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Solución - Ecuaciones de valor absoluto

Forma exacta:

x = \frac{7}{8}, - \frac{5}{12}

x=\frac{7}{8} , -\frac{5}{12}

Forma decimal:

x = 0, 875, - 0, 417

x=0,875 , -0,417

Ver los pasos

Explicación paso a paso

1. Reescribe la ecuación con un término de valor absoluto en cada lado

$| 5 x - \frac{1}{2} | - | x + 3 | = 0$

Sumar $| x + 3 |$ a ambos lados de la ecuación.

$| 5 x - \frac{1}{2} | - | x + 3 | + | x + 3 | = | x + 3 |$

Simplificar la expresión aritmética

$| 5 x - \frac{1}{2} | = | x + 3 |$

2. Reescribe la ecuación sin barras de valor absoluto

Usa las reglas:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ y $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
para escribir todas las cuatro opciones de la ecuación
$| 5 x - \frac{1}{2} | = | x + 3 |$
sin las barras de valor absoluto:

$\| x \| = \| y \|$	$\| 5 x - \frac{1}{2} \| = \| x + 3 \|$
$x = + y$	$(5 x - \frac{1}{2}) = (x + 3)$
$x = - y$	$(5 x - \frac{1}{2}) = (- (x + 3))$
$+ x = y$	$(5 x - \frac{1}{2}) = (x + 3)$
$- x = y$	$- (5 x - \frac{1}{2}) = (x + 3)$

Cuando se simplifican, las ecuaciones $x = + y$ y $+ x = y$ son las mismas y las ecuaciones $x = - y$ y $- x = y$ son las mismas, por lo que terminamos con solo 2 ecuaciones:

$\| x \| = \| y \|$	$\| 5 x - \frac{1}{2} \| = \| x + 3 \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$(5 x - \frac{1}{2}) = (x + 3)$
$x = - y$ , $- x = y$	$(5 x - \frac{1}{2}) = (- (x + 3))$

3. Resuelve las dos ecuaciones para x

16 pasos adicionales

$(5 x + \frac{- 1}{2}) = (x + 3)$

Sustraer en ambos lados:

$(5 x + \frac{- 1}{2}) - x = (x + 3) - x$

Agrupar términos semejantes:

$(5 x - x) + \frac{- 1}{2} = (x + 3) - x$

Simplificar la expresión aritmética:

$4 x + \frac{- 1}{2} = (x + 3) - x$

Agrupar términos semejantes:

$4 x + \frac{- 1}{2} = (x - x) + 3$

Simplificar la expresión aritmética:

$4 x + \frac{- 1}{2} = 3$

Sumar a ambos lados:

$(4 x + \frac{- 1}{2}) + \frac{1}{2} = 3 + \frac{1}{2}$

Combinar las fracciones:

$4 x + \frac{(- 1 + 1)}{2} = 3 + \frac{1}{2}$

Combinar los numeradores:

$4 x + \frac{0}{2} = 3 + \frac{1}{2}$

Reducir el numerador cero:

$4 x + 0 = 3 + \frac{1}{2}$

Simplificar la expresión aritmética:

$4 x = 3 + \frac{1}{2}$

Convertir el número entero en una fracción:

$4 x = \frac{6}{2} + \frac{1}{2}$

Combinar las fracciones:

$4 x = \frac{(6 + 1)}{2}$

Combinar los numeradores:

$4 x = \frac{7}{2}$

Dividir ambos lados por :

$\frac{(4 x)}{4} = \frac{(\frac{7}{2})}{4}$

Simplificar la fracción:

$x = \frac{(\frac{7}{2})}{4}$

Simplificar la expresión aritmética:

$x = \frac{7}{(2 \cdot 4)}$

$x = \frac{7}{8}$

17 pasos adicionales

$(5 x + \frac{- 1}{2}) = - (x + 3)$

Desarrollar los paréntesis:

$(5 x + \frac{- 1}{2}) = - x - 3$

Sumar a ambos lados:

$(5 x + \frac{- 1}{2}) + x = (- x - 3) + x$

Agrupar términos semejantes:

$(5 x + x) + \frac{- 1}{2} = (- x - 3) + x$

Simplificar la expresión aritmética:

$6 x + \frac{- 1}{2} = (- x - 3) + x$

Agrupar términos semejantes:

$6 x + \frac{- 1}{2} = (- x + x) - 3$

Simplificar la expresión aritmética:

$6 x + \frac{- 1}{2} = - 3$

Sumar a ambos lados:

$(6 x + \frac{- 1}{2}) + \frac{1}{2} = - 3 + \frac{1}{2}$

Combinar las fracciones:

$6 x + \frac{(- 1 + 1)}{2} = - 3 + \frac{1}{2}$

Combinar los numeradores:

$6 x + \frac{0}{2} = - 3 + \frac{1}{2}$

Reducir el numerador cero:

$6 x + 0 = - 3 + \frac{1}{2}$

Simplificar la expresión aritmética:

$6 x = - 3 + \frac{1}{2}$

Convertir el número entero en una fracción:

$6 x = \frac{- 6}{2} + \frac{1}{2}$

Combinar las fracciones:

$6 x = \frac{(- 6 + 1)}{2}$

Combinar los numeradores:

$6 x = \frac{- 5}{2}$

Dividir ambos lados por :

$\frac{(6 x)}{6} = \frac{(\frac{- 5}{2})}{6}$

Simplificar la fracción:

$x = \frac{(\frac{- 5}{2})}{6}$

Simplificar la expresión aritmética:

$x = \frac{- 5}{(2 \cdot 6)}$

$x = \frac{- 5}{12}$

4. Lista las soluciones

$x = \frac{7}{8}, - \frac{5}{12}$
(2 solución(es))

5. Grafica

Cada línea representa la función de un lado de la ecuación:
$y = | 5 x - \frac{1}{2} |$
$y = | x + 3 |$
La ecuación es válida donde las dos líneas se cruzan.

¿Cómo lo hicimos?

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Para qué aprender esto

Encontramos valores absolutos casi todos los días. Por ejemplo: Si caminas 3 millas a la escuela, ¿también caminas menos 3 millas cuando vuelves a casa? La respuesta es no porque las distancias utilizan el valor absoluto. El valor absoluto de la distancia entre la casa y la escuela es de 3 millas, ya sea de ida o de vuelta.
En resumen, los valores absolutos nos ayudan a lidiar con conceptos como distancia, rangos de valores posibles y desviación de un valor establecido.

Solución - Ecuaciones de valor absoluto

Explicación paso a paso

1. Reescribe la ecuación con un término de valor absoluto en cada lado

2. Reescribe la ecuación sin barras de valor absoluto

3. Resuelve las dos ecuaciones para x

4. Lista las soluciones

5. Grafica

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