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Solución - Ecuaciones de valor absoluto

Forma exacta:

x = \frac{3}{7}, \frac{5}{9}

x=\frac{3}{7} , \frac{5}{9}

Forma decimal:

x = 0, 429, 0, 556

x=0,429 , 0,556

Ver los pasos

Explicación paso a paso

1. Reescribe la ecuación sin barras de valor absoluto

Usa las reglas:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ y $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
para escribir todas las cuatro opciones de la ecuación
$| 2 x - 1 | = \frac{1}{4} | x - 1 |$
sin las barras de valor absoluto:

$\| x \| = \| y \|$	$\| 2 x - 1 \| = \frac{1}{4} \| x - 1 \|$
$x = + y$	$(2 x - 1) = \frac{1}{4} (x - 1)$
$x = - y$	$(2 x - 1) = \frac{1}{4} (- (x - 1))$
$+ x = y$	$(2 x - 1) = \frac{1}{4} (x - 1)$
$- x = y$	$- (2 x - 1) = \frac{1}{4} (x - 1)$

Cuando se simplifican, las ecuaciones $x = + y$ y $+ x = y$ son las mismas y las ecuaciones $x = - y$ y $- x = y$ son las mismas, por lo que terminamos con solo 2 ecuaciones:

$\| x \| = \| y \|$	$\| 2 x - 1 \| = \frac{1}{4} \| x - 1 \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$(2 x - 1) = \frac{1}{4} (x - 1)$
$x = - y$ , $- x = y$	$(2 x - 1) = \frac{1}{4} (- (x - 1))$

2. Resuelve las dos ecuaciones para x

23 pasos adicionales

$(2 x - 1) = \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$

Multiplicar las fracciones:

$(2 x - 1) = \frac{(1 \cdot (x - 1))}{4}$

Fragmentar la fracción:

$(2 x - 1) = \frac{x}{4} + \frac{- 1}{4}$

Sustraer en ambos lados:

$(2 x - 1) - \frac{x}{4} = (\frac{x}{4} + \frac{- 1}{4}) - \frac{x}{4}$

Agrupar términos semejantes:

$(2 x + \frac{- 1}{4} x) - 1 = (\frac{x}{4} + \frac{- 1}{4}) - \frac{x}{4}$

Agrupar coeficientes:

$(2 + \frac{- 1}{4}) x - 1 = (\frac{x}{4} + \frac{- 1}{4}) - \frac{x}{4}$

Convertir el número entero en una fracción:

$(\frac{8}{4} + \frac{- 1}{4}) x - 1 = (\frac{x}{4} + \frac{- 1}{4}) - \frac{x}{4}$

Combinar las fracciones:

$\frac{(8 - 1)}{4} x - 1 = (\frac{x}{4} + \frac{- 1}{4}) - \frac{x}{4}$

Combinar los numeradores:

$\frac{7}{4} x - 1 = (\frac{x}{4} + \frac{- 1}{4}) - \frac{x}{4}$

Agrupar términos semejantes:

$\frac{7}{4} \cdot x - 1 = (\frac{x}{4} + \frac{- 1}{4} x) + \frac{- 1}{4}$

Combinar las fracciones:

$\frac{7}{4} \cdot x - 1 = \frac{(1 - 1)}{4} x + \frac{- 1}{4}$

Combinar los numeradores:

$\frac{7}{4} \cdot x - 1 = \frac{0}{4} x + \frac{- 1}{4}$

Reducir el numerador cero:

$\frac{7}{4} x - 1 = 0 x + \frac{- 1}{4}$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{7}{4} x - 1 = \frac{- 1}{4}$

Sumar a ambos lados:

$(\frac{7}{4} x - 1) + 1 = (\frac{- 1}{4}) + 1$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{7}{4} x = (\frac{- 1}{4}) + 1$

Convertir el número entero en una fracción:

$\frac{7}{4} x = \frac{- 1}{4} + \frac{4}{4}$

Combinar las fracciones:

$\frac{7}{4} x = \frac{(- 1 + 4)}{4}$

Combinar los numeradores:

$\frac{7}{4} x = \frac{3}{4}$

Multiplicar ambos lados por la fracción inversa :

$(\frac{7}{4} x) \cdot \frac{4}{7} = (\frac{3}{4}) \cdot \frac{4}{7}$

Agrupar términos semejantes:

$(\frac{7}{4} \cdot \frac{4}{7}) x = (\frac{3}{4}) \cdot \frac{4}{7}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(7 \cdot 4)}{(4 \cdot 7)} x = (\frac{3}{4}) \cdot \frac{4}{7}$

Simplificar la fracción:

$x = (\frac{3}{4}) \cdot \frac{4}{7}$

Multiplicar las fracciones:

$x = \frac{(3 \cdot 4)}{(4 \cdot 7)}$

Simplificar la expresión aritmética:

$x = \frac{3}{7}$

24 pasos adicionales

$(2 x - 1) = \frac{1}{4} \cdot (- (x - 1))$

Multiplicar las fracciones:

$(2 x - 1) = \frac{(1 \cdot (- (x - 1)))}{4}$

Desarrollar los paréntesis:

$(2 x - 1) = \frac{(- x + 1)}{4}$

Fragmentar la fracción:

$(2 x - 1) = \frac{- x}{4} + \frac{1}{4}$

Sumar a ambos lados:

$(2 x - 1) + \frac{1}{4} \cdot x = (\frac{- x}{4} + \frac{1}{4}) + \frac{1}{4} x$

Agrupar términos semejantes:

$(2 x + \frac{1}{4} \cdot x) - 1 = (\frac{- x}{4} + \frac{1}{4}) + \frac{1}{4} x$

Agrupar coeficientes:

$(2 + \frac{1}{4}) x - 1 = (\frac{- x}{4} + \frac{1}{4}) + \frac{1}{4} x$

Convertir el número entero en una fracción:

$(\frac{8}{4} + \frac{1}{4}) x - 1 = (\frac{- x}{4} + \frac{1}{4}) + \frac{1}{4} x$

Combinar las fracciones:

$\frac{(8 + 1)}{4} \cdot x - 1 = (\frac{- x}{4} + \frac{1}{4}) + \frac{1}{4} x$

Combinar los numeradores:

$\frac{9}{4} \cdot x - 1 = (\frac{- x}{4} + \frac{1}{4}) + \frac{1}{4} x$

Agrupar términos semejantes:

$\frac{9}{4} \cdot x - 1 = (\frac{- x}{4} + \frac{1}{4} x) + \frac{1}{4}$

Combinar las fracciones:

$\frac{9}{4} \cdot x - 1 = \frac{(- 1 + 1)}{4} x + \frac{1}{4}$

Combinar los numeradores:

$\frac{9}{4} \cdot x - 1 = \frac{0}{4} x + \frac{1}{4}$

Reducir el numerador cero:

$\frac{9}{4} x - 1 = 0 x + \frac{1}{4}$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{9}{4} x - 1 = \frac{1}{4}$

Sumar a ambos lados:

$(\frac{9}{4} x - 1) + 1 = (\frac{1}{4}) + 1$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{9}{4} x = (\frac{1}{4}) + 1$

Convertir el número entero en una fracción:

$\frac{9}{4} x = \frac{1}{4} + \frac{4}{4}$

Combinar las fracciones:

$\frac{9}{4} x = \frac{(1 + 4)}{4}$

Combinar los numeradores:

$\frac{9}{4} x = \frac{5}{4}$

Multiplicar ambos lados por la fracción inversa :

$(\frac{9}{4} x) \cdot \frac{4}{9} = (\frac{5}{4}) \cdot \frac{4}{9}$

Agrupar términos semejantes:

$(\frac{9}{4} \cdot \frac{4}{9}) x = (\frac{5}{4}) \cdot \frac{4}{9}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(9 \cdot 4)}{(4 \cdot 9)} x = (\frac{5}{4}) \cdot \frac{4}{9}$

Simplificar la fracción:

$x = (\frac{5}{4}) \cdot \frac{4}{9}$

Multiplicar las fracciones:

$x = \frac{(5 \cdot 4)}{(4 \cdot 9)}$

Simplificar la expresión aritmética:

$x = \frac{5}{9}$

3. Lista las soluciones

$x = \frac{3}{7}, \frac{5}{9}$
(2 solución(es))

4. Grafica

Cada línea representa la función de un lado de la ecuación:
$y = | 2 x - 1 |$
$y = \frac{1}{4} | x - 1 |$
La ecuación es válida donde las dos líneas se cruzan.

¿Cómo lo hicimos?

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Para qué aprender esto

Encontramos valores absolutos casi todos los días. Por ejemplo: Si caminas 3 millas a la escuela, ¿también caminas menos 3 millas cuando vuelves a casa? La respuesta es no porque las distancias utilizan el valor absoluto. El valor absoluto de la distancia entre la casa y la escuela es de 3 millas, ya sea de ida o de vuelta.
En resumen, los valores absolutos nos ayudan a lidiar con conceptos como distancia, rangos de valores posibles y desviación de un valor establecido.

Solución - Ecuaciones de valor absoluto

Explicación paso a paso

1. Reescribe la ecuación sin barras de valor absoluto

2. Resuelve las dos ecuaciones para x

3. Lista las soluciones

4. Grafica

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