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Solución - Ecuaciones de valor absoluto

Forma exacta:

x = - 2, \frac{2}{7}

x=-2 , \frac{2}{7}

Forma decimal:

x = - 2, 0, 286

x=-2 , 0,286

Explicación paso a paso

1. Reescribe la ecuación con un término de valor absoluto en cada lado

$| 3 x - 2 | - | 4 x | = 0$

Sumar $| 4 x |$ a ambos lados de la ecuación.

$| 3 x - 2 | - | 4 x | + | 4 x | = | 4 x |$

Simplificar la expresión aritmética

$| 3 x - 2 | = | 4 x |$

2. Reescribe la ecuación sin barras de valor absoluto

Usa las reglas:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ y $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
para escribir todas las cuatro opciones de la ecuación
$| 3 x - 2 | = | 4 x |$
sin las barras de valor absoluto:

$\| x \| = \| y \|$	$\| 3 x - 2 \| = \| 4 x \|$
$x = + y$	$(3 x - 2) = (4 x)$
$x = - y$	$(3 x - 2) = (- (4 x))$
$+ x = y$	$(3 x - 2) = (4 x)$
$- x = y$	$- (3 x - 2) = (4 x)$

Cuando se simplifican, las ecuaciones $x = + y$ y $+ x = y$ son las mismas y las ecuaciones $x = - y$ y $- x = y$ son las mismas, por lo que terminamos con solo 2 ecuaciones:

$\| x \| = \| y \|$	$\| 3 x - 2 \| = \| 4 x \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$(3 x - 2) = (4 x)$
$x = - y$ , $- x = y$	$(3 x - 2) = (- (4 x))$

3. Resuelve las dos ecuaciones para x

9 pasos adicionales

$(3 x - 2) = 4 x$

Sustraer en ambos lados:

$(3 x - 2) - 4 x = (4 x) - 4 x$

Agrupar términos semejantes:

$(3 x - 4 x) - 2 = (4 x) - 4 x$

Simplificar la expresión aritmética:

$- x - 2 = (4 x) - 4 x$

Simplificar la expresión aritmética:

$- x - 2 = 0$

Sumar a ambos lados:

$(- x - 2) + 2 = 0 + 2$

Simplificar la expresión aritmética:

$- x = 0 + 2$

Simplificar la expresión aritmética:

$- x = 2$

Multiplicar ambos lados por :

$- x \cdot - 1 = 2 \cdot - 1$

Eliminar el/los uno(s):

$x = 2 \cdot - 1$

Simplificar la expresión aritmética:

$x = - 2$

7 pasos adicionales

$(3 x - 2) = - 4 x$

Sumar a ambos lados:

$(3 x - 2) + 2 = (- 4 x) + 2$

Simplificar la expresión aritmética:

$3 x = (- 4 x) + 2$

Sumar a ambos lados:

$(3 x) + 4 x = ((- 4 x) + 2) + 4 x$

Simplificar la expresión aritmética:

$7 x = ((- 4 x) + 2) + 4 x$

Agrupar términos semejantes:

$7 x = (- 4 x + 4 x) + 2$

Simplificar la expresión aritmética:

$7 x = 2$

Dividir ambos lados por :

$\frac{(7 x)}{7} = \frac{2}{7}$

Simplificar la fracción:

$x = \frac{2}{7}$

4. Lista las soluciones

$x = - 2, \frac{2}{7}$
(2 solución(es))

5. Grafica

Cada línea representa la función de un lado de la ecuación:
$y = | 3 x - 2 |$
$y = | 4 x |$
La ecuación es válida donde las dos líneas se cruzan.

¿Cómo lo hicimos?

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Para qué aprender esto

Encontramos valores absolutos casi todos los días. Por ejemplo: Si caminas 3 millas a la escuela, ¿también caminas menos 3 millas cuando vuelves a casa? La respuesta es no porque las distancias utilizan el valor absoluto. El valor absoluto de la distancia entre la casa y la escuela es de 3 millas, ya sea de ida o de vuelta.
En resumen, los valores absolutos nos ayudan a lidiar con conceptos como distancia, rangos de valores posibles y desviación de un valor establecido.

Conceptos y temas

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