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Solución - Ecuaciones de valor absoluto

Forma exacta:

x = \frac{8}{13}, \frac{12}{17}

x=\frac{8}{13} , \frac{12}{17}

Forma decimal:

x = 0, 615, 0, 706

x=0,615 , 0,706

Ver los pasos

Explicación paso a paso

1. Reescribe la ecuación con un término de valor absoluto en cada lado

$5 | 3 x - 2 | - 2 | x - 1 | = 0$

Sumar $2 | x - 1 |$ a ambos lados de la ecuación.

$5 | 3 x - 2 | - 2 | x - 1 | + 2 | x - 1 | = 2 | x - 1 |$

Simplificar la expresión aritmética

$5 | 3 x - 2 | = 2 | x - 1 |$

2. Reescribe la ecuación sin barras de valor absoluto

Usa las reglas:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ y $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
para escribir todas las cuatro opciones de la ecuación
$5 | 3 x - 2 | = 2 | x - 1 |$
sin las barras de valor absoluto:

$\| x \| = \| y \|$	$5 \| 3 x - 2 \| = 2 \| x - 1 \|$
$x = + y$	$5 (3 x - 2) = 2 (x - 1)$
$x = - y$	$5 (3 x - 2) = 2 (- (x - 1))$
$+ x = y$	$5 (3 x - 2) = 2 (x - 1)$
$- x = y$	$5 (- (3 x - 2)) = 2 (x - 1)$

Cuando se simplifican, las ecuaciones $x = + y$ y $+ x = y$ son las mismas y las ecuaciones $x = - y$ y $- x = y$ son las mismas, por lo que terminamos con solo 2 ecuaciones:

$\| x \| = \| y \|$	$5 \| 3 x - 2 \| = 2 \| x - 1 \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$5 (3 x - 2) = 2 (x - 1)$
$x = - y$ , $- x = y$	$5 (3 x - 2) = 2 (- (x - 1))$

3. Resuelve las dos ecuaciones para x

14 pasos adicionales

$5 \cdot (3 x - 2) = 2 \cdot (x - 1)$

Desarrollar los paréntesis:

$5 \cdot 3 x + 5 \cdot - 2 = 2 \cdot (x - 1)$

Multiplicar coeficientes:

$15 x + 5 \cdot - 2 = 2 \cdot (x - 1)$

Simplificar la expresión aritmética:

$15 x - 10 = 2 \cdot (x - 1)$

Desarrollar los paréntesis:

$15 x - 10 = 2 x + 2 \cdot - 1$

Simplificar la expresión aritmética:

$15 x - 10 = 2 x - 2$

Sustraer en ambos lados:

$(15 x - 10) - 2 x = (2 x - 2) - 2 x$

Agrupar términos semejantes:

$(15 x - 2 x) - 10 = (2 x - 2) - 2 x$

Simplificar la expresión aritmética:

$13 x - 10 = (2 x - 2) - 2 x$

Agrupar términos semejantes:

$13 x - 10 = (2 x - 2 x) - 2$

Simplificar la expresión aritmética:

$13 x - 10 = - 2$

Sumar a ambos lados:

$(13 x - 10) + 10 = - 2 + 10$

Simplificar la expresión aritmética:

$13 x = - 2 + 10$

Simplificar la expresión aritmética:

$13 x = 8$

Dividir ambos lados por :

$\frac{(13 x)}{13} = \frac{8}{13}$

Simplificar la fracción:

$x = \frac{8}{13}$

17 pasos adicionales

$5 \cdot (3 x - 2) = 2 \cdot (- (x - 1))$

Desarrollar los paréntesis:

$5 \cdot 3 x + 5 \cdot - 2 = 2 \cdot (- (x - 1))$

Multiplicar coeficientes:

$15 x + 5 \cdot - 2 = 2 \cdot (- (x - 1))$

Simplificar la expresión aritmética:

$15 x - 10 = 2 \cdot (- (x - 1))$

Desarrollar los paréntesis:

$15 x - 10 = 2 \cdot (- x + 1)$

$15 x - 10 = 2 \cdot - x + 2 \cdot 1$

Agrupar términos semejantes:

$15 x - 10 = (2 \cdot - 1) x + 2 \cdot 1$

Multiplicar coeficientes:

$15 x - 10 = - 2 x + 2 \cdot 1$

Simplificar la expresión aritmética:

$15 x - 10 = - 2 x + 2$

Sumar a ambos lados:

$(15 x - 10) + 2 x = (- 2 x + 2) + 2 x$

Agrupar términos semejantes:

$(15 x + 2 x) - 10 = (- 2 x + 2) + 2 x$

Simplificar la expresión aritmética:

$17 x - 10 = (- 2 x + 2) + 2 x$

Agrupar términos semejantes:

$17 x - 10 = (- 2 x + 2 x) + 2$

Simplificar la expresión aritmética:

$17 x - 10 = 2$

Sumar a ambos lados:

$(17 x - 10) + 10 = 2 + 10$

Simplificar la expresión aritmética:

$17 x = 2 + 10$

Simplificar la expresión aritmética:

$17 x = 12$

Dividir ambos lados por :

$\frac{(17 x)}{17} = \frac{12}{17}$

Simplificar la fracción:

$x = \frac{12}{17}$

4. Lista las soluciones

$x = \frac{8}{13}, \frac{12}{17}$
(2 solución(es))

5. Grafica

Cada línea representa la función de un lado de la ecuación:
$y = 5 | 3 x - 2 |$
$y = 2 | x - 1 |$
La ecuación es válida donde las dos líneas se cruzan.

¿Cómo lo hicimos?

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Para qué aprender esto

Encontramos valores absolutos casi todos los días. Por ejemplo: Si caminas 3 millas a la escuela, ¿también caminas menos 3 millas cuando vuelves a casa? La respuesta es no porque las distancias utilizan el valor absoluto. El valor absoluto de la distancia entre la casa y la escuela es de 3 millas, ya sea de ida o de vuelta.
En resumen, los valores absolutos nos ayudan a lidiar con conceptos como distancia, rangos de valores posibles y desviación de un valor establecido.

Solución - Ecuaciones de valor absoluto

Explicación paso a paso

1. Reescribe la ecuación con un término de valor absoluto en cada lado

2. Reescribe la ecuación sin barras de valor absoluto

3. Resuelve las dos ecuaciones para x

4. Lista las soluciones

5. Grafica

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