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Solución - Ecuaciones de valor absoluto

Forma exacta:

x = \frac{20}{3}, - \frac{36}{5}

x=\frac{20}{3} , -\frac{36}{5}

Forma de número mixto:

x = 6 \frac{2}{3}, - 7 \frac{1}{5}

x=6\frac{2}{3} , -7\frac{1}{5}

Forma decimal:

x = 6, 667, - 7, 2

x=6,667 , -7,2

Ver los pasos

Explicación paso a paso

1. Reescribe la ecuación sin barras de valor absoluto

Usa las reglas:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ y $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
para escribir todas las cuatro opciones de la ecuación
$| 2 x + 4 | = | \frac{1}{2} x + 14 |$
sin las barras de valor absoluto:

$\| x \| = \| y \|$	$\| 2 x + 4 \| = \| \frac{1}{2} x + 14 \|$
$x = + y$	$(2 x + 4) = (\frac{1}{2} x + 14)$
$x = - y$	$(2 x + 4) = - (\frac{1}{2} x + 14)$
$+ x = y$	$(2 x + 4) = (\frac{1}{2} x + 14)$
$- x = y$	$- (2 x + 4) = (\frac{1}{2} x + 14)$

Cuando se simplifican, las ecuaciones $x = + y$ y $+ x = y$ son las mismas y las ecuaciones $x = - y$ y $- x = y$ son las mismas, por lo que terminamos con solo 2 ecuaciones:

$\| x \| = \| y \|$	$\| 2 x + 4 \| = \| \frac{1}{2} x + 14 \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$(2 x + 4) = (\frac{1}{2} x + 14)$
$x = - y$ , $- x = y$	$(2 x + 4) = - (\frac{1}{2} x + 14)$

2. Resuelve las dos ecuaciones para x

19 pasos adicionales

$(2 x + 4) = (\frac{1}{2} x + 14)$

Sustraer en ambos lados:

$(2 x + 4) - \frac{1}{2} \cdot x = (\frac{1}{2} x + 14) - \frac{1}{2} x$

Agrupar términos semejantes:

$(2 x + \frac{- 1}{2} \cdot x) + 4 = (\frac{1}{2} \cdot x + 14) - \frac{1}{2} x$

Agrupar coeficientes:

$(2 + \frac{- 1}{2}) x + 4 = (\frac{1}{2} \cdot x + 14) - \frac{1}{2} x$

Convertir el número entero en una fracción:

$(\frac{4}{2} + \frac{- 1}{2}) x + 4 = (\frac{1}{2} \cdot x + 14) - \frac{1}{2} x$

Combinar las fracciones:

$\frac{(4 - 1)}{2} \cdot x + 4 = (\frac{1}{2} \cdot x + 14) - \frac{1}{2} x$

Combinar los numeradores:

$\frac{3}{2} \cdot x + 4 = (\frac{1}{2} \cdot x + 14) - \frac{1}{2} x$

Agrupar términos semejantes:

$\frac{3}{2} \cdot x + 4 = (\frac{1}{2} \cdot x + \frac{- 1}{2} x) + 14$

Combinar las fracciones:

$\frac{3}{2} \cdot x + 4 = \frac{(1 - 1)}{2} x + 14$

Combinar los numeradores:

$\frac{3}{2} \cdot x + 4 = \frac{0}{2} x + 14$

Reducir el numerador cero:

$\frac{3}{2} x + 4 = 0 x + 14$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{3}{2} x + 4 = 14$

Sustraer en ambos lados:

$(\frac{3}{2} x + 4) - 4 = 14 - 4$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{3}{2} x = 14 - 4$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{3}{2} x = 10$

Multiplicar ambos lados por la fracción inversa :

$(\frac{3}{2} x) \cdot \frac{2}{3} = 10 \cdot \frac{2}{3}$

Agrupar términos semejantes:

$(\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}) x = 10 \cdot \frac{2}{3}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(3 \cdot 2)}{(2 \cdot 3)} x = 10 \cdot \frac{2}{3}$

Simplificar la fracción:

$x = 10 \cdot \frac{2}{3}$

Multiplicar las fracciones:

$x = \frac{(10 \cdot 2)}{3}$

Simplificar la expresión aritmética:

$x = \frac{20}{3}$

20 pasos adicionales

$(2 x + 4) = - (\frac{1}{2} x + 14)$

Desarrollar los paréntesis:

$(2 x + 4) = \frac{- 1}{2} x - 14$

Sumar a ambos lados:

$(2 x + 4) + \frac{1}{2} \cdot x = (\frac{- 1}{2} x - 14) + \frac{1}{2} x$

Agrupar términos semejantes:

$(2 x + \frac{1}{2} \cdot x) + 4 = (\frac{- 1}{2} \cdot x - 14) + \frac{1}{2} x$

Agrupar coeficientes:

$(2 + \frac{1}{2}) x + 4 = (\frac{- 1}{2} \cdot x - 14) + \frac{1}{2} x$

Convertir el número entero en una fracción:

$(\frac{4}{2} + \frac{1}{2}) x + 4 = (\frac{- 1}{2} \cdot x - 14) + \frac{1}{2} x$

Combinar las fracciones:

$\frac{(4 + 1)}{2} \cdot x + 4 = (\frac{- 1}{2} \cdot x - 14) + \frac{1}{2} x$

Combinar los numeradores:

$\frac{5}{2} \cdot x + 4 = (\frac{- 1}{2} \cdot x - 14) + \frac{1}{2} x$

Agrupar términos semejantes:

$\frac{5}{2} \cdot x + 4 = (\frac{- 1}{2} \cdot x + \frac{1}{2} x) - 14$

Combinar las fracciones:

$\frac{5}{2} \cdot x + 4 = \frac{(- 1 + 1)}{2} x - 14$

Combinar los numeradores:

$\frac{5}{2} \cdot x + 4 = \frac{0}{2} x - 14$

Reducir el numerador cero:

$\frac{5}{2} x + 4 = 0 x - 14$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{5}{2} x + 4 = - 14$

Sustraer en ambos lados:

$(\frac{5}{2} x + 4) - 4 = - 14 - 4$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{5}{2} x = - 14 - 4$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{5}{2} x = - 18$

Multiplicar ambos lados por la fracción inversa :

$(\frac{5}{2} x) \cdot \frac{2}{5} = - 18 \cdot \frac{2}{5}$

Agrupar términos semejantes:

$(\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5}) x = - 18 \cdot \frac{2}{5}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(5 \cdot 2)}{(2 \cdot 5)} x = - 18 \cdot \frac{2}{5}$

Simplificar la fracción:

$x = - 18 \cdot \frac{2}{5}$

Multiplicar las fracciones:

$x = \frac{(- 18 \cdot 2)}{5}$

Simplificar la expresión aritmética:

$x = \frac{- 36}{5}$

3. Lista las soluciones

$x = \frac{20}{3}, - \frac{36}{5}$
(2 solución(es))

4. Grafica

Cada línea representa la función de un lado de la ecuación:
$y = | 2 x + 4 |$
$y = | \frac{1}{2} x + 14 |$
La ecuación es válida donde las dos líneas se cruzan.

¿Cómo lo hicimos?

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Para qué aprender esto

Encontramos valores absolutos casi todos los días. Por ejemplo: Si caminas 3 millas a la escuela, ¿también caminas menos 3 millas cuando vuelves a casa? La respuesta es no porque las distancias utilizan el valor absoluto. El valor absoluto de la distancia entre la casa y la escuela es de 3 millas, ya sea de ida o de vuelta.
En resumen, los valores absolutos nos ayudan a lidiar con conceptos como distancia, rangos de valores posibles y desviación de un valor establecido.

Solución - Ecuaciones de valor absoluto

Explicación paso a paso

1. Reescribe la ecuación sin barras de valor absoluto

2. Resuelve las dos ecuaciones para x

3. Lista las soluciones

4. Grafica

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