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Solución - Ecuaciones de valor absoluto

Forma exacta:

x = - 3, \frac{5}{3}

x=-3 , \frac{5}{3}

Forma de número mixto:

x = - 3, 1 \frac{2}{3}

x=-3 , 1\frac{2}{3}

Forma decimal:

x = - 3, 1, 667

x=-3 , 1,667

Ver los pasos

Explicación paso a paso

1. Reescribe la ecuación sin barras de valor absoluto

Usa las reglas:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ y $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
para escribir todas las cuatro opciones de la ecuación
$| x - \frac{1}{2} | = | \frac{1}{2} x - 2 |$
sin las barras de valor absoluto:

$\| x \| = \| y \|$	$\| x - \frac{1}{2} \| = \| \frac{1}{2} x - 2 \|$
$x = + y$	$(x - \frac{1}{2}) = (\frac{1}{2} x - 2)$
$x = - y$	$(x - \frac{1}{2}) = - (\frac{1}{2} x - 2)$
$+ x = y$	$(x - \frac{1}{2}) = (\frac{1}{2} x - 2)$
$- x = y$	$- (x - \frac{1}{2}) = (\frac{1}{2} x - 2)$

Cuando se simplifican, las ecuaciones $x = + y$ y $+ x = y$ son las mismas y las ecuaciones $x = - y$ y $- x = y$ son las mismas, por lo que terminamos con solo 2 ecuaciones:

$\| x \| = \| y \|$	$\| x - \frac{1}{2} \| = \| \frac{1}{2} x - 2 \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$(x - \frac{1}{2}) = (\frac{1}{2} x - 2)$
$x = - y$ , $- x = y$	$(x - \frac{1}{2}) = - (\frac{1}{2} x - 2)$

2. Resuelve las dos ecuaciones para x

24 pasos adicionales

$(x + \frac{- 1}{2}) = (\frac{1}{2} x - 2)$

Sustraer en ambos lados:

$(x + \frac{- 1}{2}) - \frac{1}{2} \cdot x = (\frac{1}{2} x - 2) - \frac{1}{2} x$

Agrupar términos semejantes:

$(x + \frac{- 1}{2} \cdot x) + \frac{- 1}{2} = (\frac{1}{2} \cdot x - 2) - \frac{1}{2} x$

Agrupar coeficientes:

$(1 + \frac{- 1}{2}) x + \frac{- 1}{2} = (\frac{1}{2} \cdot x - 2) - \frac{1}{2} x$

Convertir el número entero en una fracción:

$(\frac{2}{2} + \frac{- 1}{2}) x + \frac{- 1}{2} = (\frac{1}{2} \cdot x - 2) - \frac{1}{2} x$

Combinar las fracciones:

$\frac{(2 - 1)}{2} \cdot x + \frac{- 1}{2} = (\frac{1}{2} \cdot x - 2) - \frac{1}{2} x$

Combinar los numeradores:

$\frac{1}{2} \cdot x + \frac{- 1}{2} = (\frac{1}{2} \cdot x - 2) - \frac{1}{2} x$

Agrupar términos semejantes:

$\frac{1}{2} \cdot x + \frac{- 1}{2} = (\frac{1}{2} \cdot x + \frac{- 1}{2} x) - 2$

Combinar las fracciones:

$\frac{1}{2} \cdot x + \frac{- 1}{2} = \frac{(1 - 1)}{2} x - 2$

Combinar los numeradores:

$\frac{1}{2} \cdot x + \frac{- 1}{2} = \frac{0}{2} x - 2$

Reducir el numerador cero:

$\frac{1}{2} x + \frac{- 1}{2} = 0 x - 2$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{1}{2} x + \frac{- 1}{2} = - 2$

Sumar a ambos lados:

$(\frac{1}{2} x + \frac{- 1}{2}) + \frac{1}{2} = - 2 + \frac{1}{2}$

Combinar las fracciones:

$\frac{1}{2} x + \frac{(- 1 + 1)}{2} = - 2 + \frac{1}{2}$

Combinar los numeradores:

$\frac{1}{2} x + \frac{0}{2} = - 2 + \frac{1}{2}$

Reducir el numerador cero:

$\frac{1}{2} x + 0 = - 2 + \frac{1}{2}$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{1}{2} x = - 2 + \frac{1}{2}$

Convertir el número entero en una fracción:

$\frac{1}{2} x = \frac{- 4}{2} + \frac{1}{2}$

Combinar las fracciones:

$\frac{1}{2} x = \frac{(- 4 + 1)}{2}$

Combinar los numeradores:

$\frac{1}{2} x = \frac{- 3}{2}$

Multiplicar ambos lados por la fracción inversa :

$(\frac{1}{2} x) \cdot \frac{2}{1} = (\frac{- 3}{2}) \cdot \frac{2}{1}$

Agrupar términos semejantes:

$(\frac{1}{2} \cdot 2) x = (\frac{- 3}{2}) \cdot \frac{2}{1}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(1 \cdot 2)}{2} x = (\frac{- 3}{2}) \cdot \frac{2}{1}$

Simplificar la fracción:

$x = (\frac{- 3}{2}) \cdot \frac{2}{1}$

Multiplicar las fracciones:

$x = \frac{(- 3 \cdot 2)}{2}$

Simplificar la expresión aritmética:

$x = - 3$

25 pasos adicionales

$(x + \frac{- 1}{2}) = - (\frac{1}{2} x - 2)$

Desarrollar los paréntesis:

$(x + \frac{- 1}{2}) = \frac{- 1}{2} x + 2$

Sumar a ambos lados:

$(x + \frac{- 1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot x = (\frac{- 1}{2} x + 2) + \frac{1}{2} x$

Agrupar términos semejantes:

$(x + \frac{1}{2} \cdot x) + \frac{- 1}{2} = (\frac{- 1}{2} \cdot x + 2) + \frac{1}{2} x$

Agrupar coeficientes:

$(1 + \frac{1}{2}) x + \frac{- 1}{2} = (\frac{- 1}{2} \cdot x + 2) + \frac{1}{2} x$

Convertir el número entero en una fracción:

$(\frac{2}{2} + \frac{1}{2}) x + \frac{- 1}{2} = (\frac{- 1}{2} \cdot x + 2) + \frac{1}{2} x$

Combinar las fracciones:

$\frac{(2 + 1)}{2} \cdot x + \frac{- 1}{2} = (\frac{- 1}{2} \cdot x + 2) + \frac{1}{2} x$

Combinar los numeradores:

$\frac{3}{2} \cdot x + \frac{- 1}{2} = (\frac{- 1}{2} \cdot x + 2) + \frac{1}{2} x$

Agrupar términos semejantes:

$\frac{3}{2} \cdot x + \frac{- 1}{2} = (\frac{- 1}{2} \cdot x + \frac{1}{2} x) + 2$

Combinar las fracciones:

$\frac{3}{2} \cdot x + \frac{- 1}{2} = \frac{(- 1 + 1)}{2} x + 2$

Combinar los numeradores:

$\frac{3}{2} \cdot x + \frac{- 1}{2} = \frac{0}{2} x + 2$

Reducir el numerador cero:

$\frac{3}{2} x + \frac{- 1}{2} = 0 x + 2$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{3}{2} x + \frac{- 1}{2} = 2$

Sumar a ambos lados:

$(\frac{3}{2} x + \frac{- 1}{2}) + \frac{1}{2} = 2 + \frac{1}{2}$

Combinar las fracciones:

$\frac{3}{2} x + \frac{(- 1 + 1)}{2} = 2 + \frac{1}{2}$

Combinar los numeradores:

$\frac{3}{2} x + \frac{0}{2} = 2 + \frac{1}{2}$

Reducir el numerador cero:

$\frac{3}{2} x + 0 = 2 + \frac{1}{2}$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{3}{2} x = 2 + \frac{1}{2}$

Convertir el número entero en una fracción:

$\frac{3}{2} x = \frac{4}{2} + \frac{1}{2}$

Combinar las fracciones:

$\frac{3}{2} x = \frac{(4 + 1)}{2}$

Combinar los numeradores:

$\frac{3}{2} x = \frac{5}{2}$

Multiplicar ambos lados por la fracción inversa :

$(\frac{3}{2} x) \cdot \frac{2}{3} = (\frac{5}{2}) \cdot \frac{2}{3}$

Agrupar términos semejantes:

$(\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}) x = (\frac{5}{2}) \cdot \frac{2}{3}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(3 \cdot 2)}{(2 \cdot 3)} x = (\frac{5}{2}) \cdot \frac{2}{3}$

Simplificar la fracción:

$x = (\frac{5}{2}) \cdot \frac{2}{3}$

Multiplicar las fracciones:

$x = \frac{(5 \cdot 2)}{(2 \cdot 3)}$

Simplificar la expresión aritmética:

$x = \frac{5}{3}$

3. Lista las soluciones

$x = - 3, \frac{5}{3}$
(2 solución(es))

4. Grafica

Cada línea representa la función de un lado de la ecuación:
$y = | x - \frac{1}{2} |$
$y = | \frac{1}{2} x - 2 |$
La ecuación es válida donde las dos líneas se cruzan.

¿Cómo lo hicimos?

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Para qué aprender esto

Encontramos valores absolutos casi todos los días. Por ejemplo: Si caminas 3 millas a la escuela, ¿también caminas menos 3 millas cuando vuelves a casa? La respuesta es no porque las distancias utilizan el valor absoluto. El valor absoluto de la distancia entre la casa y la escuela es de 3 millas, ya sea de ida o de vuelta.
En resumen, los valores absolutos nos ayudan a lidiar con conceptos como distancia, rangos de valores posibles y desviación de un valor establecido.

Solución - Ecuaciones de valor absoluto

Explicación paso a paso

1. Reescribe la ecuación sin barras de valor absoluto

2. Resuelve las dos ecuaciones para x

3. Lista las soluciones

4. Grafica

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