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Solución - Ecuaciones de valor absoluto

Forma exacta:

x = \frac{44}{3}, - \frac{56}{13}

x=\frac{44}{3} , -\frac{56}{13}

Forma de número mixto:

x = 14 \frac{2}{3}, - 4 \frac{4}{13}

x=14\frac{2}{3} , -4\frac{4}{13}

Forma decimal:

x = 14, 667, - 4, 308

x=14,667 , -4,308

Ver los pasos

Explicación paso a paso

1. Reescribe la ecuación sin barras de valor absoluto

Usa las reglas:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ y $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
para escribir todas las cuatro opciones de la ecuación
$| \frac{4}{5} x + \frac{3}{5} | = | \frac{1}{2} x + 5 |$
sin las barras de valor absoluto:

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{4}{5} x + \frac{3}{5} \| = \| \frac{1}{2} x + 5 \|$
$x = + y$	$(\frac{4}{5} x + \frac{3}{5}) = (\frac{1}{2} x + 5)$
$x = - y$	$(\frac{4}{5} x + \frac{3}{5}) = - (\frac{1}{2} x + 5)$
$+ x = y$	$(\frac{4}{5} x + \frac{3}{5}) = (\frac{1}{2} x + 5)$
$- x = y$	$- (\frac{4}{5} x + \frac{3}{5}) = (\frac{1}{2} x + 5)$

Cuando se simplifican, las ecuaciones $x = + y$ y $+ x = y$ son las mismas y las ecuaciones $x = - y$ y $- x = y$ son las mismas, por lo que terminamos con solo 2 ecuaciones:

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{4}{5} x + \frac{3}{5} \| = \| \frac{1}{2} x + 5 \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$(\frac{4}{5} x + \frac{3}{5}) = (\frac{1}{2} x + 5)$
$x = - y$ , $- x = y$	$(\frac{4}{5} x + \frac{3}{5}) = - (\frac{1}{2} x + 5)$

2. Resuelve las dos ecuaciones para x

26 pasos adicionales

$(\frac{4}{5} \cdot x + \frac{3}{5}) = (\frac{1}{2} x + 5)$

Sustraer en ambos lados:

$(\frac{4}{5} x + \frac{3}{5}) - \frac{1}{2} \cdot x = (\frac{1}{2} x + 5) - \frac{1}{2} x$

Agrupar términos semejantes:

$(\frac{4}{5} \cdot x + \frac{- 1}{2} \cdot x) + \frac{3}{5} = (\frac{1}{2} \cdot x + 5) - \frac{1}{2} x$

Agrupar coeficientes:

$(\frac{4}{5} + \frac{- 1}{2}) x + \frac{3}{5} = (\frac{1}{2} \cdot x + 5) - \frac{1}{2} x$

Averiguar el mínimo denominador común:

$(\frac{(4 \cdot 2)}{(5 \cdot 2)} + \frac{(- 1 \cdot 5)}{(2 \cdot 5)}) x + \frac{3}{5} = (\frac{1}{2} \cdot x + 5) - \frac{1}{2} x$

Multiplicar los denominadores:

$(\frac{(4 \cdot 2)}{10} + \frac{(- 1 \cdot 5)}{10}) x + \frac{3}{5} = (\frac{1}{2} \cdot x + 5) - \frac{1}{2} x$

Multiplicar los numeradores:

$(\frac{8}{10} + \frac{- 5}{10}) x + \frac{3}{5} = (\frac{1}{2} \cdot x + 5) - \frac{1}{2} x$

Combinar las fracciones:

$\frac{(8 - 5)}{10} \cdot x + \frac{3}{5} = (\frac{1}{2} \cdot x + 5) - \frac{1}{2} x$

Combinar los numeradores:

$\frac{3}{10} \cdot x + \frac{3}{5} = (\frac{1}{2} \cdot x + 5) - \frac{1}{2} x$

Agrupar términos semejantes:

$\frac{3}{10} \cdot x + \frac{3}{5} = (\frac{1}{2} \cdot x + \frac{- 1}{2} x) + 5$

Combinar las fracciones:

$\frac{3}{10} \cdot x + \frac{3}{5} = \frac{(1 - 1)}{2} x + 5$

Combinar los numeradores:

$\frac{3}{10} \cdot x + \frac{3}{5} = \frac{0}{2} x + 5$

Reducir el numerador cero:

$\frac{3}{10} x + \frac{3}{5} = 0 x + 5$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{3}{10} x + \frac{3}{5} = 5$

Sustraer en ambos lados:

$(\frac{3}{10} x + \frac{3}{5}) - \frac{3}{5} = 5 - \frac{3}{5}$

Combinar las fracciones:

$\frac{3}{10} x + \frac{(3 - 3)}{5} = 5 - \frac{3}{5}$

Combinar los numeradores:

$\frac{3}{10} x + \frac{0}{5} = 5 - \frac{3}{5}$

Reducir el numerador cero:

$\frac{3}{10} x + 0 = 5 - \frac{3}{5}$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{3}{10} x = 5 - \frac{3}{5}$

Convertir el número entero en una fracción:

$\frac{3}{10} x = \frac{25}{5} + \frac{- 3}{5}$

Combinar las fracciones:

$\frac{3}{10} x = \frac{(25 - 3)}{5}$

Combinar los numeradores:

$\frac{3}{10} x = \frac{22}{5}$

Multiplicar ambos lados por la fracción inversa :

$(\frac{3}{10} x) \cdot \frac{10}{3} = (\frac{22}{5}) \cdot \frac{10}{3}$

Agrupar términos semejantes:

$(\frac{3}{10} \cdot \frac{10}{3}) x = (\frac{22}{5}) \cdot \frac{10}{3}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(3 \cdot 10)}{(10 \cdot 3)} x = (\frac{22}{5}) \cdot \frac{10}{3}$

Simplificar la fracción:

$x = (\frac{22}{5}) \cdot \frac{10}{3}$

Multiplicar las fracciones:

$x = \frac{(22 \cdot 10)}{(5 \cdot 3)}$

Simplificar la expresión aritmética:

$x = \frac{44}{3}$

27 pasos adicionales

$(\frac{4}{5} x + \frac{3}{5}) = - (\frac{1}{2} x + 5)$

Desarrollar los paréntesis:

$(\frac{4}{5} \cdot x + \frac{3}{5}) = \frac{- 1}{2} x - 5$

Sumar a ambos lados:

$(\frac{4}{5} x + \frac{3}{5}) + \frac{1}{2} \cdot x = (\frac{- 1}{2} x - 5) + \frac{1}{2} x$

Agrupar términos semejantes:

$(\frac{4}{5} \cdot x + \frac{1}{2} \cdot x) + \frac{3}{5} = (\frac{- 1}{2} \cdot x - 5) + \frac{1}{2} x$

Agrupar coeficientes:

$(\frac{4}{5} + \frac{1}{2}) x + \frac{3}{5} = (\frac{- 1}{2} \cdot x - 5) + \frac{1}{2} x$

Averiguar el mínimo denominador común:

$(\frac{(4 \cdot 2)}{(5 \cdot 2)} + \frac{(1 \cdot 5)}{(2 \cdot 5)}) x + \frac{3}{5} = (\frac{- 1}{2} \cdot x - 5) + \frac{1}{2} x$

Multiplicar los denominadores:

$(\frac{(4 \cdot 2)}{10} + \frac{(1 \cdot 5)}{10}) x + \frac{3}{5} = (\frac{- 1}{2} \cdot x - 5) + \frac{1}{2} x$

Multiplicar los numeradores:

$(\frac{8}{10} + \frac{5}{10}) x + \frac{3}{5} = (\frac{- 1}{2} \cdot x - 5) + \frac{1}{2} x$

Combinar las fracciones:

$\frac{(8 + 5)}{10} \cdot x + \frac{3}{5} = (\frac{- 1}{2} \cdot x - 5) + \frac{1}{2} x$

Combinar los numeradores:

$\frac{13}{10} \cdot x + \frac{3}{5} = (\frac{- 1}{2} \cdot x - 5) + \frac{1}{2} x$

Agrupar términos semejantes:

$\frac{13}{10} \cdot x + \frac{3}{5} = (\frac{- 1}{2} \cdot x + \frac{1}{2} x) - 5$

Combinar las fracciones:

$\frac{13}{10} \cdot x + \frac{3}{5} = \frac{(- 1 + 1)}{2} x - 5$

Combinar los numeradores:

$\frac{13}{10} \cdot x + \frac{3}{5} = \frac{0}{2} x - 5$

Reducir el numerador cero:

$\frac{13}{10} x + \frac{3}{5} = 0 x - 5$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{13}{10} x + \frac{3}{5} = - 5$

Sustraer en ambos lados:

$(\frac{13}{10} x + \frac{3}{5}) - \frac{3}{5} = - 5 - \frac{3}{5}$

Combinar las fracciones:

$\frac{13}{10} x + \frac{(3 - 3)}{5} = - 5 - \frac{3}{5}$

Combinar los numeradores:

$\frac{13}{10} x + \frac{0}{5} = - 5 - \frac{3}{5}$

Reducir el numerador cero:

$\frac{13}{10} x + 0 = - 5 - \frac{3}{5}$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{13}{10} x = - 5 - \frac{3}{5}$

Convertir el número entero en una fracción:

$\frac{13}{10} x = \frac{- 25}{5} + \frac{- 3}{5}$

Combinar las fracciones:

$\frac{13}{10} x = \frac{(- 25 - 3)}{5}$

Combinar los numeradores:

$\frac{13}{10} x = \frac{- 28}{5}$

Multiplicar ambos lados por la fracción inversa :

$(\frac{13}{10} x) \cdot \frac{10}{13} = (\frac{- 28}{5}) \cdot \frac{10}{13}$

Agrupar términos semejantes:

$(\frac{13}{10} \cdot \frac{10}{13}) x = (\frac{- 28}{5}) \cdot \frac{10}{13}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(13 \cdot 10)}{(10 \cdot 13)} x = (\frac{- 28}{5}) \cdot \frac{10}{13}$

Simplificar la fracción:

$x = (\frac{- 28}{5}) \cdot \frac{10}{13}$

Multiplicar las fracciones:

$x = \frac{(- 28 \cdot 10)}{(5 \cdot 13)}$

Simplificar la expresión aritmética:

$x = \frac{- 56}{13}$

3. Lista las soluciones

$x = \frac{44}{3}, - \frac{56}{13}$
(2 solución(es))

4. Grafica

Cada línea representa la función de un lado de la ecuación:
$y = | \frac{4}{5} x + \frac{3}{5} |$
$y = | \frac{1}{2} x + 5 |$
La ecuación es válida donde las dos líneas se cruzan.

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Para qué aprender esto

Encontramos valores absolutos casi todos los días. Por ejemplo: Si caminas 3 millas a la escuela, ¿también caminas menos 3 millas cuando vuelves a casa? La respuesta es no porque las distancias utilizan el valor absoluto. El valor absoluto de la distancia entre la casa y la escuela es de 3 millas, ya sea de ida o de vuelta.
En resumen, los valores absolutos nos ayudan a lidiar con conceptos como distancia, rangos de valores posibles y desviación de un valor establecido.

Solución - Ecuaciones de valor absoluto

Explicación paso a paso

1. Reescribe la ecuación sin barras de valor absoluto

2. Resuelve las dos ecuaciones para x

3. Lista las soluciones

4. Grafica

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