pamamahagi, ibig sabihin, anumang mga pagbabago sa mean ay naglilipat ng curve ng pamamahagi sa kaliwa o kanan sa x-axis. Nakatira ang karamihan sa mga data point (halaga) sa paligid ng mean.

Standard deviation
$$\sigma$$ o $$s$$
Nagmemeasure ang standard deviation kung gaano kalayo ang mga data point mula sa mean ng pamamahagi. Ito ang nagdedetermina sa lapad ng isang normal na pamamahagi. Ang mas malaking standard deviation ay nagreresulta sa mas mababang, mas malawak na mga curve at mas maliliit na standard deviations ay nagreresulta sa mas mataas, mas makitid na mga curve.

Mga katangian ng normal na pamamahagi

1. Ito ay simetrikal
   Ang normal na pamamahagi ay ganap na simetrikal, ibig sabihin ang curve ng pamamahagi ay maaaring ifold sa gitna, sa ibig sabihin, upang makagawa ng dalawang kaparehong kalahati. Itong simetrikong hugis ay resulta ng kalahati ng mga obserbasyon ang bumabagsak sa bawat panig ng curve.
2. Ang mean, median, at mode ay parehas
   Dahil ang normal na pamamahagi ay simetrikal, ang kanyang sentro ay kumakatawan sa average, o mean, ng lahat ng mga data point. Ibig sabihin nito na ang kanyang median (ang halaga sa gitna ng isang set kapag ang mga halaga ay inorder mula sa pinakamababa hanggang sa pinakamalaki) ay matatagpuan din sa gitna ng pamamahagi at pareho sa mean. Ang peak, ang pinakamataas na punto ng curve ng normal na pamamahagi, ay nangyayari rin na matatagpuan sa gitna ng graph, ibig sabihin ang mode ng pamamahagi, ang pinakakaraniwang nalalagyong halaga at, samakatuwid, ang pinakamataas na punto sa graph, ay matatagpuan din sa sentro ng pamamahagi. Ang mga data ng normal na pamamahagi ay kumakatawan sa mga data point (halaga) na naganap. Ang mean ay ang sentro ng pamamahagi dahil ang mean ay ang punto na nangyayari ang pinakamadalas. Ang midpoint ay rin ang punto kung saan ang mga tatlong sukat ay bumabagsak. Karaniwang kasunduan ang mga sukat sa isang perpektong (normal) pamamahagi. Ang kalahati ng populasyon ay mas mababa sa mean, at kalahati ay higit sa mean.
3. The empirical rule
   Tinatawag rin bilang patakaran ng 68-95-99.7. Nagdedescribe ang empirical rule sa porsyento ng data na bumabagsak sa loob ng tiyak na mga bilang ng standard deviations mula sa mean para sa mga curve ng bell.
   
   Sa mga normally nawawala na data, mayroong isang konstante na proporsyon ng distansya na nakahimlay sa ilalim ng curve sa pagitan ng mean at isang tiyak na bilang ng standard deviations mula sa mean. Nagpapahintulot ang Empirical Rule na malaman mo ang proporsyon ng mga halaga na nahuhulog sa loob ng tiyak na mga distansya mula sa mean.
   
   68.25% ng lahat ng kaso ay bumabagsak sa loob ng +/- isang standard deviation mula sa mean.
   95% ng lahat ng kaso ay bumabagsak sa loob ng +/- dalawang standard deviations mula sa mean.
   99.7% ng lahat ng kaso ay bumabagsak sa loob ng +/- tatlong standard deviations mula sa mean.
   
   

Standard normal na pamamahagi

Ang standard normal na pamamahagi ay isang espesyal na kaso ng normal na pamamahagi kung saan ang mean ay zero at ang standard deviation ay isa. Tinatawag din itong Z-distribution.



Mga Notasyon

• $$z$$ is the "z-score" (standard score) - z score is how many standard deviations a value is away from the mean.
• $$\mu$$ (mu) is the mean.
• $$\sigma$$ (sigma) is the standard deviation.

Standard scores

Ang halaga sa standard normal distribution ay tinatawag na standard score o z-score. Kinakatawan nito ang bilang ng mga standard deviation sa ibabaw o sa ibaba ng mean na bumabagsak ang isang partikular na pagmamalas.
Halimbawa, ang isang standard score ng $$1.5$$ ay nagpapahiwatig na ang obserbasyon ay $$1.5$$ standard deviations sa ibabaw ng mean. Ang isang negatibong standard score ay kumakatawan sa isang halaga sa ibaba ng average. Ang mean ay may z-score ng $$0$$.
Mahigit 99.9% ng lahat ng kaso ay bumabagsak sa loob ng +/- 3.9 standard deviations mula sa mean. Kaya nirerespeto namin ang probabilidad ng anumang data na may z-score na mas malaki kaysa sa $$3.9$$ or smaller than a $$-3.9$$ as 0%. Sa ibang salita, nirerespeto namin ang agwat sa pagitan ng $$-3.9$$ at $$3.9$$ bilang 100% ng standard normal na pamamahagi.

Mga lugar sa ilalim ng curve ng standard normal na pamamahagi

Ang normal na pamamahagi ay isang pamamahagi ng probabilidad. Tulad ng anumang pamamahagi ng probabilidad, ang proporsyon ng lugar na bumabagsak sa ilalim ng curve sa pagitan ng dalawang punto sa isang plot na pamamahagi ng probabilidad ay nagpapahiwatig ng probabilidad na ang isang halaga ay mahuhulog sa loob ng intervalo na iyon.
Ang lugar sa ilalim ng curve ay katumbas ng $$1$$, at ito ay 100% ng pamamahagi. $$1$$ = 100%.
Kapag nakakuha ka ng z-score, maaari kang makakuha ng lugar hanggang dito sa pamamagitan ng pagtingin sa isang table ng standard normal distribution. Kilala rin bilang ang table ng mga z-score. (Ang link sa table ay darating na)
Dahil ipinapakita ng mga z-score table ang lugar hanggang sa halaga ng z-score, kapag nais mong mahanap ang probabilidad ng data na may mas malalaking z-scores, kailangan mong ibawas ang bilang mula sa table sa $$1$$. Maaaring ito ay ipakita bilang isang patakaran:
$$P\left(z>a\right)=1-P\left(z<a\right)$$
Kapag hindi natin mahanap ang perpektong z-score sa table, pinipili namin ang pinakamalapit na isa. Kung ang 2 pinakamalapit na z-scores ay parehong distansya mula sa aming gusto mga z-score, kinakalkula nila ang kanilang mean.

Ibang mga halimbawa
$$P\left(0.15<z\right)$$ - Ano ang probabilidad ng data na may z-score na mas malaki kaysa $$0.15$$?
$$P\left(z<2.92\right)$$ - Ano ang probabilidad ng data na may z-score na mas maliit kaysa $$2.92$$?
$$P\left(0.15<z<2.92\right)$$ - Ano ang probabilidad ng data na may z-score na nasa pagitan ng $$0.15$$ at $$2.92$$?
$$P\left(0.15>z>2.92\right)$$ - Ano ang probabilidad ng data na may z-score na mas malaki kaysa $$2.92$$ at mas mababa sa $$0.15$$?

Standardization

Pagkakasunud-sunod sa pagkakakuha ng z-scores
Mahusay na paraan ang mga standard scores upang maunawaan kung saan nahuhulog ang isang partikular na obserbasyon kumpara sa buong normal na pamamahagi. Nagbibigay-daan rin ito sa iyo na kunin ang mga obserbasyon na galing mula sa mga normal na pamamahagi ng populasyon na may magkaibang mga means at standard deviations at ilagay ang mga ito sa isang standard scale. Pagkatapos masalapatan ng katangian ang iyong data, maaari mo silang ilagay sa loob ng standard normal na pamamahagi.
Sa paraang ito, nagbibigay-daan ang katangian sa iyo upang maihambing ang iba't ibang uri ng mga obserbasyon batay sa kung saan nahuhulog ang bawat obserbasyon sa loob ng kanyang sariling pamamahagi.
Upang kalkulahin ang standard score para sa isang obserbasyon, kunin ang raw measurement, ibawas ang mean, at hatingin sa pamamagitan ng standard deviation. Sa matematika, ang formula para sa proseso na iyon ay ang sumusunod:
$$z=\left(x-\mu \right)/\sigma$$
$$x$$ ang kumakatawan sa raw na halaga ng measurement ng pansin. Ito ang halaga na pinapagain - minsan tinatawag na data point.
$$\mu$$ (Mu) at $$\sigma$$ (sigma) ang kumakatawan sa mga parameters para sa populasyon mula sa kung saan hinugot ang obserbasyon.

Mga kaugnay na termino

Skewness
Ang skewness ay tumutukoy sa isang pagkasira o hindi pagkakasuhan, na lumalayo sa simetrikal na curve ng bell, o normal na pamamahagi, sa isang set ng data. Kung ang curve ay na-shift sa kaliwa o sa kanan, ito ay sinabi na maaaring maging skewed. Ang skewness ay maaaring quantified bilang isang representasyon ng lawak kung saan sumasalungat ang isang ibinigay na pamamahagi mula sa isang normal na pamamahagi. Ibinatukoy ng skewness ang mga extremong halaga sa isa kaysa sa ibang buntot. Ang normal na pamamahagi ay may skew ng zero.

Kurtosis
Nagsusukat ang kurtosis ng mga extremong halaga sa alinmang buntot. Ang mga pamamahagi na may malaking kurtosis ay nagpapakita ng tail data na higit sa buntot ng normal na pamamahagi. Ang mga pamamahagi na may mababang kurtosis ay nagpapakita ng tail data na sa pangkalahatan ay hindi ganun ka extreme kapara sa mga buntot ng normal na pamamahagi. Isang sukat ang kurtosis ng kabuuang bigat ng isang pamamahagi ng mga buntot bawat hitsura sa sentro ng pamamahagi. Kapag ang isang set ng halos normal na data ay nagraph sa pamamagitan ng isang histogram, ipinapakita nito ang isang bell peak at halos lahat ng mga data sa loob ng tatlong standard deviations (mas mataas o mas mababa) ng mean. Gayunpaman, kapag ang mataaspot na kurtosis ang kasalukuyan, lumalagpas ang mga buntot sa tatlong standard deviations ng normal na pamamahagi ng bell curve.