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Solución - Ecuaciones de valor absoluto

Forma exacta:

y = - \frac{9}{16}, - \frac{15}{32}

y=-\frac{9}{16} , -\frac{15}{32}

Forma decimal:

y = - 0, 562, - 0, 469

y=-0,562 , -0,469

Ver los pasos

Explicación paso a paso

1. Reescribe la ecuación sin barras de valor absoluto

Usa las reglas:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ y $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
para escribir todas las cuatro opciones de la ecuación
$| y + \frac{1}{2} | = | \frac{1}{3} y + \frac{1}{8} |$
sin las barras de valor absoluto:

$\| x \| = \| y \|$	$\| y + \frac{1}{2} \| = \| \frac{1}{3} y + \frac{1}{8} \|$
$x = + y$	$(y + \frac{1}{2}) = (\frac{1}{3} y + \frac{1}{8})$
$x = - y$	$(y + \frac{1}{2}) = - (\frac{1}{3} y + \frac{1}{8})$
$+ x = y$	$(y + \frac{1}{2}) = (\frac{1}{3} y + \frac{1}{8})$
$- x = y$	$- (y + \frac{1}{2}) = (\frac{1}{3} y + \frac{1}{8})$

Cuando se simplifican, las ecuaciones $x = + y$ y $+ x = y$ son las mismas y las ecuaciones $x = - y$ y $- x = y$ son las mismas, por lo que terminamos con solo 2 ecuaciones:

$\| x \| = \| y \|$	$\| y + \frac{1}{2} \| = \| \frac{1}{3} y + \frac{1}{8} \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$(y + \frac{1}{2}) = (\frac{1}{3} y + \frac{1}{8})$
$x = - y$ , $- x = y$	$(y + \frac{1}{2}) = - (\frac{1}{3} y + \frac{1}{8})$

2. Resuelve las dos ecuaciones para y

27 pasos adicionales

$(y + \frac{1}{2}) = (\frac{1}{3} y + \frac{1}{8})$

Sustraer en ambos lados:

$(y + \frac{1}{2}) - \frac{1}{3} \cdot y = (\frac{1}{3} y + \frac{1}{8}) - \frac{1}{3} y$

Agrupar términos semejantes:

$(y + \frac{- 1}{3} \cdot y) + \frac{1}{2} = (\frac{1}{3} \cdot y + \frac{1}{8}) - \frac{1}{3} y$

Agrupar coeficientes:

$(1 + \frac{- 1}{3}) y + \frac{1}{2} = (\frac{1}{3} \cdot y + \frac{1}{8}) - \frac{1}{3} y$

Convertir el número entero en una fracción:

$(\frac{3}{3} + \frac{- 1}{3}) y + \frac{1}{2} = (\frac{1}{3} \cdot y + \frac{1}{8}) - \frac{1}{3} y$

Combinar las fracciones:

$\frac{(3 - 1)}{3} \cdot y + \frac{1}{2} = (\frac{1}{3} \cdot y + \frac{1}{8}) - \frac{1}{3} y$

Combinar los numeradores:

$\frac{2}{3} \cdot y + \frac{1}{2} = (\frac{1}{3} \cdot y + \frac{1}{8}) - \frac{1}{3} y$

Agrupar términos semejantes:

$\frac{2}{3} \cdot y + \frac{1}{2} = (\frac{1}{3} \cdot y + \frac{- 1}{3} y) + \frac{1}{8}$

Combinar las fracciones:

$\frac{2}{3} \cdot y + \frac{1}{2} = \frac{(1 - 1)}{3} y + \frac{1}{8}$

Combinar los numeradores:

$\frac{2}{3} \cdot y + \frac{1}{2} = \frac{0}{3} y + \frac{1}{8}$

Reducir el numerador cero:

$\frac{2}{3} y + \frac{1}{2} = 0 y + \frac{1}{8}$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{2}{3} y + \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$

Sustraer en ambos lados:

$(\frac{2}{3} y + \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} = (\frac{1}{8}) - \frac{1}{2}$

Combinar las fracciones:

$\frac{2}{3} y + \frac{(1 - 1)}{2} = (\frac{1}{8}) - \frac{1}{2}$

Combinar los numeradores:

$\frac{2}{3} y + \frac{0}{2} = (\frac{1}{8}) - \frac{1}{2}$

Reducir el numerador cero:

$\frac{2}{3} y + 0 = (\frac{1}{8}) - \frac{1}{2}$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{2}{3} y = (\frac{1}{8}) - \frac{1}{2}$

Averiguar el mínimo denominador común:

$\frac{2}{3} y = \frac{1}{8} + \frac{(- 1 \cdot 4)}{(2 \cdot 4)}$

Multiplicar los denominadores:

$\frac{2}{3} y = \frac{1}{8} + \frac{(- 1 \cdot 4)}{8}$

Multiplicar los numeradores:

$\frac{2}{3} y = \frac{1}{8} + \frac{- 4}{8}$

Combinar las fracciones:

$\frac{2}{3} y = \frac{(1 - 4)}{8}$

Combinar los numeradores:

$\frac{2}{3} y = \frac{- 3}{8}$

Multiplicar ambos lados por la fracción inversa :

$(\frac{2}{3} y) \cdot \frac{3}{2} = (\frac{- 3}{8}) \cdot \frac{3}{2}$

Agrupar términos semejantes:

$(\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}) y = (\frac{- 3}{8}) \cdot \frac{3}{2}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(2 \cdot 3)}{(3 \cdot 2)} y = (\frac{- 3}{8}) \cdot \frac{3}{2}$

Simplificar la fracción:

$y = (\frac{- 3}{8}) \cdot \frac{3}{2}$

Multiplicar las fracciones:

$y = \frac{(- 3 \cdot 3)}{(8 \cdot 2)}$

Simplificar la expresión aritmética:

$y = \frac{- 9}{(8 \cdot 2)}$

$y = \frac{- 9}{16}$

28 pasos adicionales

$(y + \frac{1}{2}) = - (\frac{1}{3} y + \frac{1}{8})$

Desarrollar los paréntesis:

$(y + \frac{1}{2}) = \frac{- 1}{3} y + \frac{- 1}{8}$

Sumar a ambos lados:

$(y + \frac{1}{2}) + \frac{1}{3} \cdot y = (\frac{- 1}{3} y + \frac{- 1}{8}) + \frac{1}{3} y$

Agrupar términos semejantes:

$(y + \frac{1}{3} \cdot y) + \frac{1}{2} = (\frac{- 1}{3} \cdot y + \frac{- 1}{8}) + \frac{1}{3} y$

Agrupar coeficientes:

$(1 + \frac{1}{3}) y + \frac{1}{2} = (\frac{- 1}{3} \cdot y + \frac{- 1}{8}) + \frac{1}{3} y$

Convertir el número entero en una fracción:

$(\frac{3}{3} + \frac{1}{3}) y + \frac{1}{2} = (\frac{- 1}{3} \cdot y + \frac{- 1}{8}) + \frac{1}{3} y$

Combinar las fracciones:

$\frac{(3 + 1)}{3} \cdot y + \frac{1}{2} = (\frac{- 1}{3} \cdot y + \frac{- 1}{8}) + \frac{1}{3} y$

Combinar los numeradores:

$\frac{4}{3} \cdot y + \frac{1}{2} = (\frac{- 1}{3} \cdot y + \frac{- 1}{8}) + \frac{1}{3} y$

Agrupar términos semejantes:

$\frac{4}{3} \cdot y + \frac{1}{2} = (\frac{- 1}{3} \cdot y + \frac{1}{3} y) + \frac{- 1}{8}$

Combinar las fracciones:

$\frac{4}{3} \cdot y + \frac{1}{2} = \frac{(- 1 + 1)}{3} y + \frac{- 1}{8}$

Combinar los numeradores:

$\frac{4}{3} \cdot y + \frac{1}{2} = \frac{0}{3} y + \frac{- 1}{8}$

Reducir el numerador cero:

$\frac{4}{3} y + \frac{1}{2} = 0 y + \frac{- 1}{8}$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{4}{3} y + \frac{1}{2} = \frac{- 1}{8}$

Sustraer en ambos lados:

$(\frac{4}{3} y + \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} = (\frac{- 1}{8}) - \frac{1}{2}$

Combinar las fracciones:

$\frac{4}{3} y + \frac{(1 - 1)}{2} = (\frac{- 1}{8}) - \frac{1}{2}$

Combinar los numeradores:

$\frac{4}{3} y + \frac{0}{2} = (\frac{- 1}{8}) - \frac{1}{2}$

Reducir el numerador cero:

$\frac{4}{3} y + 0 = (\frac{- 1}{8}) - \frac{1}{2}$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{4}{3} y = (\frac{- 1}{8}) - \frac{1}{2}$

Averiguar el mínimo denominador común:

$\frac{4}{3} y = \frac{- 1}{8} + \frac{(- 1 \cdot 4)}{(2 \cdot 4)}$

Multiplicar los denominadores:

$\frac{4}{3} y = \frac{- 1}{8} + \frac{(- 1 \cdot 4)}{8}$

Multiplicar los numeradores:

$\frac{4}{3} y = \frac{- 1}{8} + \frac{- 4}{8}$

Combinar las fracciones:

$\frac{4}{3} y = \frac{(- 1 - 4)}{8}$

Combinar los numeradores:

$\frac{4}{3} y = \frac{- 5}{8}$

Multiplicar ambos lados por la fracción inversa :

$(\frac{4}{3} y) \cdot \frac{3}{4} = (\frac{- 5}{8}) \cdot \frac{3}{4}$

Agrupar términos semejantes:

$(\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4}) y = (\frac{- 5}{8}) \cdot \frac{3}{4}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(4 \cdot 3)}{(3 \cdot 4)} y = (\frac{- 5}{8}) \cdot \frac{3}{4}$

Simplificar la fracción:

$y = (\frac{- 5}{8}) \cdot \frac{3}{4}$

Multiplicar las fracciones:

$y = \frac{(- 5 \cdot 3)}{(8 \cdot 4)}$

Simplificar la expresión aritmética:

$y = \frac{- 15}{(8 \cdot 4)}$

$y = \frac{- 15}{32}$

3. Lista las soluciones

$y = - \frac{9}{16}, - \frac{15}{32}$
(2 solución(es))

4. Grafica

Cada línea representa la función de un lado de la ecuación:
$y = | y + \frac{1}{2} |$
$y = | \frac{1}{3} y + \frac{1}{8} |$
La ecuación es válida donde las dos líneas se cruzan.

¿Cómo lo hicimos?

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Para qué aprender esto

Encontramos valores absolutos casi todos los días. Por ejemplo: Si caminas 3 millas a la escuela, ¿también caminas menos 3 millas cuando vuelves a casa? La respuesta es no porque las distancias utilizan el valor absoluto. El valor absoluto de la distancia entre la casa y la escuela es de 3 millas, ya sea de ida o de vuelta.
En resumen, los valores absolutos nos ayudan a lidiar con conceptos como distancia, rangos de valores posibles y desviación de un valor establecido.

Solución - Ecuaciones de valor absoluto

Explicación paso a paso

1. Reescribe la ecuación sin barras de valor absoluto

2. Resuelve las dos ecuaciones para y

3. Lista las soluciones

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