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Solución - Ecuaciones de valor absoluto

Forma exacta:

x = 8, 4

x=8 , 4

Ver los pasos

Explicación paso a paso

1. Reescribe la ecuación con un término de valor absoluto en cada lado

$| x - 2 | - 2 | x - 5 | = 0$

Sumar $2 | x - 5 |$ a ambos lados de la ecuación.

$| x - 2 | - 2 | x - 5 | + 2 | x - 5 | = 2 | x - 5 |$

Simplificar la expresión aritmética

$| x - 2 | = 2 | x - 5 |$

2. Reescribe la ecuación sin barras de valor absoluto

Usa las reglas:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ y $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
para escribir todas las cuatro opciones de la ecuación
$| x - 2 | = 2 | x - 5 |$
sin las barras de valor absoluto:

$\| x \| = \| y \|$	$\| x - 2 \| = 2 \| x - 5 \|$
$x = + y$	$(x - 2) = 2 (x - 5)$
$x = - y$	$(x - 2) = 2 (- (x - 5))$
$+ x = y$	$(x - 2) = 2 (x - 5)$
$- x = y$	$- (x - 2) = 2 (x - 5)$

Cuando se simplifican, las ecuaciones $x = + y$ y $+ x = y$ son las mismas y las ecuaciones $x = - y$ y $- x = y$ son las mismas, por lo que terminamos con solo 2 ecuaciones:

$\| x \| = \| y \|$	$\| x - 2 \| = 2 \| x - 5 \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$(x - 2) = 2 (x - 5)$
$x = - y$ , $- x = y$	$(x - 2) = 2 (- (x - 5))$

3. Resuelve las dos ecuaciones para x

12 pasos adicionales

$(x - 2) = 2 \cdot (x - 5)$

Desarrollar los paréntesis:

$(x - 2) = 2 x + 2 \cdot - 5$

Simplificar la expresión aritmética:

$(x - 2) = 2 x - 10$

Sustraer en ambos lados:

$(x - 2) - 2 x = (2 x - 10) - 2 x$

Agrupar términos semejantes:

$(x - 2 x) - 2 = (2 x - 10) - 2 x$

Simplificar la expresión aritmética:

$- x - 2 = (2 x - 10) - 2 x$

Agrupar términos semejantes:

$- x - 2 = (2 x - 2 x) - 10$

Simplificar la expresión aritmética:

$- x - 2 = - 10$

Sumar a ambos lados:

$(- x - 2) + 2 = - 10 + 2$

Simplificar la expresión aritmética:

$- x = - 10 + 2$

Simplificar la expresión aritmética:

$- x = - 8$

Multiplicar ambos lados por :

$- x \cdot - 1 = - 8 \cdot - 1$

Eliminar el/los uno(s):

$x = - 8 \cdot - 1$

Simplificar la expresión aritmética:

$x = 8$

16 pasos adicionales

$(x - 2) = 2 \cdot (- (x - 5))$

Desarrollar los paréntesis:

$(x - 2) = 2 \cdot (- x + 5)$

$(x - 2) = 2 \cdot - x + 2 \cdot 5$

Agrupar términos semejantes:

$(x - 2) = (2 \cdot - 1) x + 2 \cdot 5$

Multiplicar coeficientes:

$(x - 2) = - 2 x + 2 \cdot 5$

Simplificar la expresión aritmética:

$(x - 2) = - 2 x + 10$

Sumar a ambos lados:

$(x - 2) + 2 x = (- 2 x + 10) + 2 x$

Agrupar términos semejantes:

$(x + 2 x) - 2 = (- 2 x + 10) + 2 x$

Simplificar la expresión aritmética:

$3 x - 2 = (- 2 x + 10) + 2 x$

Agrupar términos semejantes:

$3 x - 2 = (- 2 x + 2 x) + 10$

Simplificar la expresión aritmética:

$3 x - 2 = 10$

Sumar a ambos lados:

$(3 x - 2) + 2 = 10 + 2$

Simplificar la expresión aritmética:

$3 x = 10 + 2$

Simplificar la expresión aritmética:

$3 x = 12$

Dividir ambos lados por :

$\frac{(3 x)}{3} = \frac{12}{3}$

Simplificar la fracción:

$x = \frac{12}{3}$

Averiguar el máximo común divisor del numerador y el denominador:

$x = \frac{(4 \cdot 3)}{(1 \cdot 3)}$

Descomponer y cancelar el máximo común divisor:

$x = 4$

4. Lista las soluciones

$x = 8, 4$
(2 solución(es))

5. Grafica

Cada línea representa la función de un lado de la ecuación:
$y = | x - 2 |$
$y = 2 | x - 5 |$
La ecuación es válida donde las dos líneas se cruzan.

¿Cómo lo hicimos?

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Para qué aprender esto

Encontramos valores absolutos casi todos los días. Por ejemplo: Si caminas 3 millas a la escuela, ¿también caminas menos 3 millas cuando vuelves a casa? La respuesta es no porque las distancias utilizan el valor absoluto. El valor absoluto de la distancia entre la casa y la escuela es de 3 millas, ya sea de ida o de vuelta.
En resumen, los valores absolutos nos ayudan a lidiar con conceptos como distancia, rangos de valores posibles y desviación de un valor establecido.

Solución - Ecuaciones de valor absoluto

Explicación paso a paso

1. Reescribe la ecuación con un término de valor absoluto en cada lado

2. Reescribe la ecuación sin barras de valor absoluto

3. Resuelve las dos ecuaciones para x

4. Lista las soluciones

5. Grafica

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