Solusyon - Mga katangian ng mga ellipses

$$h$$ kumakatawan sa x-offset mula sa pinagmulan.
$$k$$ kumakatawan sa y-offset mula sa pinagmulan.
Upang matukoy ang mga halaga ng $$h$$ at $$k$$, gamitin ang pahalang na standard form ng ellipse:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{b^2}=1$$

$$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$$
$$h=0$$
$$k=0$$
Sentro: $$\left(0,0\right)$$

Ang $$a$$ ay kumakatawan sa mas mahabang radius ng ellipse, na katumbas sa kalahati ng pangunahing eksen. Tinatawag itong semi-major axis.
Upang hanapin ang halaga ng $$a$$, gamitin ang pahalang na standard form ng ellipse:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{b^2}=1$$

$$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$$
$$a^2=9$$
Kumuhang square root sa magkabilang panig ng equation:
$$a=3$$

Dahil ang $$a$$ ay kumakatawan sa isang distansya, ito ay may lamang positive na halaga.

Sa isang pahalang na ellipse, ang pangunahing eksen ay tumatakbo pahalang sa x-eksen at dumadaan sa mga vertices ng ellipse. Hanapin ang mga vertices sa pamamagitan ng pagdaragdag at pagbabawas ng $$a$$ mula sa x-koordinatang $$\left(h\right)$$ ng sentro.

Upang mahanap ang vertex_1, idagdag ang $$a$$ sa x-coordinate $$\left(h\right)$$ ng sentro:
Vertex_1: $$\left(h+a,k\right)$$
Center: $$\left(h,k\right)=\left(0,0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$a=3$$
Vertex_1: $$\left(0+3,0\right)$$
Vertex_1: $$\left(3;0\right)$$

Upang mahanap ang vertex_2, ibawas ang $$a$$ mula sa x-coordinate ($$h$$) ng sentro:
Vertex_2: $$\left(h-a,k\right)$$
Center: $$\left(h,k\right)=\left(0,0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$a=3$$
Vertex_2: $$\left(0-3,0\right)$$
Vertex_2: $$\left(-3;0\right)$$

Ang $$b$$ ay kumakatawan sa mas maikling radius ng ellipse, na katumbas ng kalahati ng maliit na eje. Ito ang tinatawag na semi-minor axis.
Upang mahanap ang halaga ng $$b$$, gamitin ang pormulang standard ng horizontal ellipse:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{b^2}=1$$

$$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$$
$$b^2=4$$
Kunin ang square root ng parehong panig ng equation:
$$b=2$$
Dahil ang b ay kumakatawan sa distansya, ito ay may positibong halaga lamang.

Sa isang pahalang na ellipse, ang maliit na eje ay tumatakbo nang paralelo sa y-axis at dumadaan sa co-vertices ng ellipse.
Hanapin ang mga co-vertices sa pamamagitan ng pagdagdag at pagbabawas ng $$b$$ mula sa y-coordinate $$\left(k\right)$$ ng sentro.

Upang mahanap ang co-vertex_1, idagdag ang $$b$$ sa y-coordinate $$\left(k\right)$$ ng sentro:
Co-vertex_1: $$\left(h,k+b\right)$$
Center: $$\left(h,k\right)=\left(0;0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$b=2$$
Co-vertex_1: $$\left(0,0+2\right)$$
Co-vertex_1: $$\left(0;2\right)$$

Upang mahanap ang co-vertex_2, ibawas ang $$b$$ mula sa y-coordinate $$\left(k\right)$$ ng sentro:
Co-vertex_2: $$\left(h,k-b\right)$$
Center: $$\left(h,k\right)=\left(0;0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$b=2$$
Co-vertex_2: $$\left(0,0-2\right)$$
Co-vertex_2: $$\left(0;-2\right)$$

Ang haba ng focal ay ang kahabaan mula sa sentro ng ellipse hanggang sa bawat focal point at karaniwang kinakatawan ng $$f$$.

Upang mahanap ang $$f$$, gamitin ang formula:
$$f=\sqrt{a^2-b^2}$$
$$a^2=9$$
$$b^2=4$$
Isaksak ang $$a^2$$ at $$b^2$$ sa formula at pinasimple:

$$f=\sqrt{9-4}$$

$$f=\sqrt{5}$$

$$f=2.236$$

Dahil ang $$f$$ ay kumakatawan sa isang distansya, ito ay may positibong halaga lamang.

Sa isang pahabang ellipse, ang pangunahing aksis ay tumatakbo nang pahalang sa x-axis at sa pamamagitan ng mga foci.
Hanapin ang mga foci sa pamamagitan ng pagdadagdag at pagbabawas ng $$f$$ sa x-coordinate $$\left(h\right)$$ ng gitna.

Upang mahanap ang focus_1, idagdag ang $$f$$ sa x-coordinate $$\left(h\right)$$ ng sentro:
Focus_1: $$\left(h+f,k\right)$$
Sentro: $$\left(h,k\right)=\left(0;0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$f=2.236$$
Focus_1: $$\left(0+2.236,0\right)$$
Focus_1: $$\left(2.236;0\right)$$

Upang mahanap ang focus_2, ibawas ang $$f$$ sa x-coordinate $$\left(h\right)$$ ng sentro:
Focus_2: $$\left(h-f,k\right)$$
Sentro: $$\left(h,k\right)=\left(0;0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$f=2.236$$
Focus_2: $$\left(0-2.236,0\right)$$
Focus_2: $$\left(-2.236;0\right)$$

Gamitin ang formula para sa lugar ng isang ellipse upang mahanap ang lugar ng ellipse:
$$\pi ·a·b$$
$$a=3$$
$$b=2$$
Isaksak ang $$a$$ at $$b$$ sa formula at palakihin:

$$\pi ·3·2$$

$$\pi ·6$$

Ang lugar ay katumbas ng $$6\pi$$

Upang mahanap ang x-intercept(s), isaksak ang $$0$$ para sa $$y$$ sa standard na equation ng ellipse at lutasin ang resultang quadratic equation para sa $$x$$.
Mag-click dito para sa isang hakbang-hakbang na paliwanag ng quadratic equation.

$$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$$

$$\frac{x^2}{9}+\frac{0^2}{4}=1$$

$$x_1=3$$

$$x_2=-3$$

Upang mahanap ang y-intercept(s), isaksak ang $$0$$ para sa $$x$$ sa standard na equation ng ellipse at lutasin ang resultang quadratic equation para sa $$y$$.
Mag-click dito para sa isang hakbang-hakbang na paliwanag ng quadratic equation.

$$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$$

$$\frac{0^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$$

$$y_1=2$$

$$y_2=-2$$

Upang mahanap ang eccentricity, gamitin ang formula:
$$\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$$
$$a^2=9$$
$$b^2=4$$
$$a=3$$
Isaksak ang $$a^2$$ , $$b^2$$ at $$a$$ sa formula:

$$\frac{\sqrt{9-4}}{3}$$

$$\frac{\sqrt{5}}{3}$$

$$\frac{2.236}{3}$$

$$0.745$$

Ang eccentricity ay katumbas ng $$0.745$$