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Solución - Ecuaciones de valor absoluto

Forma exacta:

x = 28, 12

x=28 , 12

Ver los pasos

Explicación paso a paso

1. Reescribe la ecuación sin barras de valor absoluto

Usa las reglas:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ y $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
para escribir todas las cuatro opciones de la ecuación
$| \frac{1}{2} x - 8 | = | \frac{1}{4} x - 1 |$
sin las barras de valor absoluto:

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{1}{2} x - 8 \| = \| \frac{1}{4} x - 1 \|$
$x = + y$	$(\frac{1}{2} x - 8) = (\frac{1}{4} x - 1)$
$x = - y$	$(\frac{1}{2} x - 8) = - (\frac{1}{4} x - 1)$
$+ x = y$	$(\frac{1}{2} x - 8) = (\frac{1}{4} x - 1)$
$- x = y$	$- (\frac{1}{2} x - 8) = (\frac{1}{4} x - 1)$

Cuando se simplifican, las ecuaciones $x = + y$ y $+ x = y$ son las mismas y las ecuaciones $x = - y$ y $- x = y$ son las mismas, por lo que terminamos con solo 2 ecuaciones:

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{1}{2} x - 8 \| = \| \frac{1}{4} x - 1 \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$(\frac{1}{2} x - 8) = (\frac{1}{4} x - 1)$
$x = - y$ , $- x = y$	$(\frac{1}{2} x - 8) = - (\frac{1}{4} x - 1)$

2. Resuelve las dos ecuaciones para x

20 pasos adicionales

$(\frac{1}{2} \cdot x - 8) = (\frac{1}{4} x - 1)$

Sustraer en ambos lados:

$(\frac{1}{2} x - 8) - \frac{1}{4} \cdot x = (\frac{1}{4} x - 1) - \frac{1}{4} x$

Agrupar términos semejantes:

$(\frac{1}{2} \cdot x + \frac{- 1}{4} \cdot x) - 8 = (\frac{1}{4} \cdot x - 1) - \frac{1}{4} x$

Agrupar coeficientes:

$(\frac{1}{2} + \frac{- 1}{4}) x - 8 = (\frac{1}{4} \cdot x - 1) - \frac{1}{4} x$

Averiguar el mínimo denominador común:

$(\frac{(1 \cdot 2)}{(2 \cdot 2)} + \frac{- 1}{4}) x - 8 = (\frac{1}{4} \cdot x - 1) - \frac{1}{4} x$

Multiplicar los denominadores:

$(\frac{(1 \cdot 2)}{4} + \frac{- 1}{4}) x - 8 = (\frac{1}{4} \cdot x - 1) - \frac{1}{4} x$

Multiplicar los numeradores:

$(\frac{2}{4} + \frac{- 1}{4}) x - 8 = (\frac{1}{4} \cdot x - 1) - \frac{1}{4} x$

Combinar las fracciones:

$\frac{(2 - 1)}{4} \cdot x - 8 = (\frac{1}{4} \cdot x - 1) - \frac{1}{4} x$

Combinar los numeradores:

$\frac{1}{4} \cdot x - 8 = (\frac{1}{4} \cdot x - 1) - \frac{1}{4} x$

Agrupar términos semejantes:

$\frac{1}{4} \cdot x - 8 = (\frac{1}{4} \cdot x + \frac{- 1}{4} x) - 1$

Combinar las fracciones:

$\frac{1}{4} \cdot x - 8 = \frac{(1 - 1)}{4} x - 1$

Combinar los numeradores:

$\frac{1}{4} \cdot x - 8 = \frac{0}{4} x - 1$

Reducir el numerador cero:

$\frac{1}{4} x - 8 = 0 x - 1$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{1}{4} x - 8 = - 1$

Sumar a ambos lados:

$(\frac{1}{4} x - 8) + 8 = - 1 + 8$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{1}{4} x = - 1 + 8$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{1}{4} x = 7$

Multiplicar ambos lados por la fracción inversa :

$(\frac{1}{4} x) \cdot \frac{4}{1} = 7 \cdot \frac{4}{1}$

Agrupar términos semejantes:

$(\frac{1}{4} \cdot 4) x = 7 \cdot \frac{4}{1}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(1 \cdot 4)}{4} x = 7 \cdot \frac{4}{1}$

Simplificar la fracción:

$x = 7 \cdot \frac{4}{1}$

Simplificar la expresión aritmética:

$x = 28$

22 pasos adicionales

$(\frac{1}{2} x - 8) = - (\frac{1}{4} x - 1)$

Desarrollar los paréntesis:

$(\frac{1}{2} \cdot x - 8) = \frac{- 1}{4} x + 1$

Sumar a ambos lados:

$(\frac{1}{2} x - 8) + \frac{1}{4} \cdot x = (\frac{- 1}{4} x + 1) + \frac{1}{4} x$

Agrupar términos semejantes:

$(\frac{1}{2} \cdot x + \frac{1}{4} \cdot x) - 8 = (\frac{- 1}{4} \cdot x + 1) + \frac{1}{4} x$

Agrupar coeficientes:

$(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}) x - 8 = (\frac{- 1}{4} \cdot x + 1) + \frac{1}{4} x$

Averiguar el mínimo denominador común:

$(\frac{(1 \cdot 2)}{(2 \cdot 2)} + \frac{1}{4}) x - 8 = (\frac{- 1}{4} \cdot x + 1) + \frac{1}{4} x$

Multiplicar los denominadores:

$(\frac{(1 \cdot 2)}{4} + \frac{1}{4}) x - 8 = (\frac{- 1}{4} \cdot x + 1) + \frac{1}{4} x$

Multiplicar los numeradores:

$(\frac{2}{4} + \frac{1}{4}) x - 8 = (\frac{- 1}{4} \cdot x + 1) + \frac{1}{4} x$

Combinar las fracciones:

$\frac{(2 + 1)}{4} \cdot x - 8 = (\frac{- 1}{4} \cdot x + 1) + \frac{1}{4} x$

Combinar los numeradores:

$\frac{3}{4} \cdot x - 8 = (\frac{- 1}{4} \cdot x + 1) + \frac{1}{4} x$

Agrupar términos semejantes:

$\frac{3}{4} \cdot x - 8 = (\frac{- 1}{4} \cdot x + \frac{1}{4} x) + 1$

Combinar las fracciones:

$\frac{3}{4} \cdot x - 8 = \frac{(- 1 + 1)}{4} x + 1$

Combinar los numeradores:

$\frac{3}{4} \cdot x - 8 = \frac{0}{4} x + 1$

Reducir el numerador cero:

$\frac{3}{4} x - 8 = 0 x + 1$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{3}{4} x - 8 = 1$

Sumar a ambos lados:

$(\frac{3}{4} x - 8) + 8 = 1 + 8$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{3}{4} x = 1 + 8$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{3}{4} x = 9$

Multiplicar ambos lados por la fracción inversa :

$(\frac{3}{4} x) \cdot \frac{4}{3} = 9 \cdot \frac{4}{3}$

Agrupar términos semejantes:

$(\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}) x = 9 \cdot \frac{4}{3}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(3 \cdot 4)}{(4 \cdot 3)} x = 9 \cdot \frac{4}{3}$

Simplificar la fracción:

$x = 9 \cdot \frac{4}{3}$

Multiplicar las fracciones:

$x = \frac{(9 \cdot 4)}{3}$

Simplificar la expresión aritmética:

$x = 12$

3. Lista las soluciones

$x = 28, 12$
(2 solución(es))

4. Grafica

Cada línea representa la función de un lado de la ecuación:
$y = | \frac{1}{2} x - 8 |$
$y = | \frac{1}{4} x - 1 |$
La ecuación es válida donde las dos líneas se cruzan.

¿Cómo lo hicimos?

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Para qué aprender esto

Encontramos valores absolutos casi todos los días. Por ejemplo: Si caminas 3 millas a la escuela, ¿también caminas menos 3 millas cuando vuelves a casa? La respuesta es no porque las distancias utilizan el valor absoluto. El valor absoluto de la distancia entre la casa y la escuela es de 3 millas, ya sea de ida o de vuelta.
En resumen, los valores absolutos nos ayudan a lidiar con conceptos como distancia, rangos de valores posibles y desviación de un valor establecido.

Solución - Ecuaciones de valor absoluto

Explicación paso a paso

1. Reescribe la ecuación sin barras de valor absoluto

2. Resuelve las dos ecuaciones para x

3. Lista las soluciones

4. Grafica

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