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Solución - Ecuaciones de valor absoluto

Forma exacta:

x = - \frac{15}{2}, \frac{21}{10}

x=-\frac{15}{2} , \frac{21}{10}

Forma de número mixto:

x = - 7 \frac{1}{2}, 2 \frac{1}{10}

x=-7\frac{1}{2} , 2\frac{1}{10}

Forma decimal:

x = - 7, 5, 2, 1

x=-7,5 , 2,1

Ver los pasos

Explicación paso a paso

1. Reescribe la ecuación sin barras de valor absoluto

Usa las reglas:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ y $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
para escribir todas las cuatro opciones de la ecuación
$| \frac{2}{3} x - 3 | = | x - \frac{1}{2} |$
sin las barras de valor absoluto:

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{2}{3} x - 3 \| = \| x - \frac{1}{2} \|$
$x = + y$	$(\frac{2}{3} x - 3) = (x - \frac{1}{2})$
$x = - y$	$(\frac{2}{3} x - 3) = - (x - \frac{1}{2})$
$+ x = y$	$(\frac{2}{3} x - 3) = (x - \frac{1}{2})$
$- x = y$	$- (\frac{2}{3} x - 3) = (x - \frac{1}{2})$

Cuando se simplifican, las ecuaciones $x = + y$ y $+ x = y$ son las mismas y las ecuaciones $x = - y$ y $- x = y$ son las mismas, por lo que terminamos con solo 2 ecuaciones:

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{2}{3} x - 3 \| = \| x - \frac{1}{2} \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$(\frac{2}{3} x - 3) = (x - \frac{1}{2})$
$x = - y$ , $- x = y$	$(\frac{2}{3} x - 3) = - (x - \frac{1}{2})$

2. Resuelve las dos ecuaciones para x

19 pasos adicionales

$(\frac{2}{3} x - 3) = (x + \frac{- 1}{2})$

Sustraer en ambos lados:

$(\frac{2}{3} x - 3) - x = (x + \frac{- 1}{2}) - x$

Agrupar términos semejantes:

$(\frac{2}{3} x - x) - 3 = (x + \frac{- 1}{2}) - x$

Agrupar coeficientes:

$(\frac{2}{3} - 1) x - 3 = (x + \frac{- 1}{2}) - x$

Convertir el número entero en una fracción:

$(\frac{2}{3} + \frac{- 3}{3}) x - 3 = (x + \frac{- 1}{2}) - x$

Combinar las fracciones:

$\frac{(2 - 3)}{3} x - 3 = (x + \frac{- 1}{2}) - x$

Combinar los numeradores:

$\frac{- 1}{3} x - 3 = (x + \frac{- 1}{2}) - x$

Agrupar términos semejantes:

$\frac{- 1}{3} x - 3 = (x - x) + \frac{- 1}{2}$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{- 1}{3} x - 3 = \frac{- 1}{2}$

Sumar a ambos lados:

$(\frac{- 1}{3} x - 3) + 3 = (\frac{- 1}{2}) + 3$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{- 1}{3} x = (\frac{- 1}{2}) + 3$

Convertir el número entero en una fracción:

$\frac{- 1}{3} x = \frac{- 1}{2} + \frac{6}{2}$

Combinar las fracciones:

$\frac{- 1}{3} x = \frac{(- 1 + 6)}{2}$

Combinar los numeradores:

$\frac{- 1}{3} x = \frac{5}{2}$

Multiplicar ambos lados por la fracción inversa :

$(\frac{- 1}{3} x) \cdot \frac{3}{- 1} = (\frac{5}{2}) \cdot \frac{3}{- 1}$

Agrupar términos semejantes:

$(\frac{- 1}{3} \cdot - 3) x = (\frac{5}{2}) \cdot \frac{3}{- 1}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(- 1 \cdot - 3)}{3} x = (\frac{5}{2}) \cdot \frac{3}{- 1}$

Simplificar la expresión aritmética:

$1 x = (\frac{5}{2}) \cdot \frac{3}{- 1}$

$x = (\frac{5}{2}) \cdot \frac{3}{- 1}$

Multiplicar las fracciones:

$x = \frac{(5 \cdot - 3)}{2}$

Simplificar la expresión aritmética:

$x = \frac{- 15}{2}$

20 pasos adicionales

$(\frac{2}{3} x - 3) = - (x + \frac{- 1}{2})$

Desarrollar los paréntesis:

$(\frac{2}{3} x - 3) = - x + \frac{1}{2}$

Sumar a ambos lados:

$(\frac{2}{3} x - 3) + x = (- x + \frac{1}{2}) + x$

Agrupar términos semejantes:

$(\frac{2}{3} x + x) - 3 = (- x + \frac{1}{2}) + x$

Agrupar coeficientes:

$(\frac{2}{3} + 1) x - 3 = (- x + \frac{1}{2}) + x$

Convertir el número entero en una fracción:

$(\frac{2}{3} + \frac{3}{3}) x - 3 = (- x + \frac{1}{2}) + x$

Combinar las fracciones:

$\frac{(2 + 3)}{3} x - 3 = (- x + \frac{1}{2}) + x$

Combinar los numeradores:

$\frac{5}{3} x - 3 = (- x + \frac{1}{2}) + x$

Agrupar términos semejantes:

$\frac{5}{3} x - 3 = (- x + x) + \frac{1}{2}$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{5}{3} x - 3 = \frac{1}{2}$

Sumar a ambos lados:

$(\frac{5}{3} x - 3) + 3 = (\frac{1}{2}) + 3$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{5}{3} x = (\frac{1}{2}) + 3$

Convertir el número entero en una fracción:

$\frac{5}{3} x = \frac{1}{2} + \frac{6}{2}$

Combinar las fracciones:

$\frac{5}{3} x = \frac{(1 + 6)}{2}$

Combinar los numeradores:

$\frac{5}{3} x = \frac{7}{2}$

Multiplicar ambos lados por la fracción inversa :

$(\frac{5}{3} x) \cdot \frac{3}{5} = (\frac{7}{2}) \cdot \frac{3}{5}$

Agrupar términos semejantes:

$(\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}) x = (\frac{7}{2}) \cdot \frac{3}{5}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(5 \cdot 3)}{(3 \cdot 5)} x = (\frac{7}{2}) \cdot \frac{3}{5}$

Simplificar la fracción:

$x = (\frac{7}{2}) \cdot \frac{3}{5}$

Multiplicar las fracciones:

$x = \frac{(7 \cdot 3)}{(2 \cdot 5)}$

Simplificar la expresión aritmética:

$x = \frac{21}{(2 \cdot 5)}$

$x = \frac{21}{10}$

3. Lista las soluciones

$x = - \frac{15}{2}, \frac{21}{10}$
(2 solución(es))

4. Grafica

Cada línea representa la función de un lado de la ecuación:
$y = | \frac{2}{3} x - 3 |$
$y = | x - \frac{1}{2} |$
La ecuación es válida donde las dos líneas se cruzan.

¿Cómo lo hicimos?

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Para qué aprender esto

Encontramos valores absolutos casi todos los días. Por ejemplo: Si caminas 3 millas a la escuela, ¿también caminas menos 3 millas cuando vuelves a casa? La respuesta es no porque las distancias utilizan el valor absoluto. El valor absoluto de la distancia entre la casa y la escuela es de 3 millas, ya sea de ida o de vuelta.
En resumen, los valores absolutos nos ayudan a lidiar con conceptos como distancia, rangos de valores posibles y desviación de un valor establecido.

Solución - Ecuaciones de valor absoluto

Explicación paso a paso

1. Reescribe la ecuación sin barras de valor absoluto

2. Resuelve las dos ecuaciones para x

3. Lista las soluciones

4. Grafica

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