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Solución - Ecuaciones de valor absoluto

Forma exacta:

x = \frac{100}{9}, - \frac{140}{33}

x=\frac{100}{9} , -\frac{140}{33}

Forma de número mixto:

x = 11 \frac{1}{9}, - 4 \frac{8}{33}

x=11\frac{1}{9} , -4\frac{8}{33}

Forma decimal:

x = 11, 111, - 4, 242

x=11,111 , -4,242

Ver los pasos

Explicación paso a paso

1. Reescribe la ecuación sin barras de valor absoluto

Usa las reglas:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ y $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
para escribir todas las cuatro opciones de la ecuación
$| \frac{7}{8} x + \frac{5}{6} | = | \frac{1}{2} x + 5 |$
sin las barras de valor absoluto:

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{7}{8} x + \frac{5}{6} \| = \| \frac{1}{2} x + 5 \|$
$x = + y$	$(\frac{7}{8} x + \frac{5}{6}) = (\frac{1}{2} x + 5)$
$x = - y$	$(\frac{7}{8} x + \frac{5}{6}) = - (\frac{1}{2} x + 5)$
$+ x = y$	$(\frac{7}{8} x + \frac{5}{6}) = (\frac{1}{2} x + 5)$
$- x = y$	$- (\frac{7}{8} x + \frac{5}{6}) = (\frac{1}{2} x + 5)$

Cuando se simplifican, las ecuaciones $x = + y$ y $+ x = y$ son las mismas y las ecuaciones $x = - y$ y $- x = y$ son las mismas, por lo que terminamos con solo 2 ecuaciones:

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{7}{8} x + \frac{5}{6} \| = \| \frac{1}{2} x + 5 \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$(\frac{7}{8} x + \frac{5}{6}) = (\frac{1}{2} x + 5)$
$x = - y$ , $- x = y$	$(\frac{7}{8} x + \frac{5}{6}) = - (\frac{1}{2} x + 5)$

2. Resuelve las dos ecuaciones para x

27 pasos adicionales

$(\frac{7}{8} \cdot x + \frac{5}{6}) = (\frac{1}{2} x + 5)$

Sustraer en ambos lados:

$(\frac{7}{8} x + \frac{5}{6}) - \frac{1}{2} \cdot x = (\frac{1}{2} x + 5) - \frac{1}{2} x$

Agrupar términos semejantes:

$(\frac{7}{8} \cdot x + \frac{- 1}{2} \cdot x) + \frac{5}{6} = (\frac{1}{2} \cdot x + 5) - \frac{1}{2} x$

Agrupar coeficientes:

$(\frac{7}{8} + \frac{- 1}{2}) x + \frac{5}{6} = (\frac{1}{2} \cdot x + 5) - \frac{1}{2} x$

Averiguar el mínimo denominador común:

$(\frac{7}{8} + \frac{(- 1 \cdot 4)}{(2 \cdot 4)}) x + \frac{5}{6} = (\frac{1}{2} \cdot x + 5) - \frac{1}{2} x$

Multiplicar los denominadores:

$(\frac{7}{8} + \frac{(- 1 \cdot 4)}{8}) x + \frac{5}{6} = (\frac{1}{2} \cdot x + 5) - \frac{1}{2} x$

Multiplicar los numeradores:

$(\frac{7}{8} + \frac{- 4}{8}) x + \frac{5}{6} = (\frac{1}{2} \cdot x + 5) - \frac{1}{2} x$

Combinar las fracciones:

$\frac{(7 - 4)}{8} \cdot x + \frac{5}{6} = (\frac{1}{2} \cdot x + 5) - \frac{1}{2} x$

Combinar los numeradores:

$\frac{3}{8} \cdot x + \frac{5}{6} = (\frac{1}{2} \cdot x + 5) - \frac{1}{2} x$

Agrupar términos semejantes:

$\frac{3}{8} \cdot x + \frac{5}{6} = (\frac{1}{2} \cdot x + \frac{- 1}{2} x) + 5$

Combinar las fracciones:

$\frac{3}{8} \cdot x + \frac{5}{6} = \frac{(1 - 1)}{2} x + 5$

Combinar los numeradores:

$\frac{3}{8} \cdot x + \frac{5}{6} = \frac{0}{2} x + 5$

Reducir el numerador cero:

$\frac{3}{8} x + \frac{5}{6} = 0 x + 5$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{3}{8} x + \frac{5}{6} = 5$

Sustraer en ambos lados:

$(\frac{3}{8} x + \frac{5}{6}) - \frac{5}{6} = 5 - \frac{5}{6}$

Combinar las fracciones:

$\frac{3}{8} x + \frac{(5 - 5)}{6} = 5 - \frac{5}{6}$

Combinar los numeradores:

$\frac{3}{8} x + \frac{0}{6} = 5 - \frac{5}{6}$

Reducir el numerador cero:

$\frac{3}{8} x + 0 = 5 - \frac{5}{6}$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{3}{8} x = 5 - \frac{5}{6}$

Convertir el número entero en una fracción:

$\frac{3}{8} x = \frac{30}{6} + \frac{- 5}{6}$

Combinar las fracciones:

$\frac{3}{8} x = \frac{(30 - 5)}{6}$

Combinar los numeradores:

$\frac{3}{8} x = \frac{25}{6}$

Multiplicar ambos lados por la fracción inversa :

$(\frac{3}{8} x) \cdot \frac{8}{3} = (\frac{25}{6}) \cdot \frac{8}{3}$

Agrupar términos semejantes:

$(\frac{3}{8} \cdot \frac{8}{3}) x = (\frac{25}{6}) \cdot \frac{8}{3}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(3 \cdot 8)}{(8 \cdot 3)} x = (\frac{25}{6}) \cdot \frac{8}{3}$

Simplificar la fracción:

$x = (\frac{25}{6}) \cdot \frac{8}{3}$

Multiplicar las fracciones:

$x = \frac{(25 \cdot 8)}{(6 \cdot 3)}$

Simplificar la expresión aritmética:

$x = \frac{100}{(3 \cdot 3)}$

$x = \frac{100}{9}$

28 pasos adicionales

$(\frac{7}{8} x + \frac{5}{6}) = - (\frac{1}{2} x + 5)$

Desarrollar los paréntesis:

$(\frac{7}{8} \cdot x + \frac{5}{6}) = \frac{- 1}{2} x - 5$

Sumar a ambos lados:

$(\frac{7}{8} x + \frac{5}{6}) + \frac{1}{2} \cdot x = (\frac{- 1}{2} x - 5) + \frac{1}{2} x$

Agrupar términos semejantes:

$(\frac{7}{8} \cdot x + \frac{1}{2} \cdot x) + \frac{5}{6} = (\frac{- 1}{2} \cdot x - 5) + \frac{1}{2} x$

Agrupar coeficientes:

$(\frac{7}{8} + \frac{1}{2}) x + \frac{5}{6} = (\frac{- 1}{2} \cdot x - 5) + \frac{1}{2} x$

Averiguar el mínimo denominador común:

$(\frac{7}{8} + \frac{(1 \cdot 4)}{(2 \cdot 4)}) x + \frac{5}{6} = (\frac{- 1}{2} \cdot x - 5) + \frac{1}{2} x$

Multiplicar los denominadores:

$(\frac{7}{8} + \frac{(1 \cdot 4)}{8}) x + \frac{5}{6} = (\frac{- 1}{2} \cdot x - 5) + \frac{1}{2} x$

Multiplicar los numeradores:

$(\frac{7}{8} + \frac{4}{8}) x + \frac{5}{6} = (\frac{- 1}{2} \cdot x - 5) + \frac{1}{2} x$

Combinar las fracciones:

$\frac{(7 + 4)}{8} \cdot x + \frac{5}{6} = (\frac{- 1}{2} \cdot x - 5) + \frac{1}{2} x$

Combinar los numeradores:

$\frac{11}{8} \cdot x + \frac{5}{6} = (\frac{- 1}{2} \cdot x - 5) + \frac{1}{2} x$

Agrupar términos semejantes:

$\frac{11}{8} \cdot x + \frac{5}{6} = (\frac{- 1}{2} \cdot x + \frac{1}{2} x) - 5$

Combinar las fracciones:

$\frac{11}{8} \cdot x + \frac{5}{6} = \frac{(- 1 + 1)}{2} x - 5$

Combinar los numeradores:

$\frac{11}{8} \cdot x + \frac{5}{6} = \frac{0}{2} x - 5$

Reducir el numerador cero:

$\frac{11}{8} x + \frac{5}{6} = 0 x - 5$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{11}{8} x + \frac{5}{6} = - 5$

Sustraer en ambos lados:

$(\frac{11}{8} x + \frac{5}{6}) - \frac{5}{6} = - 5 - \frac{5}{6}$

Combinar las fracciones:

$\frac{11}{8} x + \frac{(5 - 5)}{6} = - 5 - \frac{5}{6}$

Combinar los numeradores:

$\frac{11}{8} x + \frac{0}{6} = - 5 - \frac{5}{6}$

Reducir el numerador cero:

$\frac{11}{8} x + 0 = - 5 - \frac{5}{6}$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{11}{8} x = - 5 - \frac{5}{6}$

Convertir el número entero en una fracción:

$\frac{11}{8} x = \frac{- 30}{6} + \frac{- 5}{6}$

Combinar las fracciones:

$\frac{11}{8} x = \frac{(- 30 - 5)}{6}$

Combinar los numeradores:

$\frac{11}{8} x = \frac{- 35}{6}$

Multiplicar ambos lados por la fracción inversa :

$(\frac{11}{8} x) \cdot \frac{8}{11} = (\frac{- 35}{6}) \cdot \frac{8}{11}$

Agrupar términos semejantes:

$(\frac{11}{8} \cdot \frac{8}{11}) x = (\frac{- 35}{6}) \cdot \frac{8}{11}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(11 \cdot 8)}{(8 \cdot 11)} x = (\frac{- 35}{6}) \cdot \frac{8}{11}$

Simplificar la fracción:

$x = (\frac{- 35}{6}) \cdot \frac{8}{11}$

Multiplicar las fracciones:

$x = \frac{(- 35 \cdot 8)}{(6 \cdot 11)}$

Simplificar la expresión aritmética:

$x = \frac{- 140}{(3 \cdot 11)}$

$x = \frac{- 140}{33}$

3. Lista las soluciones

$x = \frac{100}{9}, - \frac{140}{33}$
(2 solución(es))

4. Grafica

Cada línea representa la función de un lado de la ecuación:
$y = | \frac{7}{8} x + \frac{5}{6} |$
$y = | \frac{1}{2} x + 5 |$
La ecuación es válida donde las dos líneas se cruzan.

¿Cómo lo hicimos?

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Para qué aprender esto

Encontramos valores absolutos casi todos los días. Por ejemplo: Si caminas 3 millas a la escuela, ¿también caminas menos 3 millas cuando vuelves a casa? La respuesta es no porque las distancias utilizan el valor absoluto. El valor absoluto de la distancia entre la casa y la escuela es de 3 millas, ya sea de ida o de vuelta.
En resumen, los valores absolutos nos ayudan a lidiar con conceptos como distancia, rangos de valores posibles y desviación de un valor establecido.

Solución - Ecuaciones de valor absoluto

Explicación paso a paso

1. Reescribe la ecuación sin barras de valor absoluto

2. Resuelve las dos ecuaciones para x

3. Lista las soluciones

4. Grafica

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