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Solución - Ecuaciones de valor absoluto

Forma exacta:

x = - 12, 0

x=-12 , 0

Ver los pasos

Explicación paso a paso

1. Reescribe la ecuación sin barras de valor absoluto

Usa las reglas:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ y $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
para escribir todas las cuatro opciones de la ecuación
$\frac{1}{3} | x - 3 | = \frac{1}{2} | x + 2 |$
sin las barras de valor absoluto:

$\| x \| = \| y \|$	$\frac{1}{3} \| x - 3 \| = \frac{1}{2} \| x + 2 \|$
$x = + y$	$\frac{1}{3} (x - 3) = \frac{1}{2} (x + 2)$
$x = - y$	$\frac{1}{3} (x - 3) = \frac{1}{2} (- (x + 2))$
$+ x = y$	$\frac{1}{3} (x - 3) = \frac{1}{2} (x + 2)$
$- x = y$	$\frac{1}{3} (- (x - 3)) = \frac{1}{2} (x + 2)$

Cuando se simplifican, las ecuaciones $x = + y$ y $+ x = y$ son las mismas y las ecuaciones $x = - y$ y $- x = y$ son las mismas, por lo que terminamos con solo 2 ecuaciones:

$\| x \| = \| y \|$	$\frac{1}{3} \| x - 3 \| = \frac{1}{2} \| x + 2 \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$\frac{1}{3} (x - 3) = \frac{1}{2} (x + 2)$
$x = - y$ , $- x = y$	$\frac{1}{3} (x - 3) = \frac{1}{2} (- (x + 2))$

2. Resuelve las dos ecuaciones para x

29 pasos adicionales

$\frac{1}{3} \cdot (x - 3) = \frac{1}{2} \cdot (x + 2)$

Multiplicar las fracciones:

$\frac{(1 \cdot (x - 3))}{3} = \frac{1}{2} \cdot (x + 2)$

Fragmentar la fracción:

$\frac{x}{3} + \frac{- 3}{3} = \frac{1}{2} \cdot (x + 2)$

Averiguar el máximo común divisor del numerador y el denominador:

$\frac{x}{3} + \frac{(- 1 \cdot 3)}{(1 \cdot 3)} = \frac{1}{2} \cdot (x + 2)$

Descomponer y cancelar el máximo común divisor:

$\frac{x}{3} - 1 = \frac{1}{2} \cdot (x + 2)$

Multiplicar las fracciones:

$\frac{x}{3} - 1 = \frac{(1 \cdot (x + 2))}{2}$

Fragmentar la fracción:

$\frac{x}{3} - 1 = \frac{x}{2} + \frac{2}{2}$

Averiguar el máximo común divisor del numerador y el denominador:

$\frac{x}{3} - 1 = \frac{x}{2} + \frac{(1 \cdot 2)}{(1 \cdot 2)}$

Descomponer y cancelar el máximo común divisor:

$\frac{x}{3} - 1 = \frac{x}{2} + 1$

Sustraer en ambos lados:

$(\frac{x}{3} - 1) - \frac{x}{2} = (\frac{x}{2} + 1) - \frac{x}{2}$

Agrupar términos semejantes:

$(\frac{x}{3} + \frac{- 1}{2} x) - 1 = (\frac{x}{2} + 1) - \frac{x}{2}$

Agrupar coeficientes:

$(\frac{1}{3} + \frac{- 1}{2}) x - 1 = (\frac{x}{2} + 1) - \frac{x}{2}$

Averiguar el mínimo denominador común:

$(\frac{(1 \cdot 2)}{(3 \cdot 2)} + \frac{(- 1 \cdot 3)}{(2 \cdot 3)}) x - 1 = (\frac{x}{2} + 1) - \frac{x}{2}$

Multiplicar los denominadores:

$(\frac{(1 \cdot 2)}{6} + \frac{(- 1 \cdot 3)}{6}) x - 1 = (\frac{x}{2} + 1) - \frac{x}{2}$

Multiplicar los numeradores:

$(\frac{2}{6} + \frac{- 3}{6}) x - 1 = (\frac{x}{2} + 1) - \frac{x}{2}$

Combinar las fracciones:

$\frac{(2 - 3)}{6} x - 1 = (\frac{x}{2} + 1) - \frac{x}{2}$

Combinar los numeradores:

$\frac{- 1}{6} x - 1 = (\frac{x}{2} + 1) - \frac{x}{2}$

Agrupar términos semejantes:

$\frac{- 1}{6} \cdot x - 1 = (\frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} x) + 1$

Combinar las fracciones:

$\frac{- 1}{6} \cdot x - 1 = \frac{(1 - 1)}{2} x + 1$

Combinar los numeradores:

$\frac{- 1}{6} \cdot x - 1 = \frac{0}{2} x + 1$

Reducir el numerador cero:

$\frac{- 1}{6} x - 1 = 0 x + 1$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{- 1}{6} x - 1 = 1$

Sumar a ambos lados:

$(\frac{- 1}{6} x - 1) + 1 = 1 + 1$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{- 1}{6} x = 1 + 1$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{- 1}{6} x = 2$

Multiplicar ambos lados por la fracción inversa :

$(\frac{- 1}{6} x) \cdot \frac{6}{- 1} = 2 \cdot \frac{6}{- 1}$

Agrupar términos semejantes:

$(\frac{- 1}{6} \cdot - 6) x = 2 \cdot \frac{6}{- 1}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(- 1 \cdot - 6)}{6} x = 2 \cdot \frac{6}{- 1}$

Simplificar la expresión aritmética:

$1 x = 2 \cdot \frac{6}{- 1}$

$x = 2 \cdot \frac{6}{- 1}$

Simplificar la expresión aritmética:

$x = - 12$

25 pasos adicionales

$\frac{1}{3} \cdot (x - 3) = \frac{1}{2} \cdot (- (x + 2))$

Multiplicar las fracciones:

$\frac{(1 \cdot (x - 3))}{3} = \frac{1}{2} \cdot (- (x + 2))$

Fragmentar la fracción:

$\frac{x}{3} + \frac{- 3}{3} = \frac{1}{2} \cdot (- (x + 2))$

Averiguar el máximo común divisor del numerador y el denominador:

$\frac{x}{3} + \frac{(- 1 \cdot 3)}{(1 \cdot 3)} = \frac{1}{2} \cdot (- (x + 2))$

Descomponer y cancelar el máximo común divisor:

$\frac{x}{3} - 1 = \frac{1}{2} \cdot (- (x + 2))$

Multiplicar las fracciones:

$\frac{x}{3} - 1 = \frac{(1 \cdot (- (x + 2)))}{2}$

Desarrollar los paréntesis:

$\frac{x}{3} - 1 = \frac{(- x - 2)}{2}$

Fragmentar la fracción:

$\frac{x}{3} - 1 = \frac{- x}{2} + \frac{- 2}{2}$

Averiguar el máximo común divisor del numerador y el denominador:

$\frac{x}{3} - 1 = \frac{- x}{2} + \frac{(- 1 \cdot 2)}{(1 \cdot 2)}$

Descomponer y cancelar el máximo común divisor:

$\frac{x}{3} - 1 = \frac{- x}{2} - 1$

Sumar a ambos lados:

$(\frac{x}{3} - 1) + \frac{1}{2} \cdot x = (\frac{- x}{2} - 1) + \frac{1}{2} x$

Agrupar términos semejantes:

$(\frac{x}{3} + \frac{1}{2} \cdot x) - 1 = (\frac{- x}{2} - 1) + \frac{1}{2} x$

Agrupar coeficientes:

$(\frac{1}{3} + \frac{1}{2}) x - 1 = (\frac{- x}{2} - 1) + \frac{1}{2} x$

Averiguar el mínimo denominador común:

$(\frac{(1 \cdot 2)}{(3 \cdot 2)} + \frac{(1 \cdot 3)}{(2 \cdot 3)}) x - 1 = (\frac{- x}{2} - 1) + \frac{1}{2} x$

Multiplicar los denominadores:

$(\frac{(1 \cdot 2)}{6} + \frac{(1 \cdot 3)}{6}) x - 1 = (\frac{- x}{2} - 1) + \frac{1}{2} x$

Multiplicar los numeradores:

$(\frac{2}{6} + \frac{3}{6}) x - 1 = (\frac{- x}{2} - 1) + \frac{1}{2} x$

Combinar las fracciones:

$\frac{(2 + 3)}{6} \cdot x - 1 = (\frac{- x}{2} - 1) + \frac{1}{2} x$

Combinar los numeradores:

$\frac{5}{6} \cdot x - 1 = (\frac{- x}{2} - 1) + \frac{1}{2} x$

Agrupar términos semejantes:

$\frac{5}{6} \cdot x - 1 = (\frac{- x}{2} + \frac{1}{2} x) - 1$

Combinar las fracciones:

$\frac{5}{6} \cdot x - 1 = \frac{(- 1 + 1)}{2} x - 1$

Combinar los numeradores:

$\frac{5}{6} \cdot x - 1 = \frac{0}{2} x - 1$

Reducir el numerador cero:

$\frac{5}{6} x - 1 = 0 x - 1$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{5}{6} x - 1 = - 1$

Sumar a ambos lados:

$(\frac{5}{6} x - 1) + 1 = - 1 + 1$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{5}{6} x = - 1 + 1$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{5}{6} x = 0$

Dividir ambos lados entre el coeficiente:

$x = 0$

3. Lista las soluciones

$x = - 12, 0$
(2 solución(es))

4. Grafica

Cada línea representa la función de un lado de la ecuación:
$y = \frac{1}{3} | x - 3 |$
$y = \frac{1}{2} | x + 2 |$
La ecuación es válida donde las dos líneas se cruzan.

¿Cómo lo hicimos?

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Para qué aprender esto

Encontramos valores absolutos casi todos los días. Por ejemplo: Si caminas 3 millas a la escuela, ¿también caminas menos 3 millas cuando vuelves a casa? La respuesta es no porque las distancias utilizan el valor absoluto. El valor absoluto de la distancia entre la casa y la escuela es de 3 millas, ya sea de ida o de vuelta.
En resumen, los valores absolutos nos ayudan a lidiar con conceptos como distancia, rangos de valores posibles y desviación de un valor establecido.

Solución - Ecuaciones de valor absoluto

Explicación paso a paso

1. Reescribe la ecuación sin barras de valor absoluto

2. Resuelve las dos ecuaciones para x

3. Lista las soluciones

4. Grafica

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