Solusyon - Mga katangian ng mga ellipses

$$a$$ ay kumakatawan sa mas mahabang radius ng ellipse, na katumbas ng kalahati ng pangunahing axis.
Ito ay tinatawag na semi-major axis.
Upang hanapin ang halaga ng $$a$$, gamitin ang vertical na standard na anyo ng ellipse:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{b^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{a^2}=1$$

$$\frac{{\left(x-2\right)}^2}{25}+\frac{{\left(y-3\right)}^2}{49}=1$$
$$a^2=49$$
Kumuha ng square root ng parehong mga panig ng equation:
$$a=7$$

Dahil ang $$a$$ ay kumakatawan sa isang distansya, mayroon lamang itong positibong halaga.

Sa isang patayong ellipse, ang pangunahing axis ay tumatakbo nang pahalang sa y-axis at dumadaan sa mga vertex ng ellipse. Makahanap ng mga vertex sa pamamagitan ng pagdaragdag at pagbabawas ng $$a$$ mula sa y-koordina ($$k$$) ng gitna.

Upang mahanap ang vertex_1, idagdag ang $$a$$ sa y-coordinate ($$k$$) ng gitna:
Vertex_1: $$\left(h,k+a\right)$$
Gitna: $$\left(h,k\right)=\left(2,3\right)$$
$$h=2$$
$$k=3$$
$$a=7$$
Vertex_1: $$\left(2,3+7\right)$$
Vertex_1: $$\left(2;10\right)$$

Upang mahanap ang vertex_2, ibawas ang $$a$$ mula sa y-coordinate ($$k$$) ng gitna:
Vertex_2: $$\left(h,k-a\right)$$
Gitna: $$\left(h,k\right)=\left(2;3\right)$$
$$h=2$$
$$k=3$$
$$a=7$$
Vertex_2: $$\left(2,3-7\right)$$
Vertex_2: $$\left(2;-4\right)$$

Ang $$b$$ ay kumakatawan sa mas maikling radius ng ellipses, na katumbas ng kalahati ng minor axis. Ito ay tinatawag na semi-minor axis.
Para malaman ang halaga ng $$b$$, gamitin ang pabalintong na ellipses na pormularyo:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{b^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{a^2}=1$$

$$\frac{{\left(x-2\right)}^2}{25}+\frac{{\left(y-3\right)}^2}{49}=1$$
$$b^2=25$$
Kuhaa ang square root ng parehong panig ng ekwasyon:
$$b=5$$
Dahil ang b ay sumasagisag sa layo, ito ay may positibong halaga lamang.

Sa isang pabalintong ellipses, ang minor axis ay parallel sa x-axis at dadaan sa mga co-vertices ng ellipses.
Hanapin ang mga co-vertices sa pamamagitan ng pagdadagdag at pagbabawas ng $$b$$ mula sa x-coordinate ($$h$$) ng gitna.

Upang mahanap ang co-vertex_1, idagdag ang $$b$$ sa x-coordinate ($$h$$) ng gitna:
Co-vertex_1: $$\left(h+b,k\right)$$
Gitna: $$\left(h,k\right)=\left(2;3\right)$$
$$h=2$$
$$k=3$$
$$b=5$$
Co-vertex_1: $$\left(2+5,3\right)$$
Co-vertex_1: $$\left(7;3\right)$$

Upang mahanap ang co-vertex_2, ibawas ang $$b$$ mula sa x-coordinate ($$h$$) ng gitna:
Co-vertex_2: $$\left(h-b,k\right)$$
Gitna: $$\left(h,k\right)=\left(2;3\right)$$
$$h=2$$
$$k=3$$
$$b=5$$
Co-vertex_2: $$\left(2-5,3\right)$$
Co-vertex_2: $$\left(-3;3\right)$$

Ang haba ng focal ay ang distansya mula sa gitna ng ellipses patungo sa bawat focal point at karaniwang kinakatawan ng $$f$$.

Upang mahanap ang $$f$$, gamitin ang pormula:
$$f=\sqrt{a^2-b^2}$$
$$a^2=49$$
$$b^2=25$$
Isaksak ang $$a^2$$ at $$b^2$$ sa pormula at pasimplehin:

$$f=\sqrt{49-25}$$

$$f=\sqrt{24}$$

$$f=4.899$$

Dahil ang $$f$$ ay kumakatawan sa isang distansya, ito ay mayroong lamang positive na halaga.

Sa isang patayong ellipse, ang pangunahing eksen ay tumatakbo na pahalang sa y-eksen at dadaan sa mga pokus.
Hanapin ang mga pokus sa pamamagitan ng pagdaragdag at pagbabawas ng $$f$$ mula sa y-koordinatang $$\left(k\right)$$ ng sentro.

Upang hanapin ang focus_1, idagdag ang $$f$$ sa y-koordinatang $$\left(k\right)$$ ng sentro:
Focus_1: $$\left(h,k+f\right)$$
Sentro: $$\left(h,k\right)=\left(2;3\right)$$
$$h=2$$
$$k=3$$
$$f=4.899$$
Focus_1: $$\left(2,3+4.899\right)$$
Focus_1: $$\left(2;7.899\right)$$

Upang hanapin ang focus_2, ibawas ang $$f$$ mula sa y-koordinatang $$\left(k\right)$$ ng sentro:
Focus_2: $$\left(h,k-f\right)$$
Sentro: $$\left(h,k\right)=\left(2;3\right)$$
$$h=2$$
$$k=3$$
$$f=4.899$$
Focus_2: $$\left(2,3-4.899\right)$$
Focus_2: $$\left(2;-1.899\right)$$

Gamitin ang formula para sa lugar ng isang ellipse upang mahanap ang lugar ng ellipse:
$$\pi ·a·b$$
$$a=7$$
$$b=5$$
Isaksak ang $$a$$ at $$b$$ sa formula at palakihin:

$$\pi ·7·5$$

$$\pi ·35$$

Ang lugar ay katumbas ng $$35\pi$$

Upang mahanap ang x-intercept(s), isaksak ang $$0$$ para sa $$y$$ sa standard na equation ng ellipse at lutasin ang resultang quadratic equation para sa $$x$$.
Mag-click dito para sa isang hakbang-hakbang na paliwanag ng quadratic equation.

$$\frac{{\left(x-2\right)}^2}{25}+\frac{{\left(y-3\right)}^2}{49}=1$$

$$\frac{{\left(x-2\right)}^2}{25}+\frac{{\left(0-3\right)}^2}{49}=1$$

$$x_1=6.518$$

$$x_2=-2.518$$

Upang mahanap ang y-intercept(s), isaksak ang $$0$$ para sa $$x$$ sa standard na equation ng ellipse at lutasin ang resultang quadratic equation para sa $$y$$.
Mag-click dito para sa isang hakbang-hakbang na paliwanag ng quadratic equation.

$$\frac{{\left(x-2\right)}^2}{25}+\frac{{\left(y-3\right)}^2}{49}=1$$

$$\frac{{\left(0-2\right)}^2}{25}+\frac{{\left(y-3\right)}^2}{49}=1$$

$$y_1=9.416$$

$$y_2=-3.416$$

Upang mahanap ang eccentricity, gamitin ang formula:
$$\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$$
$$a^2=49$$
$$b^2=25$$
$$a=7$$
Isaksak ang $$a^2$$ , $$b^2$$ at $$a$$ sa formula:

$$\frac{\sqrt{49-25}}{7}$$

$$\frac{\sqrt{24}}{7}$$

$$\frac{4.899}{7}$$

$$0.7$$

Ang eccentricity ay katumbas ng $$0.7$$