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Solución - Ecuaciones de valor absoluto

Forma exacta:

x = \frac{5}{24}, \frac{1}{36}

x=\frac{5}{24} , \frac{1}{36}

Forma decimal:

x = 0, 208, 0, 028

x=0,208 , 0,028

Ver los pasos

Explicación paso a paso

1. Reescribe la ecuación con un término de valor absoluto en cada lado

$| 5 x - \frac{1}{2} | - | x + \frac{1}{3} | = 0$

Sumar $| x + \frac{1}{3} |$ a ambos lados de la ecuación.

$| 5 x - \frac{1}{2} | - | x + \frac{1}{3} | + | x + \frac{1}{3} | = | x + \frac{1}{3} |$

Simplificar la expresión aritmética

$| 5 x - \frac{1}{2} | = | x + \frac{1}{3} |$

2. Reescribe la ecuación sin barras de valor absoluto

Usa las reglas:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ y $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
para escribir todas las cuatro opciones de la ecuación
$| 5 x - \frac{1}{2} | = | x + \frac{1}{3} |$
sin las barras de valor absoluto:

$\| x \| = \| y \|$	$\| 5 x - \frac{1}{2} \| = \| x + \frac{1}{3} \|$
$x = + y$	$(5 x - \frac{1}{2}) = (x + \frac{1}{3})$
$x = - y$	$(5 x - \frac{1}{2}) = (- (x + \frac{1}{3}))$
$+ x = y$	$(5 x - \frac{1}{2}) = (x + \frac{1}{3})$
$- x = y$	$- (5 x - \frac{1}{2}) = (x + \frac{1}{3})$

Cuando se simplifican, las ecuaciones $x = + y$ y $+ x = y$ son las mismas y las ecuaciones $x = - y$ y $- x = y$ son las mismas, por lo que terminamos con solo 2 ecuaciones:

$\| x \| = \| y \|$	$\| 5 x - \frac{1}{2} \| = \| x + \frac{1}{3} \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$(5 x - \frac{1}{2}) = (x + \frac{1}{3})$
$x = - y$ , $- x = y$	$(5 x - \frac{1}{2}) = (- (x + \frac{1}{3}))$

3. Resuelve las dos ecuaciones para x

18 pasos adicionales

$(5 x + \frac{- 1}{2}) = (x + \frac{1}{3})$

Sustraer en ambos lados:

$(5 x + \frac{- 1}{2}) - x = (x + \frac{1}{3}) - x$

Agrupar términos semejantes:

$(5 x - x) + \frac{- 1}{2} = (x + \frac{1}{3}) - x$

Simplificar la expresión aritmética:

$4 x + \frac{- 1}{2} = (x + \frac{1}{3}) - x$

Agrupar términos semejantes:

$4 x + \frac{- 1}{2} = (x - x) + \frac{1}{3}$

Simplificar la expresión aritmética:

$4 x + \frac{- 1}{2} = \frac{1}{3}$

Sumar a ambos lados:

$(4 x + \frac{- 1}{2}) + \frac{1}{2} = (\frac{1}{3}) + \frac{1}{2}$

Combinar las fracciones:

$4 x + \frac{(- 1 + 1)}{2} = (\frac{1}{3}) + \frac{1}{2}$

Combinar los numeradores:

$4 x + \frac{0}{2} = (\frac{1}{3}) + \frac{1}{2}$

Reducir el numerador cero:

$4 x + 0 = (\frac{1}{3}) + \frac{1}{2}$

Simplificar la expresión aritmética:

$4 x = (\frac{1}{3}) + \frac{1}{2}$

Averiguar el mínimo denominador común:

$4 x = \frac{(1 \cdot 2)}{(3 \cdot 2)} + \frac{(1 \cdot 3)}{(2 \cdot 3)}$

Multiplicar los denominadores:

$4 x = \frac{(1 \cdot 2)}{6} + \frac{(1 \cdot 3)}{6}$

Multiplicar los numeradores:

$4 x = \frac{2}{6} + \frac{3}{6}$

Combinar las fracciones:

$4 x = \frac{(2 + 3)}{6}$

Combinar los numeradores:

$4 x = \frac{5}{6}$

Dividir ambos lados por :

$\frac{(4 x)}{4} = \frac{(\frac{5}{6})}{4}$

Simplificar la fracción:

$x = \frac{(\frac{5}{6})}{4}$

Simplificar la expresión aritmética:

$x = \frac{5}{(6 \cdot 4)}$

$x = \frac{5}{24}$

19 pasos adicionales

$(5 x + \frac{- 1}{2}) = - (x + \frac{1}{3})$

Desarrollar los paréntesis:

$(5 x + \frac{- 1}{2}) = - x + \frac{- 1}{3}$

Sumar a ambos lados:

$(5 x + \frac{- 1}{2}) + x = (- x + \frac{- 1}{3}) + x$

Agrupar términos semejantes:

$(5 x + x) + \frac{- 1}{2} = (- x + \frac{- 1}{3}) + x$

Simplificar la expresión aritmética:

$6 x + \frac{- 1}{2} = (- x + \frac{- 1}{3}) + x$

Agrupar términos semejantes:

$6 x + \frac{- 1}{2} = (- x + x) + \frac{- 1}{3}$

Simplificar la expresión aritmética:

$6 x + \frac{- 1}{2} = \frac{- 1}{3}$

Sumar a ambos lados:

$(6 x + \frac{- 1}{2}) + \frac{1}{2} = (\frac{- 1}{3}) + \frac{1}{2}$

Combinar las fracciones:

$6 x + \frac{(- 1 + 1)}{2} = (\frac{- 1}{3}) + \frac{1}{2}$

Combinar los numeradores:

$6 x + \frac{0}{2} = (\frac{- 1}{3}) + \frac{1}{2}$

Reducir el numerador cero:

$6 x + 0 = (\frac{- 1}{3}) + \frac{1}{2}$

Simplificar la expresión aritmética:

$6 x = (\frac{- 1}{3}) + \frac{1}{2}$

Averiguar el mínimo denominador común:

$6 x = \frac{(- 1 \cdot 2)}{(3 \cdot 2)} + \frac{(1 \cdot 3)}{(2 \cdot 3)}$

Multiplicar los denominadores:

$6 x = \frac{(- 1 \cdot 2)}{6} + \frac{(1 \cdot 3)}{6}$

Multiplicar los numeradores:

$6 x = \frac{- 2}{6} + \frac{3}{6}$

Combinar las fracciones:

$6 x = \frac{(- 2 + 3)}{6}$

Combinar los numeradores:

$6 x = \frac{1}{6}$

Dividir ambos lados por :

$\frac{(6 x)}{6} = \frac{(\frac{1}{6})}{6}$

Simplificar la fracción:

$x = \frac{(\frac{1}{6})}{6}$

Simplificar la expresión aritmética:

$x = \frac{1}{(6 \cdot 6)}$

$x = \frac{1}{36}$

4. Lista las soluciones

$x = \frac{5}{24}, \frac{1}{36}$
(2 solución(es))

5. Grafica

Cada línea representa la función de un lado de la ecuación:
$y = | 5 x - \frac{1}{2} |$
$y = | x + \frac{1}{3} |$
La ecuación es válida donde las dos líneas se cruzan.

¿Cómo lo hicimos?

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Para qué aprender esto

Encontramos valores absolutos casi todos los días. Por ejemplo: Si caminas 3 millas a la escuela, ¿también caminas menos 3 millas cuando vuelves a casa? La respuesta es no porque las distancias utilizan el valor absoluto. El valor absoluto de la distancia entre la casa y la escuela es de 3 millas, ya sea de ida o de vuelta.
En resumen, los valores absolutos nos ayudan a lidiar con conceptos como distancia, rangos de valores posibles y desviación de un valor establecido.

Solución - Ecuaciones de valor absoluto

Explicación paso a paso

1. Reescribe la ecuación con un término de valor absoluto en cada lado

2. Reescribe la ecuación sin barras de valor absoluto

3. Resuelve las dos ecuaciones para x

4. Lista las soluciones

5. Grafica

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Conceptos y temas

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