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Solución - Ecuaciones de valor absoluto

Forma exacta:

y = 150, - \frac{10}{9}

y=150 , -\frac{10}{9}

Forma de número mixto:

y = 150, - 1 \frac{1}{9}

y=150 , -1\frac{1}{9}

Forma decimal:

y = 150, - 1.111

y=150 , -1.111

Ver los pasos

Explicación paso a paso

1. Reescribe la ecuación sin barras de valor absoluto

Usa las reglas:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ y $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
para escribir todas las cuatro opciones de la ecuación
$| \frac{1}{2} y - 7 | = | \frac{2}{5} y + 8 |$
sin las barras de valor absoluto:

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{1}{2} y - 7 \| = \| \frac{2}{5} y + 8 \|$
$x = + y$	$(\frac{1}{2} y - 7) = (\frac{2}{5} y + 8)$
$x = - y$	$(\frac{1}{2} y - 7) = - (\frac{2}{5} y + 8)$
$+ x = y$	$(\frac{1}{2} y - 7) = (\frac{2}{5} y + 8)$
$- x = y$	$- (\frac{1}{2} y - 7) = (\frac{2}{5} y + 8)$

Cuando se simplifican, las ecuaciones $x = + y$ y $+ x = y$ son las mismas y las ecuaciones $x = - y$ y $- x = y$ son las mismas, por lo que terminamos con solo 2 ecuaciones:

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{1}{2} y - 7 \| = \| \frac{2}{5} y + 8 \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$(\frac{1}{2} y - 7) = (\frac{2}{5} y + 8)$
$x = - y$ , $- x = y$	$(\frac{1}{2} y - 7) = - (\frac{2}{5} y + 8)$

2. Resuelve las dos ecuaciones para y

20 pasos adicionales

$(\frac{1}{2} \cdot y - 7) = (\frac{2}{5} y + 8)$

Sustraer en ambos lados:

$(\frac{1}{2} y - 7) - \frac{2}{5} \cdot y = (\frac{2}{5} y + 8) - \frac{2}{5} y$

Agrupar términos semejantes:

$(\frac{1}{2} \cdot y + \frac{- 2}{5} \cdot y) - 7 = (\frac{2}{5} \cdot y + 8) - \frac{2}{5} y$

Agrupar coeficientes:

$(\frac{1}{2} + \frac{- 2}{5}) y - 7 = (\frac{2}{5} \cdot y + 8) - \frac{2}{5} y$

Averiguar el mínimo denominador común:

$(\frac{(1 \cdot 5)}{(2 \cdot 5)} + \frac{(- 2 \cdot 2)}{(5 \cdot 2)}) y - 7 = (\frac{2}{5} \cdot y + 8) - \frac{2}{5} y$

Multiplicar los denominadores:

$(\frac{(1 \cdot 5)}{10} + \frac{(- 2 \cdot 2)}{10}) y - 7 = (\frac{2}{5} \cdot y + 8) - \frac{2}{5} y$

Multiplicar los numeradores:

$(\frac{5}{10} + \frac{- 4}{10}) y - 7 = (\frac{2}{5} \cdot y + 8) - \frac{2}{5} y$

Combinar las fracciones:

$\frac{(5 - 4)}{10} \cdot y - 7 = (\frac{2}{5} \cdot y + 8) - \frac{2}{5} y$

Combinar los numeradores:

$\frac{1}{10} \cdot y - 7 = (\frac{2}{5} \cdot y + 8) - \frac{2}{5} y$

Agrupar términos semejantes:

$\frac{1}{10} \cdot y - 7 = (\frac{2}{5} \cdot y + \frac{- 2}{5} y) + 8$

Combinar las fracciones:

$\frac{1}{10} \cdot y - 7 = \frac{(2 - 2)}{5} y + 8$

Combinar los numeradores:

$\frac{1}{10} \cdot y - 7 = \frac{0}{5} y + 8$

Reducir el numerador cero:

$\frac{1}{10} y - 7 = 0 y + 8$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{1}{10} y - 7 = 8$

Sumar a ambos lados:

$(\frac{1}{10} y - 7) + 7 = 8 + 7$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{1}{10} y = 8 + 7$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{1}{10} y = 15$

Multiplicar ambos lados por la fracción inversa :

$(\frac{1}{10} y) \cdot \frac{10}{1} = 15 \cdot \frac{10}{1}$

Agrupar términos semejantes:

$(\frac{1}{10} \cdot 10) y = 15 \cdot \frac{10}{1}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(1 \cdot 10)}{10} y = 15 \cdot \frac{10}{1}$

Simplificar la fracción:

$y = 15 \cdot \frac{10}{1}$

Simplificar la expresión aritmética:

$y = 150$

21 pasos adicionales

$(\frac{1}{2} y - 7) = - (\frac{2}{5} y + 8)$

Desarrollar los paréntesis:

$(\frac{1}{2} \cdot y - 7) = \frac{- 2}{5} y - 8$

Sumar a ambos lados:

$(\frac{1}{2} y - 7) + \frac{2}{5} \cdot y = (\frac{- 2}{5} y - 8) + \frac{2}{5} y$

Agrupar términos semejantes:

$(\frac{1}{2} \cdot y + \frac{2}{5} \cdot y) - 7 = (\frac{- 2}{5} \cdot y - 8) + \frac{2}{5} y$

Agrupar coeficientes:

$(\frac{1}{2} + \frac{2}{5}) y - 7 = (\frac{- 2}{5} \cdot y - 8) + \frac{2}{5} y$

Averiguar el mínimo denominador común:

$(\frac{(1 \cdot 5)}{(2 \cdot 5)} + \frac{(2 \cdot 2)}{(5 \cdot 2)}) y - 7 = (\frac{- 2}{5} \cdot y - 8) + \frac{2}{5} y$

Multiplicar los denominadores:

$(\frac{(1 \cdot 5)}{10} + \frac{(2 \cdot 2)}{10}) y - 7 = (\frac{- 2}{5} \cdot y - 8) + \frac{2}{5} y$

Multiplicar los numeradores:

$(\frac{5}{10} + \frac{4}{10}) y - 7 = (\frac{- 2}{5} \cdot y - 8) + \frac{2}{5} y$

Combinar las fracciones:

$\frac{(5 + 4)}{10} \cdot y - 7 = (\frac{- 2}{5} \cdot y - 8) + \frac{2}{5} y$

Combinar los numeradores:

$\frac{9}{10} \cdot y - 7 = (\frac{- 2}{5} \cdot y - 8) + \frac{2}{5} y$

Agrupar términos semejantes:

$\frac{9}{10} \cdot y - 7 = (\frac{- 2}{5} \cdot y + \frac{2}{5} y) - 8$

Combinar las fracciones:

$\frac{9}{10} \cdot y - 7 = \frac{(- 2 + 2)}{5} y - 8$

Combinar los numeradores:

$\frac{9}{10} \cdot y - 7 = \frac{0}{5} y - 8$

Reducir el numerador cero:

$\frac{9}{10} y - 7 = 0 y - 8$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{9}{10} y - 7 = - 8$

Sumar a ambos lados:

$(\frac{9}{10} y - 7) + 7 = - 8 + 7$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{9}{10} y = - 8 + 7$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{9}{10} y = - 1$

Multiplicar ambos lados por la fracción inversa :

$(\frac{9}{10} y) \cdot \frac{10}{9} = - 1 \cdot \frac{10}{9}$

Agrupar términos semejantes:

$(\frac{9}{10} \cdot \frac{10}{9}) y = - 1 \cdot \frac{10}{9}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(9 \cdot 10)}{(10 \cdot 9)} y = - 1 \cdot \frac{10}{9}$

Simplificar la fracción:

$y = - 1 \cdot \frac{10}{9}$

Eliminar el/los uno(s):

$y = \frac{- 10}{9}$

3. Lista las soluciones

$y = 150, - \frac{10}{9}$
(2 solución(es))

4. Grafica

Cada línea representa la función de un lado de la ecuación:
$y = | \frac{1}{2} y - 7 |$
$y = | \frac{2}{5} y + 8 |$
La ecuación es válida donde las dos líneas se cruzan.

¿Cómo lo hicimos?

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Para qué aprender esto

Encontramos valores absolutos casi todos los días. Por ejemplo: Si caminas 3 millas a la escuela, ¿también caminas menos 3 millas cuando vuelves a casa? La respuesta es no porque las distancias utilizan el valor absoluto. El valor absoluto de la distancia entre la casa y la escuela es de 3 millas, ya sea de ida o de vuelta.
En resumen, los valores absolutos nos ayudan a lidiar con conceptos como distancia, rangos de valores posibles y desviación de un valor establecido.

Solución - Ecuaciones de valor absoluto

Explicación paso a paso

1. Reescribe la ecuación sin barras de valor absoluto

2. Resuelve las dos ecuaciones para y

3. Lista las soluciones

4. Grafica

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